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平面直角坐标系的概念介绍：

1. 有序数对：我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对；
2. 平面直角坐标系：①在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴；②水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），两轴交点叫坐标系的原点；
3. 两轴把平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限。

在平面直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来得到一个封闭图形，说说你得到的是什么图形，并计算它们的面积．
（1） A（5，1），B（2，1），C（2，-3）；
（2） A（-1，2），B（-2，-1），C（2，-1），D（3，2）．

解答解（1）得到的是一个直角三角形，如图11-6（1）．它的面积是

×3×4=6．
（2）得到的一个平行四边形，如图11-6（2）．它的面积是4×3=12．

如图11-8，正方形ABCD的边长为4，请建立一个平面直角坐标系，并写出正方形的四个顶点A，B，C，D在这个平面直角坐标系中的坐标．

解答解如图11-9，以顶点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
此时，正方形的四个顶点A，B，C，D的坐标分别为：
A（0，0），B（4，0），C（4，4），D（0，4）．

在平面直角坐标系中描出下列各点，并指出它们分别在哪个象限或哪条坐标轴上：
A（-5，-3），B（4，-6），C（0，-1），D（-5，3），E（3.5，0），F（3.5，0）．

已知王东同学家在学校东100m、北150m处，赵西同学的家在学校西200m、南50m处．如图，把学校所在地取作原点，建立平面直角坐标系．试在坐标系中画出王东、赵西同学家的位置并用坐标表示它们（每一单位长度代表50m）．

填空：

（1）如图，在平面直角坐标系中描出下列各点：
A（2，0），B（1，3），C（-2，-2），D（1，-2）；

（2）按次序A→B→C→D→A，将所描出的点用线段连接起来，看看得到的是什么图形．
（3）计算所得到的图形面积．

假如你想让你的同学在不看图的情况下，准确地画出如图所示的"小船"图案，你怎样来描述它？

图11-1是某教室学生座位的平面图，你能描述吴小明和王健同学座位的位置吗？

解答数学中，为了确定平面内一个点的位置，我们先在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，如图11-2．水平的数轴叫做x轴或横轴（x-axis），取向右为正方向；垂直的数轴叫做y轴或纵轴（y-axis），取向上为正方向；两轴交点O为原点．这样就建立了平面直角坐标系（rectangular coordinate system），这个平面叫做坐标平面．
有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一对实数来表示了．例如，在图11-2中，点P可以这样来表示：由点P向x轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标是-2；由点P向y轴作垂线，垂足N在y轴上的坐标是3．于是，我们说点P的横坐标是-2，纵坐标是3，把横坐标写在纵坐标的前面，记作（-2，3）．（-2，3）就叫做点P在平面直角坐标系中的坐标，简称点P的坐标，表示为P（-2， 3）．
　　

在平面直角坐标系中，点（-4，4）在第______象限．

A. 一
B. 二
C. 三
D. 四

分析根据各象限内点的坐标特征解答．

解答点（-4，4）在第二象限．
故答案为：二．

点评本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．

下列点中，位于直角坐标系第二象限的点是（　　）

A. （2，1）
B. （-2，-1）
C. （-2，1）
D. （2，-1）

分析根据点在第二象限的符号特点横坐标是负数，纵坐标是正数作答．

解答解：∵点在第二象限的符号特点是横坐标是负数，纵坐标是正数，
∴符合题意的只有选项C，
故选C．

点评本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-），比较简单．

在平面直角坐标系中，点M（-2，1）在（　　）

A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

分析根据各象限内点的坐标特征解答．

解答点M（-2，1）在第二象限．
故选：B．

在平面直角坐标系中，下面的点在第四象限的是（　　）

A. （1，3）
B. （0，-3）
C. （-2，-3）
D. （π，-1）

分析满足点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数，结合选项进行判断即可．

解答解：因为第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数，而各选项中符合纵坐标为正，负的只有D（π，-1）．
故选D．

点评本题主要考查了平面直角坐标系中第四象限的点的坐标的符号特点，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．

坐标系不同区域点的特点介绍：

1. 了解平面直角坐标系中不同区域点坐标的特点。

如图的坐标平面上有P、Q两点，其坐标分别为（5，a）、（b，7）．根据图中P、Q两点的位置，判断点（6-b，a-10）落在第几象限？（　　）

A. 一
B. 二
C. 三
D. 四

分析由平面直角坐标系判断出a＜7，b＜5，然后求出6-b，a-10的正负情况，再根据各象限内点的坐标特征解答．

解答∵（5，a）、（b，7）位置如图，
∴a＜7，b＜5，
∴6-b＞0，a-10＜0，
∴点（6-b，a-10）在第四象限．
故选D．

点评本题考查了点的坐标，观察图形，判断出a、b的取值范围是解题的关键．

第二象限内的点P（x，y）满足|x|=5，y²=4，则点P的坐标是（，）．

分析根据绝对值的意义和平方根得到x=±5，y=±2，再根据第二象限的点的坐标特点得到x＜0，y＞0，于是x=-5，y=2，然后可直接写出P点坐标．

解答解：∵|x|=5，y²=4，
∴x=±5，y=±2，
∵第二象限内的点P（x，y），
∴x＜0，y＞0，
∴x=-5，y=2，
∴点P的坐标为（-5，2）．
故答案为（-5，2）．

