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常见极坐标方程
直线的极坐标方程介绍：

若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y=1-x（0≤x≤1）的极坐标方程为（　　）
  • A. ρ=
    1
    cosθ+sinθ
    ，0≤θ≤
    π
    2
  • B. ρ=
    1
    cosθ+sinθ
    ，0≤θ≤
    π
    4
  • C. ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤
    π
    2
  • D. ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤
    π
    4
分析根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，把方程y=1-x（0≤x≤1）化为极坐标方程．
解答解：根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，y=1-x（0≤x≤1），
可得ρcosθ+ρsinθ=1，即 ρ=
1
cosθ+sinθ
，θ∈[0，
π
2
]，
故选：A．
点评本题主要考查把直角坐标方程化为极坐标方程的方法，注意极角θ的范围，属于基础题．
已知点P的极坐标是（2，π），则过点P且垂直极轴的直线方程是（　　）
  • A. ρ=2
  • B. ρ=2cosθ
  • C. ρ=-
    2
    cosθ
  • D. ρ=
    2
    cosθ
分析先把点的极坐标化为直角坐标，再求得直线方程的直角坐标方程，化为极坐标方程．
解答解：由点P的极坐标是（2，π）得，直角坐标为（2cosπ，2sinπ），即（-2，0），
则过此点且垂直于极轴的直线方程的直角坐标方程为x=-2，
化为极坐标方程为 ρcosθ=-2，所以ρ=-
2
cosθ
，
故选：C．
点评本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，求出直角坐标系中直线的方程是解题的关键，属于基础题．
经过点P（2，
π
4
）且垂直于极轴的直线的极坐标方程是（      ）
  • A. ρcosθ=
    √3
  • B. ρcosθ=
    √5
  • C. ρcosθ=
    √2
  • D. ρcosθ=2
分析在直角坐标系中，求出直线的方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式求得直线极坐标方程．
解答解：在直角坐标系中，过点P（2，
π
4
）且垂直于极轴的直线 x=
√2
，
其极坐标方程为 ρcosθ=
√2
，
故答案为：ρcosθ=
√2
，所以选C．
点评本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，求出直角坐标系中直线的方程是解题的关键，属于基础题．
已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ-4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是    ．
分析由题意，θ=0，可得C与极轴的交点到极点的距离．
解答解：由题意，θ=0，可得ρ（3cos0-4sin0）=1，
∴C与极轴的交点到极点的距离是ρ=
1
3
．
故答案为：
1
3
．
点评正确理解C与极轴的交点到极点的距离是解题的关键．
在极坐标系中，点（2，
π
6
）到直线ρsin（θ-
π
6
）=1的距离是    ．
分析把极坐标化为直角坐标的方法，利用点到直线的距离公式求得结果．
解答解：根据极坐标和直角坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，
可得点（2，
π
6
）即（
√3
，1）；
直线ρsin（θ-
π
6
）=1即-
1
2
x+
√3
2
y=1，即x-
√3
y+2=0，
故点（
√3
，1）到直线x-
√3
y+2=0的距离为
|
√3
-
√3
+2|
√1+3
=1，
故答案为：1．
点评本题主要考查把极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
在极坐标系中，点（2，
π
6
）到直线ρsinθ=2的距离等于    ．
分析先将点的极坐标化成直角坐标，极坐标方程化为直角坐标方程，然后用点到直线的距离来解．
解答解：在极坐标系中，点(2 ，  
π
6
)化为直角坐标为（
√3
，1），直线ρsinθ=2化为直角坐标方程为y=2，
（
√3
，1），到y=2的距离1，即为点(2 ，  
π
6
)到直线ρsinθ=2的距离1，
故答案为：1．
点评本题关键是直角坐标和极坐标的互化，体现等价转化数学思想．
圆的极坐标方程介绍：

已知圆的极坐标方程是ρ=2cosθ，那么该圆的直角坐标方程是（      ）
  • A. x2+y2=2
  • B. （x-1）2+y2=2
  • C. （x-1）2+（y-1）2=1
  • D. （x-1）2+y2=1
分析把ρ=2cosθ化为ρ2=2ρcosθ，根据ρ2=x2+y2、ρcosθ=x化简，利用配方法化为标准方程．
解答解：由题意得，ρ=2cosθ，则ρ2=2ρcosθ，
所以x2+y2=2x，即（x-1）2+y2=1，
故答案为：（x-1）2+y2=1，所以选D．
点评本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，属于基础题．
