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垂直平分线的性质与判定介绍：

1. 垂直平分线的定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称“中垂线”；
2. 垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；
3. 垂直平分线的判定：到线段两端点相等的点在线段的垂直平分线上。

己知：如图15-13，△ABC的边AB，AC的垂直平分线相交于点P．
求证：点P在BC的垂直平分线上．

解答证明连接PA，PB ， PC．
∵点P在AB，AC的垂直平分线上，（已知）
∴PA=PB，PA=PC（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
∴PB=PC．（等量代换）
∴点P在BC的垂直平分线上．（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）

公路l同侧的A，B两村，共同出资在公路边修建一个停靠站C，使停靠站到A，B两村距离相等．请你确定停靠站C的位置．

已知：直线l是线段AB的垂直平分线，C，D是l上任意两点(除AB的中点外)．
求证：(1)△ABC，△ABD是等腰三角形；
(2)∠CAD=∠CBD．

解答lue

已知：C，D是线段AB外的两点，且CA=CB，DA=DB．求证：直线CD垂直平分线段AB．

已知CD垂直平分AB，若AC=4cm，AD=5cm，则四边形ADBC的周长是 cm．

分析由于CD垂直平分AB，所以AC=BC，AD=BD，而AC=4cm，AD=5cm，由此即可求出四边形ADBC的周长．

解答解：∵CD垂直平分AB，若AC=4cm，AD=5cm，
∴AC=BC=4cm，AD=BD=5cm，
∴四边形ADBC的周长为AD+AC+BD+BC=18cm．
故填空答案：18．

点评此题主要考查线段的垂直平分线的性质，利用了线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解题是解答本题的关键．

点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7，则PB= ．

分析根据线段垂直平分线的性质得出PA=PB，代入即可求出答案．

解答∵点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7，
∴PB=PA=7，
故答案为：7．

点评本题考查了对线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．

下列说法错误的是(　　)

A. E，D是线段AB的垂直平分线上的两点，则AD=BD，AE=BE
B. 若AD=BD，AE=BE，则直线DE是线段AB的垂直平分线
C. 若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上
D. 若PA=PB，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线

分析根据线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，对各选项进行逐个验证，与之相符合的是正确的，反之，是错误的．

解答解：A、∵E是线段AB的垂直平分线上的点，∴AE=BE．同理AD=BD．故A正确；
B、若AD=BD，∴D在AB的垂直平分线上．同理E在AB的垂直平分线上．∴直线DE是线段AB的垂直平分线．故B正确；
C、若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上，故C正确；
D、若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．但过点P的直线有无数条，不能确定过点P的直线是线段AB的垂直平分线．故D错误．
故选D

点评本题考查的知识点为线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．

判断：若CA=CB，则过点C的直线是线段AB的垂直平分线（　　）

A. 对
B. 错

分析根据线段垂直平分线的性质定理及其逆定理进行验证．

解答解：若CA=CB，则点C在线段AB的垂直平分线上．
但过点C的直线有无数条，不能确定过点C的直线是线段AB的垂直平分线．
故选B

如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为10，则线段DE的长为．

分析运用线段垂直平分线定理可得BE=CE，再根据已知条件“△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为10”表示出线段之间的数量关系，联立关系式后求解．

解答∵DE是BC边上的垂直平分线，
∴BE=CE．
∵△EDC的周长为24，
∴CE+DC+DE=24，①
∵△ABC与四边形AEDC的周长之差为10，
∴（AB+AC+BC）-（AE+ED+DC+AC）=（AB+AC+BC）-（AE+DC+AC）-DE=10，
∴BE+BD-DE=10，②
∵BE=CE，BD=DC，
∴由①②得，DE=7．

点评此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

垂直平分线性质的应用介绍：

1. 掌握垂直平分线性质的常见应用。

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（　　）

A. 70°
B. 80°
C. 40°
D. 30°

分析由等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，即可求得∠ABC的度数，又由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案．

解答∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=

180°-∠A

=70°，
∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=40°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°．
故选：D．

点评此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连结OC，若∠AOC=125°，则∠ABC= °．

分析先根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠C，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OB=OC，根据等边对等角的性质求出∠OBC=∠C，然后根据角平分线的定义解答即可．

解答∵AD⊥BC，∠AOC=125°，
∴∠C=∠AOC-∠ADC=125°-90°=35°，
∵D为BC的中点，AD⊥BC，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠C=35°，
∵OB平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠OBC=2×35°=70°．
故答案为：70．