点评本题考查了点的坐标：熟练掌握各象限内的坐标特点．

在平面直角坐标系中，若点P（a，b）在第二象限，则点Q（1-a，-b）在第（　　）象限．

A. 一
B. 二
C. 三
D. 四

分析应根据点P的坐标特征先判断出点Q的横纵坐标的符号，进而判断点Q所在的象限．

解答∵点P（a，b）在第二象限，
∴a＜0，b＞0；
∴-a＞0，-b＜0，则1-a＞0，
即点Q（1-a，-b）在第四象限．
故选D．

点评解决本题的关键是牢记平面直角坐标系中各个象限内点的符号特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．

第二象限内的点P（x，y）满足|x|=9，y²=4，则点P的坐标是（，）．

分析点在第二象限内，那么其横坐标小于0，纵坐标大于0，进而根据所给的条件判断具体坐标．

解答解：∵点P（x，y）在第二象限，
∴x＜0 y＞0，
又∵|x|=9，y²=4，
∴x=-9 y=2，
∴点P的坐标是（-9，2）．故答案填（-9，2）．

点评本题主要考查了平面直角坐标系中第二象限的点的坐标的符号特点，第二象限（-，+）．

已知点P（a，b）且ab=0，则点P在（　　）

A. x轴上
B. y轴上
C. 坐标原点
D. 坐标轴上

分析根据ab=0，得出a、b的值，分类讨论得出结果．

解答解：∵点P（a，b）且ab=0，
∴a=0或b=0，
如果a=0，点P在y轴上；
如果b=0，点P在x轴上；
如果a=0，b=0，则点在坐标原点．
所以点P在坐标轴上，故选D．

点评解答此题的关键是熟记平面直角坐标系中坐标轴上的点的表示，x轴纵坐标为0，y轴上横坐标为0．

如果点A（a，b）在x轴上，且在原点右侧，那么（　　）

A. a＝0，b＜0
B. a＞0，b＝0
C. a＜0，b＞0
D. a＝0，b＞0

分析x轴上的点满足纵坐标为0，原点右侧的点大于0，可得出a、b所满足的条件．

解答解：因为点A在x轴上，
所以b=0，
又因为在原点的右侧，
所以a＞0，
故答案为：B．

点评此题主要考查坐标轴上的点的特征，解题的关键是掌握好特殊位置点的特征，注意原点右侧的点所满足的条件．

点到坐标轴的距离介绍：

1. 点坐标与点到坐标轴距离的关系。

在平面直角坐标系中，点P(-3，4)到x轴的距离为，到y轴的距离为．

分析点到x、y轴的距离分别是其纵坐标、横坐标的绝对值．

解答解：点P（-3，4）到x轴的距离是其纵坐标的绝对值，
点P（-3，4）到y轴的距离是其横坐标的绝对值，
所以点P（-3，4）到x轴的距离为4，到y轴的距离为3．
故填两空分别4，3．

点评本题考查的是点的坐标的几何意义，明确点的坐标与其到x、y轴的距离的关系是解答本题的关键．

点(-3，5)到x轴的距离是，到y轴的距离是．

分析根据点的横纵坐标确定点到坐标轴x、y的距离．

解答解：∵点的坐标为(-3，5)，
∴点到x轴上的距离等于其纵坐标5的绝对值，即等于5；
点到y轴上的距离等于其横坐标-3的绝对值，即等于3．
所以答案分别填5，3．

点评解答此题的关键是熟记点的横纵坐标的绝对值分别代表点到y轴距离和点到x轴的距离．

坐标平面上有一点A，且A点到x轴的距离为3，A点到y轴的距离恰为到x轴距离的3倍．若A点在第二象限，则A点坐标为何？（　　）

A. （-9，3）
B. （-3，1）
C. （-3，9）
D. （-1，3）

分析根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度求出点A的纵坐标，再根据点到y轴的距离等于横坐标的长度求出横坐标，即可得解．

解答解：∵A点到x轴的距离为3，A点在第二象限，
∴点A的纵坐标为3，
∵A点到y轴的距离恰为到x轴距离的3倍，A点在第二象限，
∴点A的横坐标为-9，
∴点A的坐标为（-9，3）．
故选A．