将极坐标系中的极点作原点，极轴作为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系后，极坐标方程ρ=4cosθ化为直角坐标方程是    ．
分析先将原极坐标方程ρ=4cosθ两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行判断．
解答解：将原极坐标方程ρ=4cosθ，化为：
ρ2=4ρcosθ，
化成直角坐标方程为：x2+y2-4x=0，
故答案为：x2+y2-4x=0．
点评本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．
已知曲线的极坐标方程为ρ=4cos2
θ
2
-2，则其直角坐标下的方程是（　　）
  • A. x2+（y+1）2=1
  • B. （x+1）2+y2=1
  • C. （x-1）2+y2=1
  • D. x2+（y-1）2=1
分析利用x=ρcosθ，ρ2=x2+y2，将曲线C的极坐标方程ρ=2cosθ，两边同乘ρ，化成直角坐标方程；
解答解：曲线C的极坐标方程是ρ=4cos2
θ
2
-2=2cosθ，所以ρ2=2ρcosθ，它的直角坐标方程是：x2+y2=2x，即：（x-1）2+y2=1．
故选：C．
点评本题是基础题，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，送分题．
在极坐标系中，圆C是以点C（2，-
π
6
）为圆心，2为半径的圆．则圆C的极坐标方程为（      ）
  • A. ρ=4cos（θ+
    π
    3
    ）
  • B. ρ=4cos（θ+
    π
    6
    ）
  • C. ρ=3cos（θ+
    π
    3
    ）
  • D. ρ=3cos（θ+
    π
    6
    ）
分析根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，求出C的直角坐标，可得圆C的标准方程，再把它化为极坐标方程．
解答解：根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，
求得圆心点C（2，-
π
6
）的直角坐标为（
√3
，-1），再根据2为半径，
可得圆C的标准方程为 (x-
√3
)2+（y+1）2=4，
化为极坐标方程为(ρcosθ-
√3
)2+（ρsinθ+1）2=4，化简可得 ρ=4cos（θ+
π
6
），
故答案为：ρ=4cos（θ+
π
6
），所以选B．
点评本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，利用了公式 x=ρcosθ、y=ρsinθ，属于基础题．
在极坐标系中，过圆ρ=6cosθ-2
√2
sinθ的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程为（      ）
  • A. ρcosθ=
    √2
  • B. ρcosθ=
    √3
  • C. ρcosθ=3
  • D. ρcosθ=2
分析求得圆的直角坐标方程为 （x-3）2+(y+
√2
)2=11，可得圆心直角坐标（3，-
√2
）．可得过圆心且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为x=3，再把它化为极坐标方程．
解答解：圆ρ=6cosθ-2
√2
sinθ 即ρ2=6ρcosθ-2
√2
ρsinθ，即 （x-3）2+(y+
√2
)2=11，
表示以（3，-
√2
）为圆心，半径等于
√11
的圆．
过圆心且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为x=3，故它的极坐标方程为ρcosθ=3，
故答案为：ρcosθ=3，所以选C．
点评本题主要考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，求简单曲线的极坐标方程，属于基础题．
在极坐标系中，圆ρ=4cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（　　）
  • A. θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=4
  • B. θ=
    π
    2
    （ρ∈R）和ρcosθ=4
  • C. θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2
  • D. θ=
    π
    2
    （ρ∈R）和ρcosθ=2
分析把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求出它的两条垂直于极轴的切线方程，再化为极坐标方程．
解答解：圆ρ=4cosθ即 ρ2=4ρcosθ，化为直角坐标方程为 （x-2）2+y2=4，
表示以（2，0）为圆心、半径等于2的圆，由此可得垂直于极轴的两条切线方程分别为x=0、x=4，
再化为极坐标方程为 θ=
π
2
（ρ∈R）和ρcosθ=4，
故选：B．
点评本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，把直角坐标方程化为极坐标方程的方法，属于基础题．
已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ=2sinθ，ρcosθ+ρsinθ+1=0，则曲线C1上的点与曲线C2上的点的最近距离为（      ）
  • A. 1
  • B.
