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两点之间线段最短介绍：

1. 两点之间线段最短及其应用。

如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释这一现象的原因．

分析根据线段的性质解答即可．

解答为抄近路践踏草坪原因是：两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．

点评本题考查了线段的性质，是基础题，主要利用了两点之间线段最短．

如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程．这样做根据的道理是（　　）

A. 两点之间，直线最短
B. 两点确定一条直线
C. 两点之间，线段最短
D. 两点确定一条线段

分析此题为数学知识的应用，由题意弯曲的河道改直，肯定为了尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．

解答解：因为两点之间线段最短，把弯曲的河道改直，能够缩短航程．
故选C．

点评此题为数学知识的应用，考查知识点两点之间线段最短．

线段和差与简单计算介绍：

1. 中点概念：把一条线段分成两条相等的线段的点；
2. 线段的和、差、倍、分及计算；
做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段。

已知：线段AB=4，延长AB至点C，使AC= 11．点D是AB的中点，点E是AC的中点．求DE的长．

解答解如图4-20，因为AB =4，点D为AB中点，故AD =2．

又因为AC=11，点E为AC中点，AE=5.5．
故DE =AE -AD= 5.5 -2=3.5．

比较各图中线段AB与CD的长度（可以先目测，再用刻度尺测量）：

如图，C，D是线段AB上不同的两点，那么：
（1） AC=___-DC，BD=___-CD；
（2） AC=___-BC，BD=___-AD；
（3） AB=___+___+___．