点评本题考查了点的坐标，主要利用了点到x轴的距离等于纵坐标的长度，点到y轴的距离等于横坐标的长度，需熟练掌握并灵活运用．

已知点M到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，则M点的坐标为（　　）

A. （1，2）
B. （-1，-2）
C. （1，-2）
D. （2，1），（2，-1），（-2，1），（-2，-1）

分析根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度，解答即可．

解答∵点M到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，
∴点M的横坐标为2或-2，纵坐标是1或-1，
∴点M的坐标为（2，1），（2，-1），（-2，1），（-2，-1）．
故选D．

点评本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．

坐标平面上，在第二象限内有一点P，且P点到x轴的距离是4，到y轴的距离是5，则P点坐标为(　　)

A. (-5，4)
B. (-4，5)
C. (4，5)
D. (5，-4)

分析先根据P在第二象限内判断出点P横纵坐标的符号，再根据点到坐标轴距离的意义即可求出点P的坐标．

解答∵点P在第二象限内，
∴点P的横坐标小于0，纵坐标大于0；
又∵P到x轴的距离是4，到y轴的距离是5，
∴点P的纵坐标是4，横坐标是-5；
故点P的坐标为(-5，4)，
故选A．

点评本题考查了平面直角坐标系内点的位置的确定，解答此题的关键是熟记平面直角坐标系中各个象限内点的坐标符号，以及明确点到坐标轴距离的含义．

点P（x，y）到x轴距离为2，到y轴距离为3，且x+y＞0，xy＜0，则P的坐标为（　　）

A. （3，-2）
B. （-3，2）
C. （-2，3）
D. （2，-3）

分析由点P（x，y）到X轴距离为2，到Y轴距离为3，可得x，y的可能的值，由x+y＞0，xy＜0，可得两数异号，且正数的绝对值较大；根据前面得到的结论即可判断点P的坐标．

解答解：∵点P（x，y）到X轴距离为2，到Y轴距离为3，
∴|x|=3，|y|=2，
∴x=±3，y=±2；
∵x+y＞0，xy＜0，
∴x=3，y=-2，
∴P的坐标为（3，-2），故选A．

点评本题涉及到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值；点到y轴的距离为点的横坐标的绝对值；两数相乘，异号得负；异号两数相加，结果的符号和绝对值较大的加数的符号相同．

点P的坐标为(2-a，3a+6)，且到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为（　　）

A. (3，3)
B. (3，-3)
C. (6，-6)
D. (3，3)或(6，-6)

分析根据点P到两坐标轴的距离相等，可得|2-a|=|3a+6|，即可求出a的值，则点P的坐标可求．

解答解：∵点P的坐标为（2-a，3a+6），且到两坐标轴的距离相等，
∴|2-a|=|3a+6|，
∴2-a=±（3a+6）
解得a=-1或a=-4，
即点P的坐标为（3，3）或（6，-6）．
故选D．

点评本题考查了点到两坐标轴的距离相等的特点，即点的横纵坐标的绝对值相等．

已知点P(3，a-1)到两坐标轴的距离相等，则a的值为(　　)

A. 4
B. 3
C. -2
D. 4或-2

分析根据平面直角坐标系内点的坐标的几何意义即可解答．

解答解：∵点P(3，a-1)到两坐标轴的距离相等，∴|a-1|=3，解得a=4或a=-2．
故选D．

点评本题主要考查了点的坐标的几何意义，注意横坐标的绝对值就是到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x轴的距离．

坐标系中的面积计算介绍：

1. 掌握坐标系中多边形的面积计算技巧。

已知在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为：A(1,4)，B(1,1)，C(3,2)，则△ABC的面积是．

分析画出三角形，利用三角形面积计算即可．

解答解：根据A、B的点坐标易得AB=3，由C点坐标可知，AB边上的高是2，
所以三角形的面积等于3．

点评本题考查了坐标系内点坐标与线段之间的转化以及三角形面积公式．

如图，在平面直角坐标系xoy中，A,(-1,5)，B(-1,0)，C(-4,3)．则△ABC的面积是．

分析画出三角形，利用三角形面积计算即可．

解答解：根据A、B的点坐标易得AB=5，由C点坐标可知，AB边上的高是3，
所以三角形的面积等于7.5．

点评本题考查了坐标系内点坐标与线段之间的转化以及三角形面积公式．

已知在四边形ABCD中，A(1，0)，B(4，0)，C(5，3)，D(0，4)，则四边形ABCD的面积是．

分析通过包含四边形ABCD的矩形减去周边三个三角形的面积可得．

解答解：如图，S_ABCD=S_ODEF-S_△OAD-S_△DEB-S_△BFC=20-2-2.5-1.5=14．

点评本题考查了割补法在坐标系面积计算问题中的应用．

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,4)，B(6,3)，则△OAB的面积是．

分析通过包含三角形OAB的矩形减去周边三个三角形的面积可得．

解答解：如图，S_△OAB=S_OCDE-S_△OAC-S_△ADB-S_△BFO=24-4-2-9=9．

点评本题考查了割补法在坐标系面积计算问题中的应用．

········ THE END ········

平面内点的坐标

图形在坐标系中的平移

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