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轴对称基本概念和性质介绍：

1. 轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴；
2. 轴对称的性质：对称轴两边的图形全等。

在三角形、四边形、五边形、和正六边形中，是轴对称图形的是（　　）

A. 三角形
B. 四边形
C. 五边形
D. 正六边形

分析关于某条直线对称的图形叫轴对称图形．

解答只有正六边形沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形．
故选D．

点评本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．

下列图案中，不是轴对称图形的是(　　)

分析根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．

解答A、不是轴对称图形，故本选项正确；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．

点评本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

请同学们写出两个具有轴对称性的汉字．

分析根据轴对称图形的概念，即可写出：甲，日，田等字．

解答具有轴对称性的汉字：甲，日等字．

点评此题为开放性试题，能够根据轴对称图形的概念，写出左右对称或上下对称的汉字均可．

下列交通标志图案是轴对称图形的是(　　)

分析根据轴对称的定义结合选项所给的特点即可得出答案．

解答A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误；
故选B．

点评本题考查了轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）

分析根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出答案．

解答A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选C．

点评本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

如图，用数学的眼光欣赏这个蝴蝶图案，它的一种数学美体现在蝴蝶图案的（　　）

A. 轴对称性
B. 用字母表示数
C. 随机性
D. 数形结合

分析根据轴对称的定义可以得出，数学美体现在蝴蝶图案的对称性．

解答用数学的眼光欣赏这个蝴蝶图案，它的一种数学美体现在蝴蝶图案的对称性．
故选：A．

点评此题主要考查了轴对称的应用，根据图形得出一种数学美，有利于同学们的生活的喜爱以及数学与生活之间的联系．

正五边形的对称轴共有（　　）

A. 2条
B. 4条
C. 5条
D. 10条

分析过正五边形的五个顶点作对边的垂线，可得对称轴．

解答

解：如图，
正五边形的对称轴共有5条．
故选C．

点评本题考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．

下列四种图形都是轴对称图形，其中对称轴条数最多的图形是（　　）

A. 等边三角形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形

分析如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，分别判断出各图形的对称轴条数，继而可得出答案．

解答A、等边三角形有3条对称轴；
B、矩形有2条对称轴；
C、菱形有2条对称轴；
D、正方形有4条对称轴；
故选D．

点评本题考查了轴对称图形的知识，注意掌握轴对称及对称轴的定义．

下列四个图形：

其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是(　　)

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

分析根据轴对称图形及对称轴的定义求解．

解答第一个是轴对称图形，有2条对称轴；
第二个是轴对称图形，有2条对称轴；
第三个是轴对称图形，有2条对称轴；
第四个是轴对称图形，有3条对称轴；
∴对称轴的条数为2的图形的个数是3；
故选：C．

点评本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；

正三角形的对称轴有（　　）

A. 1条
B. 2条
C. 3条
D. 4条

分析根据正三角形的轴对称性解答．

解答解：根据正三角形的轴对称性，三条高所在的直线都是对称轴．
故选C．

点评本题考查了等边三角形的轴对称性，熟记等边三角形的轴对称性以及对称轴是解题的关键，注意对称轴是直线．

下列图形中，对称轴有且只有3条的是(　　)

A. 菱形
B. 等边三角形
C. 正方形
D. 圆

分析关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

解答A、有2条对称轴，即对角线所在的直线，不符合题意；
B、有三条对称轴，即三边的垂直平分线，符合题意；
C、有4条对称轴，即两条对角线所在的直线和两组对边的垂直平分线，不符合题意；
D、有无数条对称轴，即过圆心的每一条直线，不符合题意．
故选B．

点评组熟练掌握特殊图形的对称轴的条数，牢记正N边形有N条对称轴，立即能得解．

下列“数字”图形中，有且仅有一条对称轴的是(　　)