    √3
    -1
  • C.
    √2
    -1
  • D.
    √3
    3
分析把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离为d，再把d减去半径，即为所求．
解答解：由于曲线C1、C2的极坐标方程分别为ρ=2sinθ，ρcosθ+ρsinθ+1=0，
则它们的直角坐标方程分别为 x2+（y-1）2=1，x+y+1=0．
曲线C1上表示一个半径为1的圆，圆心为（0，1），
曲线C2表示一条直线，圆心到直线的距离为d=
|0+1+1|
√2
=
√2
，
故曲线C1上的点与曲线C2上的点的最近距离为
√2
-1，
故答案为：
√2
-1，所以选C．
点评本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
已知曲线C1、C2的极坐标方程分别为ρ=2sinθ，ρcosθ+ρsinθ+1=0，则曲线C1上的点与曲线C2上的点的最近距离为（      ）
  • A. 1
  • B.
    √2
    -1
  • C.
    √3
    -1
  • D.
    √3
    3
分析把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离为d，再把d减去半径，即为所求．
解答解：由于曲线C1、C2的极坐标方程分别为ρ=2sinθ，ρcosθ+ρsinθ+1=0，
则它们的直角坐标方程分别为 x2+（y-1）2=1，x+y+1=0．
曲线C1上表示一个半径为1的圆，圆心为（0，1），
曲线C2表示一条直线，圆心到直线的距离为d=
|0+1+1|
√2
=
√2
，
故曲线C1上的点与曲线C2上的点的最近距离为
√2
-1，
故答案为：
√2
-1，所以选B．
点评本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
已知圆的极坐标方程为ρ=2cosθ，则该圆的圆心到直线ρsinθ+2ρcosθ=1的距离是（      ）
  • A. 1
  • B.
    √3
    -1
  • C.
    √2
    -1
  • D.
    √5
    5
分析先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，将极坐标方程ρ=2cosθ和ρsinθ+2ρcosθ=1化成直角坐标方程，最后利用直角坐标方程的形式，结合点到直线的距离公式求解即得．
解答解：由ρ=2cosθ，化为直角坐标方程为x2+y2-2x=0，其圆心是A（1，0），
由ρsinθ+2ρcosθ=1化为直角坐标方程为2x+y-1=0，
由点到直线的距离公式，得d=
|2+0-1|
√4+1
=
√5
5
．
故答案为
√5
5
，所以选D．
点评本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题．
圆锥曲线的极坐标方程介绍：

以焦点为极点，0x为极轴建立坐标系，则下列极坐标方程可以表示一个椭圆的是（　　）
  • A. ρ=
    4
    2-cosθ
  • B. ρ=
    4
    1-2cosθ
  • C. ρ=
    4
    1-cosθ
  • D. ρ=
    4
    1+cosθ
分析对于这种ρ=
p
1-ecosθ
形式的极坐标方程，当e小于1时，就是椭圆．
解答ρ=
4
2-cosθ
=
2
1-0.5cosθ
；
所以选A．
点评本题主要考查椭圆的极坐标方程，属于基础题．
以焦点为极点，0x为极轴建立坐标系，则下列极坐标方程可以表示一个双曲线的是（　　）
  • A. ρ=
    4
    2-cosθ
  • B. ρ=
    4
    1-2cosθ
  • C. ρ=
    4
    1-cosθ
  • D. ρ=
    4
    1+cosθ
分析对于这种ρ=
p
1-ecosθ
形式的极坐标方程，当e大于1时，就是双曲线．
解答选A．
点评本题主要考查双曲线的极坐标方程，属于基础题．
以焦点为极点，0x为极轴建立坐标系，则下列极坐标方程可以表示一个抛物线的是（　　）
  • A. ρ=
    4
    2-cosθ
  • B. ρ=
    4
    1-2cosθ
  • C. ρ=
    4
    1-cosθ
  • D. ρ=
    4
    1+cosθ
分析对于这种ρ=
p
1-ecosθ
形式的极坐标方程，当e=1时，就是双曲线．
解答选C．
点评本题主要考查抛物线的极坐标方程，属于基础题．
在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为（    ，    ）．