如图，点A，B，C在一条直线上，已知AB=3 cm，BC=l cm，M是AB的中点，N是BC的中点，求MN的长．

如图，用刻度尺测量出AB，AC，BC的长度，并比较AB +AC与BC的长短．不通过测量，你能比较AB +AC与BC的长短吗？依据是什么？

已知点P是线段AB的中点，若AB=6cm，则PB= cm．

分析根据P是线段AB的中点，所以PB=

AB，即可解答．

解答解：∵P是线段AB的中点，
∴PB=

AB=

×6=3cm．
故答案为：3．

点评本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是理解线段中点的定义．

如图，C是线段AB上一点，M是线段AC的中点，若AB=8cm，BC=2cm，则MC的长是（　　）

A. 2 cm
B. 3 cm
C. 4 cm
D. 6 cm

分析由图形可知AC=AB-BC，依此求出AC的长，再根据中点的定义可得MC的长．

解答解：由图形可知AC=AB-BC=8-2=6cm，
∵M是线段AC的中点，
∴MC=

AC=3cm．
故MC的长为3cm．
故选B．

点评考查了两点间的距离的计算；求出与所求线段相关的线段AC的长是解决本题的突破点．

如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，若AB=12，AC=8，则CD= ．

分析根据AB=12，AC=8，求出BC的长，再根据点D是线段BC的中点，得出CD=BD即可得出答案．

解答∵AB=12，AC=8，
∴BC=4，
∵点D是线段BC的中点，
∴CD=BD=2，
故答案为：2．

点评此题主要考查了两点距离求法，根据已知求出BC=4是解决问题的关键．

已知点C是线段AB的中点，AB=2，则BC= ．

分析根据中点把线段分成两条相等的线段解答．

解答解：根据题意，BC=

AB=1．

点评本题根据线段的中点的定义求解．

线段计算之多解问题介绍：

1. 图形有多种可能的线段计算问题。

点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为-3、1，若BC=2，则AC等于（　　）

A. 3
B. 2
C. 3或5
D. 2或6

分析要求学生分情况讨论A，B，C三点的位置关系，即点C在线段AB内，点C在线段AB外．

解答此题画图时会出现两种情况，即点C在线段AB内，点C在线段AB外，所以要分两种情况计算．
点A、B表示的数分别为-3、1，
AB=4．
第一种情况：在AB外，

AC=4+2=6；
第二种情况：在AB内，

AC=4-2=2．
故选：D．

点评在未画图类问题中，正确画图很重要．本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．

已知C是线段AB中点，AB=10，若E是直线AB上一点，且BE=3，则CE= 或（按从小到大顺序填写）．

分析由已知C是线段AB中点，AB=10，求得BC=5，进一步分类探讨：E在BC内；E在CB的延长线上；由此画图得出答案即可．

解答解：∵C是线段AB中点，AB=10，
∴BC=

AB=5．
①如图，当E在BC内，

CE=BC-BE=5-3=2；
②如图，E在CB的延长线上，

CE=BC+BE=5+3=8；
所以CE=2或8．
故答案为：2或8．

点评此题考查线段中点的意义，线段的和与差，分类探究是解决问题的关键．

已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，则线段AC= 或 cm（按从小到大的顺序填写）．

分析点C可能在线段AB上，也可能在AB的延长线上．因此分类讨论计算．

解答根据题意，点C可能在线段AB上，也可能在AB的延长线上．
若点C在线段AB上，则AC=AB-BC=8-3=5（cm）；
若点C在AB的延长线上，则AC=AB+BC=8+3=11（cm）．
故答案为 5或11．

点评此题考查求两点间的距离，运用了分类讨论的思想，容易掉解．

已知线段AC=10cm，点B是线段AC的中点，点D是线段AC上一点，且BD=2cm，则线段CD的长为或 cm（按从小到大顺序填写）．

分析根据题意画出图形，由于点D与点B的位置关系不能确定，故应分两种情况进行讨论．

解答

解：如图1所示：
当点D在点B的左侧时，
∵AC=10cm，点B是线段AC的中点，
∴BC=

AC=

×10=5cm，
∵BD=2cm，
∴CD=BC+BD=5+2=7cm；
如图2所示：
当点D在点B的右侧时，
∵AC=10cm，点B是线段AC的中点，
∴BC=

AC=

×10=5cm，
∵BD=2cm，
∴CD=BC-BD=5-2=3cm．
故答案为：3cm或7cm．

点评本题考查的是两点间的距离，在解答此类问题时要注意各线段之间的和、差及倍数关系．

线段计算之列方程介绍：

1. 利用列方程的技巧解决线段计算问题。

如图，线段AB的中点为M，C点将线段MB分成MC：CB=1：3的两段，若AC=10，AB的长为．

分析本题需先设MC=x，根据已知条件C点将线段MB分成MC：CB=1：3的两段，求出MB=4x，利用M为AB的中点，列方程求出x的长，即可求出AB的长．

解答解：设MC=x，
∵MC：CB=1：3
∴BC=3x，MB=4x．
∵M为AB的中点．
∴AM=MB=4x．
∴AC=AM+MC=4x+x=10，即x=2．
所以AB=2AM=8x=16．
故AB的长为16．