点评本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，角平分线的定义，是基础题，准确识图并熟记各性质是解题的关键．

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC的度数为 °．

分析由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得AE=BE，则可求得∠ABE的度数，又由AB=AC，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC的度数，继而求得答案．

解答解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=36°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=

180° -∠A

=72°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=72°-36°=36°．
故答案为：36．

点评此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用．

如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD= °．

分析先证明四边形BDEC是菱形，求出∠ABD的度数，再利用直角三角形的两锐角互余求出∠BAD的度数，然后根据轴对称性可得∠BAC=∠BAD，最后求解即可．

解答解：∵CD与BE互相垂直平分，
∴四边形BDEC是菱形，
∴DB=DE，
∵∠BDE=70°，
∴∠ABD=

180° -70°

=55°，
∵AD⊥DB，
∴∠BAD=90°-55°=35°，
根据轴对称性，四边形ACBD关于直线AB成轴对称，
∴∠BAC=∠BAD=35°，
∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=35°+35°=70°．
故答案为：70．

点评本题考查了轴对称的性质与直角三角形的两锐角互余，其中判断出四边形BDEC是菱形并得到该图象关于直线AB成轴对称是解题的关键．

如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为 cm．

分析根据中垂线的性质，可得DB=DC，继而可确定△ABD的周长．

解答∵l垂直平分BC，
∴DB=DC，
∴△ABD的周长=AB+AD+DB=AB+AD+DC=AB+AC=6cm．
故答案为：6．

点评本题考查了线段垂直平分线的性质，注意掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

如图，△ABC中，AB=AC=6，BC=4.5，分别以A、B为圆心，4为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长是．

分析先判定出D在AB的垂直平分线上，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BD=AD，再求出△BCD的周长=AC+BC，然后代入数据进行计算即可得解．

解答根据作法，点D在线段AB的垂直平分线上，
则BD=AD，
则△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC，
∵AC=6，BC=4.5，
∴△BCD的周长=6+4.5=10.5．
故答案为：10.5．

点评本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．

如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为．

分析运用线段垂直平分线定理可得BE=CE，再根据已知条件“△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12”表示出线段之间的数量关系，联立关系式后求解．

解答∵DE是BC边上的垂直平分线，
∴BE=CE．
∵△EDC的周长为24，
∴CE+DC+DE=24，①
∵△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，
∴（AB+AC+BC）-（AE+ED+DC+AC）=（AB+AC+BC）-（AE+DC+AC）-DE=12，
∴BE+BD-DE=12，②
∵BE=CE，BD=DC，
∴由①②得，DE=6．

点评此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于（　　）

A. 17
B. 18
C. 19
D. 20

分析由CD的垂直平分线交BC于E，根据线段垂直平分线的性质，即可得ED=EC，即可得四边形ABED的周长为AD+AB+BC，继而求得答案．

解答∵CD的垂直平分线交BC于E，
∴ED=EC，
∵AD=3，AB=5，BC=9，
∴四边形ABED的周长为：AD+AB+BE+ED=AD+AB+BE+EC=AD+AB+BC=3+5+9=17．
故选A．

点评此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用是解此题的关键．

如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于

AB的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为12，AB=16，则△ABC的周长为．

分析首先根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，再根据△ADC的周长为12可得AC+BC=12，再有条件AB=16可得△ABC的周长．

解答解：由题意得：MN是线段AB的垂直平分线，
则AD=BD，
∵△ADC的周长为12，
∴AC+CD+AD=12，
∴AC+CD+BD=12，
即：AC+BC=12，
∵AB=16，
∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=12+16=28，
故答案为：28．

点评此题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为10，则线段DE的长为．

分析运用线段垂直平分线定理可得BE=CE，再根据已知条件"△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为10"表示出线段之间的数量关系，联立关系式后求解．

点评此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

如图，△ABC中，BC=10，DH垂直平分AB，EF垂直平分AC，则△ADE的周长是（　　）

A. 6
B. 8
C. 10
D. 12

分析△ADE的周长=AD+DE+AE．根据垂直平分线性质，AD=BD，AE=CE．所以周长=BC．

解答解：∵DH垂直平分AB，EF垂直平分AC，
∴AD=BD，AE=CE．
△ADE的周长=AD+DE+AE，
=BD+DE+EC，
=BC，
=10．
故选C．