分析直接由x=ρcosθ，y=ρsinθ化极坐标方程为直角坐标方程，然后联立方程组求得答案．
解答解：由2ρcos2θ=sinθ，得：2ρ2cos2θ=ρsinθ，
即y=2x2．
由ρcosθ=1，得x=1．
联立
{
x=1
y=2x2
，解得：
{
x=1
y=2
．
∴曲线C1与C2交点的直角坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
点评本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题．
在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为（    ，    ）．
分析把极坐标方程化为直角坐标方程，再把两条曲线的直角坐标方程联立方程组，求得两条曲线的交点坐标．
解答解：曲线C1的方程 ρsin2θ=cosθ 化为直角坐标方程为 y2=x，
C2的方程 ρsinθ=1即 y=1，由
{
y2=x
y=1
，求得
{
x=1
y=1
，∴曲线C1和C2交点的直角坐标为（1，1），
故答案为：（1，1）．
点评本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求两条曲线的交点坐标，属于基础题．
若极坐标系中曲线方程为ρcos2
θ
2
=1，以极点为原点，极轴为X轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为（      ）
  • A. y2=4（x+1）
  • B. y2=-4（x+1）
  • C. y2=-4（x-1）
  • D. y2=4（x-1）
分析本题可以利用极坐标与直角坐标的关系，求出曲线的直角坐标方程．
解答解：∵在极坐标系中曲线方程为ρcos2
θ
2
=1，
∴
1
2
ρ(1+cosθ)=1，
∴ρ+ρcosθ=2．
∵
{
ρ=
√x2+y2
ρcosθ=x
，
∴
√x2+y2
+x=2，
∴该曲线的直角坐标方程为y2=-4（x-1），所以选C．
点评本题考查的极坐标与直角坐标的关系，三角函数的半角公式，本题难度不大，属于基础题．
········ THE END ········
常见极坐标方程
下一节：
直线和圆的参数方程
· 直线的参数方程
· 圆的参数方程
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直线的极坐标方程
1
若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y=1-x（0≤x≤1）的极坐标方程为（　　）
  • A. ρ=
    1
    cosθ+sinθ
    ，0≤θ≤
    π
    2
  • B. ρ=
    1
    cosθ+sinθ
    ，0≤θ≤
    π
    4
  • C. ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤
    π
    2
  • D. ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤
    π
    4
2
已知点P的极坐标是（2，π），则过点P且垂直极轴的直线方程是（　　）
  • A. ρ=2
  • B. ρ=2cosθ
  • C. ρ=-
    2
    cosθ
  • D. ρ=
    2
    cosθ
3
经过点P（2，
π
4
）且垂直于极轴的直线的极坐标方程是（      ）
  • A. ρcosθ=
    √3
  • B. ρcosθ=
    √5
  • C. ρcosθ=
    √2
  • D. ρcosθ=2
4
已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ-4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是    ．
5
在极坐标系中，点（2，
π
6
）到直线ρsin（θ-
π
6
）=1的距离是    ．
6
在极坐标系中，点（2，
π
6
）到直线ρsinθ=2的距离等于    ．
7
圆的极坐标方程
8
已知圆的极坐标方程是ρ=2cosθ，那么该圆的直角坐标方程是（      ）
  • A. x2+y2=2
  • B. （x-1）2+y2=2
  • C. （x-1）2+（y-1）2=1
  • D. （x-1）2+y2=1
9
将极坐标系中的极点作原点，极轴作为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系后，极坐标方程ρ=4cosθ化为直角坐标方程是    ．
10
已知曲线的极坐标方程为ρ=4cos2
θ
2
-2，则其直角坐标下的方程是（　　）