点评本题主要考查了两点间的距离，在解题时要能根据两点间的距离，求出线段的长是本题的关键．

将线段AB延长到C，使BC=

AB，延长BC到D，使CD=

BC，延长CD到E，使DE=

CD，若AE=80厘米，则AB= 厘米．

分析根据题意，设DE=x厘米，则CD=3x厘米，BC=9x厘米，AB=27x厘米，则AE=x+3x+9x+27x=80，求得x的值，故AB=27x可求．

解答解：设DE=x厘米，则CD=3x厘米，BC=9x厘米，AB=27x厘米，
∴AE=x+3x+9x+27x=80，
解得x=2．
∴AB=54厘米．

点评本题考查：在一条直线或线段上的线段的加减运算和倍数运算，首先明确线段间的相互关系，再根据题意进行计算．

双中点模型介绍：

1. 双中点模型。

如下图，线段AB=24cm，C是线段AB上任意一点，M、N分别是AC、BC的中点，则MN的长为 cm．

分析根据题意C是线段AB上任意一点，M，N分别是AC，BC的中点，以及线段间的大小位置关系，可得到MN=

AB．

解答解：∵M，N分别是AC，BC的中点
∴MC=

AC，CN=

CB
∴MN=MC+CN=

(AC+CB)=

AB=

×24=12(cm)．
故答案为：12．

点评本题考查了两点间的距离．对于本类题目特别要注意线段间的大小及相对位置关系，从而建立等式，代入数值求解．

如图，线段AB=12cm，C是线段AB上任意一点，M，N分别是AC，BC的中点，MN的长为 cm．

分析由于点M是AC中点，所以MC=

AC，由于点N是BC中点，则CN=

BC，而MN=MC+CN=

（AC+BC）=

AB，从而可以求出MN的长度．

解答解：∵点M是AC中点，
∴MC=

AC，
∵N是BC中点，
∴CN=

BC，
∴MN=MC+CN=

（AC+BC）=

AB，
∴MN=6cm，
故答案为：6．

点评本题考查了线段的中点．不管点C在哪个位置，MC始终等于AC的一半，CN始终等于BC的一半，而MN等于MC加上CN等于AB的一半，所以不管C点在哪个位置MN始终等于AB的一半．

如图，C、D是线段AB上的两个点，CD=8cm，M是AC的中点，N是DB的中点，MN=12cm，那么线段AB的长等于 cm．

分析根据图示知MN=CD+

(AC+DB)=12cm，则易求(AC+DB)的值，所以AB=AC+BD+CD．

解答解：∵M是AC的中点，N是DB的中点，
∴MC=

AC，DN=

DB．
∵CD=8cm，MN=12cm，
∴MC+DN=MN-CD=12-8=4(cm)，
∴

(AC+DB)=4，
解得AC+DB=8，
∴AB=AC+DB+CD=8+8=16(cm)．
故答案是：16．

点评本题考查了两点间的距离．此题属于基础题，难度一般．

如图，C、D是线段AB上的两点，E是AC的中点，F是BD的中点，若EF=m，CD=n，则AB=(　　)

A. m-n
B. m+n
C. 2m-n
D. 2m+n

分析由已知条件可知，EC+FD=m-n，又因为E是AC的中点，F是BD的中点，则AE+FB=EC+FD，故AB=AE+FB+EF可求．

解答解：由题意得，EC+FD=EF-CD=m-n
∵E是AC的中点，F是BD的中点，
∴AE+FB=EC+FD=m-n
又∵AB=AE+FB+EF
∴AB=m-n+m=2m-n
故选C．

点评利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．

如图，点C、点D在线段AB上，E、F分别是AC、DB的中点，若AB=16， CD=7，则线段EF的长为．

分析根据AB和CD的值求出AC+DB，根据线段的中点求出CE+DF，代入CE+DF+CD求出即可．

解答解：∵E、F分别是AC、DB的中点，
∴CE=

AC，DF=

DB，
∵AB=16，CD=7
∴AC+DB=16-7=9
∴CE+DF=

×9=4.5
∴EF=CE+DF+CD=4.5+7=11.5
故答案为：11.5．

点评本题考查了线段的中点和两点间的距离，关键是能根据题意求出CE+DF的长，题目比较典型，是一道比较好的题目．

如图，已知B、C是线段AD上任意两点，E是AB的中点，F是CD的中点，若EF=a，AD=b，则线段BC的长是(　　)

A. b-a
B. 2b-a
C. 2a-b
D. 2(b-a)

分析由已知条件可知，EF=EB+BC+CF=a，得到EB+CF=a-BC，根据E是AB的中点，F是CD中点，AB+CD=2(EB+CF)=2(a-BC)，所以AD=AB+BC+CD=b，即2(a-BC)+BC=b，即可解答．

解答解：∵EF=EB+BC+CF=a，
∴EB+CF=a-BC，
∵E是AB的中点，F是CD中点
∴AB+CD=2(EB+CF)=2(a-BC)，
∵AD=AB+BC+CD=b，
∴2(a-BC)+BC=b
解得：BC=2a-b．
故选：C．

点评本题考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性，同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．

········ THE END ········

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