点评此题考查了线段垂直平分线的性质，属基础题．

如图，在△ABC中，∠BAC=100°，点D、E分别是AB、AC边的垂直平分线与BC的交点，那么∠DAE= °．

分析根据线段的垂直平分线得出AD=BD，AE=CE，易证△ADF≌△BDF，△AEG≌△CEG，推出∠BAD=∠B，∠CAE=∠C，根据三角形的内角和定理求出∠B+∠C的度数，求出∠BAD+∠CAE的度数即可得到答案．

解答解：∵点D、E分别是AB、AC边的垂直平分线与BC的交点，
∴AD=BD，AE=CE，
∴△ADF≌△BDF(HL)，△AEG≌△CEG(HL)，
∴∠BAD=∠B，∠CAE=∠C，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∠BAC=100°，
∴∠B+∠C=80°，
∴∠BAD+∠CAE=80°，
∴∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠CAE)=20°．

点评本题主要考查对三角形的内角和定理，线段的垂直平分线等知识点的理解和掌握，能综合应用这些性质进行计算是解此题的关键．

如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，边AC的垂直平分线分别AC、BC于点F、G、若BC=4，则△AEG的周长为（　　）

A. 12
B. 10
C. 8
D. 4

分析根据线段垂直平分线的性质计算．

解答解：∵ED，GF分别是AB，AC的垂直平分线，
∴AE=BE，AG=GC，
∴△AEG的周长为AE+AG+EG=BC=4．
故选D．

点评此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（　　）

A. 20°
B. 40°
C. 50°
D. 60°

分析由∠BAC的大小可得∠B与∠C的和，再由垂直平分线，可得∠BAP=∠B，∠QAC=∠C，进而可得∠PAQ的大小．

解答解：∵∠BAC=110°，
∴∠B+∠C=70°，
又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，
∴AP=BP，AQ=CQ，
∴△MAP≌△MBP，△QAN≌△QCN，
∴∠MAP=∠B，∠NAQ=∠C，
∴∠MAP+∠NAQ=70°，
∴∠PAQ=∠BAC-∠MAP-∠NAQ=110°-70°=40°
故选B．

点评本题考查了线段垂直平分线的性质；要熟练掌握垂直平分线的性质，能够求解一些简单的计算问题．

········ THE END ········

线段的垂直平分线

等腰三角形

· 等腰三角形

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垂直平分线的性质与判定

己知：如图15-13，△ABC的边AB，AC的垂直平分线相交于点P．
求证：点P在BC的垂直平分线上．

公路l同侧的A，B两村，共同出资在公路边修建一个停靠站C，使停靠站到A，B两村距离相等．请你确定停靠站C的位置．

已知：直线l是线段AB的垂直平分线，C，D是l上任意两点(除AB的中点外)．
求证：(1)△ABC，△ABD是等腰三角形；
(2)∠CAD=∠CBD．

已知：C，D是线段AB外的两点，且CA=CB，DA=DB．求证：直线CD垂直平分线段AB．

已知CD垂直平分AB，若AC=4cm，AD=5cm，则四边形ADBC的周长是 cm．

点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7，则PB= ．

下列说法错误的是(　　)

A. E，D是线段AB的垂直平分线上的两点，则AD=BD，AE=BE
B. 若AD=BD，AE=BE，则直线DE是线段AB的垂直平分线
C. 若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上
D. 若PA=PB，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线

判断：若CA=CB，则过点C的直线是线段AB的垂直平分线（　　）

A. 对
B. 错

如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为10，则线段DE的长为．

垂直平分线性质的应用

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（　　）

A. 70°
B. 80°
C. 40°
D. 30°

如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连结OC，若∠AOC=125°，则∠ABC= °．

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC的度数为 °．

如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD= °．

如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为 cm．

如图，△ABC中，AB=AC=6，BC=4.5，分别以A、B为圆心，4为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长是．

如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为．

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于（　　）

A. 17
B. 18
C. 19
D. 20

如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于

AB的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为12，AB=16，则△ABC的周长为．

如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为10，则线段DE的长为．

如图，△ABC中，BC=10，DH垂直平分AB，EF垂直平分AC，则△ADE的周长是（　　）

A. 6
B. 8
C. 10
D. 12

如图，在△ABC中，∠BAC=100°，点D、E分别是AB、AC边的垂直平分线与BC的交点，那么∠DAE= °．

如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，边AC的垂直平分线分别AC、BC于点F、G、若BC=4，则△AEG的周长为（　　）

A. 12
B. 10
C. 8
D. 4

如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（　　）

A. 20°
B. 40°
C. 50°
D. 60°

········ THE END ········

线段的垂直平分线

等腰三角形

· 等腰三角形

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