  • A. x2+（y+1）2=1
  • B. （x+1）2+y2=1
  • C. （x-1）2+y2=1
  • D. x2+（y-1）2=1
11
在极坐标系中，圆C是以点C（2，-
π
6
）为圆心，2为半径的圆．则圆C的极坐标方程为（      ）
  • A. ρ=4cos（θ+
    π
    3
    ）
  • B. ρ=4cos（θ+
    π
    6
    ）
  • C. ρ=3cos（θ+
    π
    3
    ）
  • D. ρ=3cos（θ+
    π
    6
    ）
12
在极坐标系中，过圆ρ=6cosθ-2
√2
sinθ的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程为（      ）
  • A. ρcosθ=
    √2
  • B. ρcosθ=
    √3
  • C. ρcosθ=3
  • D. ρcosθ=2
13
在极坐标系中，圆ρ=4cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（　　）
  • A. θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=4
  • B. θ=
    π
    2
    （ρ∈R）和ρcosθ=4
  • C. θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2
  • D. θ=
    π
    2
    （ρ∈R）和ρcosθ=2
14
已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ=2sinθ，ρcosθ+ρsinθ+1=0，则曲线C1上的点与曲线C2上的点的最近距离为（      ）
  • A. 1
  • B.
    √3
    -1
  • C.
    √2
    -1
  • D.
    √3
    3
15
已知曲线C1、C2的极坐标方程分别为ρ=2sinθ，ρcosθ+ρsinθ+1=0，则曲线C1上的点与曲线C2上的点的最近距离为（      ）
  • A. 1
  • B.
    √2
    -1
  • C.
    √3
    -1
  • D.
    √3
    3
16
已知圆的极坐标方程为ρ=2cosθ，则该圆的圆心到直线ρsinθ+2ρcosθ=1的距离是（      ）
  • A. 1
  • B.
    √3
    -1
  • C.
    √2
    -1
  • D.
    √5
    5
17
圆锥曲线的极坐标方程
18
以焦点为极点，0x为极轴建立坐标系，则下列极坐标方程可以表示一个椭圆的是（　　）
  • A. ρ=
    4
    2-cosθ
  • B. ρ=
    4
    1-2cosθ
  • C. ρ=
    4
    1-cosθ
  • D. ρ=
    4
    1+cosθ
19
以焦点为极点，0x为极轴建立坐标系，则下列极坐标方程可以表示一个双曲线的是（　　）
  • A. ρ=
    4
    2-cosθ
  • B. ρ=
    4
    1-2cosθ
  • C. ρ=
    4
    1-cosθ
  • D. ρ=
    4
    1+cosθ
20
以焦点为极点，0x为极轴建立坐标系，则下列极坐标方程可以表示一个抛物线的是（　　）
  • A. ρ=
    4
    2-cosθ
  • B. ρ=
    4
    1-2cosθ
  • C. ρ=
    4
    1-cosθ
  • D. ρ=
    4
    1+cosθ
21
在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为（    ，    ）．
22
在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为（    ，    ）．
23
若极坐标系中曲线方程为ρcos2
θ
2
=1，以极点为原点，极轴为X轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为（      ）
  • A. y2=4（x+1）
  • B. y2=-4（x+1）
  • C. y2=-4（x-1）
  • D. y2=4（x-1）
24
········ THE END ········
常见极坐标方程
下一节：
直线和圆的参数方程
· 直线的参数方程
· 圆的参数方程
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