分析如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，找到各选项中的对称轴即可．

解答A、有一条对称轴，故本选项正确；
B、没有对称轴，故本选项错误；
C、有两条对称轴，故本选项错误；
D、有两条对称轴，故本选项错误；
故选A．

点评本题考查了轴对称图形，解答本题的关键是掌握轴对称图及对称轴的定义，属于基础题．

轴对称的性质介绍：

1. 掌握轴对称图形的性质。

指出下列图形各有几条付称轴，画出每个图的对称轴．

如图是民间双喜图，它是轴对称图形吗？若是，请你尝试画出它的对称轴．你能用纸剪一个双喜图吗？试试看．

将一张纸片对折，在折痕上选两点A，B，从A到B任意剪去纸片的一部分，打开时，你能看到什么样的图案？请试试看．

如图，枫叶平面图是轴对称图形，叶尖A，A′与对称轴l的位置有什么关系？叶尖B，B′与对称轴l的位置存在同样的关系吗？

已知直线l和△ABC（如图），画△A'B′C'，使得它与△ABC关于直线l对称．

画出下列以l为对称轴的轴对称图形．

分别写出下列各点关于x轴，Y轴对称的点的坐标：
A（-2，0），
B（2，-3），
C（-4，-2），
D（-3，2），
E（0，-1），
F（2，3）．

作出图中多边形ABCD关于x轴、y轴的对称图形．

如图，两个三角形关于某直线对称，则x=（　　）°．

A. 34
B. 35
C. 36
D. 37

分析根据轴对称的性质可得∠E=∠B，再根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．

解答解：∵两个三角形关于某直线对称，
∴∠E=∠B=117°，
∴x=180°-27°-117°=36°．
故选C．

点评本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．

如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=78°，∠C′=48°，则∠B的度数为（　　）

A. 48°
B. 54°
C. 74°
D. 78°

分析由轴对称的性质知∠C=∠C′=48°，由三角形内角和定理得∠B=54°．

解答∵在△ABC中，∠A=78°，∠C=∠C′=48°，
∴∠B=180°-78°-48°=54°．
故选B．

点评本题考查轴对称的性质及三角形内角和定理；把已知条件转化到同一个三角形中利用内角和求解是正确解答本题的关键．

下列语句中正确的有(　　)句
①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；
②两个能重合的图形一定关于某条直线对称；
③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴；
④轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧．

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

分析认真阅读4个小问题提供的已知条件，根据轴对称的性质，对题中条件进行一一分析，得到正确选项．

解答解：①关于一条直线对称的两个图形一定能重合，正确；
②两个能重合的图形全等，但不一定关于某条直线对称，错误；
③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴，正确；
④轴对称图形的对应点不一定在对称轴的两侧，还可以在对称轴上，错误．
故选B．

点评本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，找着每个问题的正误的具体原因是正确解答本题的关键．

下列说法正确的有(　　)
(1)全等的两个图形一定对称．
(2)成轴对称的两个图形一定全等．
(3)若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧．
(4)若点A、B关于直线MN对称，则直线MN垂直平分线段AB．

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

分析根据轴对称的性质对各小题进行逐一判断即可．

解答解：(1)全等的两个图形不一定对称，故本小题错误；
(2)成轴对称的两个图形一定全等，故本小题正确；
(3)若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点位于对称轴的两侧或对称轴上，故本小题错误；
(4)若点A、B关于直线MN对称，则直线MN垂直平分线段AB，符合轴对称的性质，故本小题正确．
故选B．

点评本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解答此题的关键．

画轴对称图形介绍：

1. 对称点的画法：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
2. 与轴对称有关的的作图问题。

如图，以虚线为对称轴画出图形的另一半．

涂黑一块，使之成为关于红线的轴对称图形，应该涂（　　）

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

分析都试试，看哪个对称就行．

解答要关于红线对称，肯定得涂1，
所以这题选A．

点评这题考察了轴对称的概念．

将一张正方形纸片，按如图步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是(　　)

分析按照题意要求，动手操作一下，可得到正确的答案．

解答由题意要求知，展开铺平后的图形是B．
故选：B．

点评此题主要考查了剪纸问题，此类问题应亲自动手折一折，剪一剪看看，可以培养空间想象能力．

将一张正方形纸片按如图1，图2所示的方向对折，然后沿图3中的虚线剪裁得到图4，将图4的纸片展开铺平，再得到的图案是(　　)

分析对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．

解答严格按照图中的顺序向右上翻折，向左上角翻折，剪去左上角，展开得到结论．
故选：B．

点评本题考查的是剪纸问题，此类题目主要考查学生的动手能力及空间想象能力，对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．

将军饮马问题介绍：

1. 将军饮马问题的理解：在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点。

如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8千米，P，Q两地到l的距离分别为2千米，5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则河水沿着管道，从M到P的路程加上M到Q的路程，最短的是（　　）

分析利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．

解答解：作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线L于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．
故选B．

点评此题为数学知识的应用，考查知识点两点之间线段最短．

如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　）

分析利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．

解答解：作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道是所需管道最短的．
故选D．

点评本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．

将军饮马问题的应用介绍：

1. 将军饮马问题的应用：凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点。

如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是．

分析连接AG交EF于M，从图中可以看出，A、G关于EF对称，得到P，△PBG周长最小，求出AB+BG即可得到答案．

解答解：要使△PBG的周长最小，而BG=1一定，只要使BP+PG最短即可，

连接AG交EF于M，
从图中可以看出， A、G关于EF对称，
即当P和E重合时，此时BP+PG最小，即△PBG的周长最小，
最小值是：PB+PG+BG=AE+BE+BG=AB+BG=2+1=3．
故答案为：3．

点评本题主要考查轴对称-最短路线问题，能求出BP+PG的最小值是解此题的关键．

如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm²，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为 cm．

分析连接AD，根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．

解答

解：连接AD，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
在△ABD和△ACD中

{	AB=AC BD=CD AD=AD

∴△ABD≌△ACD，
∴∠ADB=∠ADC，
又∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠ADB=90°
∴AD⊥BC，
∴S_△ABC=

BC•AD=

×4×AD=12，解得AD=6cm，
∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+

BC=6+

×4=6+2=8cm．
故答案为：8．

点评本题考查的是轴对称-最短路线问题．

········ THE END ········

轴对称图形

线段的垂直平分线

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