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二次函数的应用
利用二次函数求最值介绍：

1.用二次函数的求相关问题的最值。
在第21. 1节的问题①中，要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？它的最大面积是多少平方米？
解答解 在第21. 1节中，得
S=x（20-x）．
将这个函数的表达式配方，得
S=-(x-10)2+100（0＜x＜20）．
这个函数的图象是一条开口向下抛物线中的一段，如图21-23，它的顶点坐标是（10， 100）．所以，当x=10时，函数取得最大值，即

S最大值=100（m2）．
此时，另一边长=20-10=10（m）．
答：当围成的矩形水面边长都为10 m时，它的面积最大为100m2．
解答第21.1节的问题②．
在直角三角形中，两直角边之和为10．问当两直角边的边长各是多少时，这个三角形的面积最大？最大面积是多少？
如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为8 m，另一边AB为2 m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）如果该隧道内设双行道，现有一辆货运车的高为4.3m ，宽为2.4m，问这辆货运车能否在一侧行道内通过该随道？
如图，某校的围墙上部由一段段相同的拱形栅栏连接而成，其中一段拱形栅栏（图中AOB）为抛物线的一部分，拱形栅栏的跨径AB之间按相同的间距（0.2m）用5根立柱加固，拱高OC为0.6m．
（1）以O为原点，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，根据以上数据，求出抛物线y=ax2对应的函数表达式；
（2）计算一段拱形栅栏所需5根立柱的总长度．
炮弹以一定的初速度和发射角射出后，上升的高度y m与对应的水平距离x m之间
的函数关系可表示为
y=-
1
5400
x2+
1
√3
x ．
试求：
(1)炮弹能达到的最大高度；
(2)炮弹最远射程．
解答(1)当x=-
b
2a
=900
√3
时，达到最大高度，此时y=450，即最大高度为450m；
(2)令y=0，解得x1=0(舍)，x2=1800
√3
，即最远射程为1800
√3
m．
心理学家研究发现，通常情况下．学生时知识的接受能力y与学习知识所用的连续时间x（单位：min）之间满足下列经验关系式
y=-0.1x2+2.6x+43 （0≤x≤30），
y的值越大，表示接受能力越强．
（1）当x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强，当x又在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
（2）在第10min时，学生的接受能力是多少？
（3）在第几分时，学生的接受能力最强？
某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，西红柿的种植成本Q元/kg与上市时间t天的关系用如图的抛物线表示．
（1）写出图中表示的种植成本Q元/kg与时间t天之间的函数表达式；
（2）西红柿上市多少天其种植成本最低？最低成本是多少？
当一个工厂在决定是否要生产某种产品时，往往向市场分析专家咨询该产品的销路．一种产品的销售量通常与销售单价有关，当单价上涨时，销售量就下降．假设某市场分析专家提供了下列数据：

设生产t件该产品的成本为
C=50t+1000．
完成下列要求：
（1） 在图21-32中，描出上述表格中各组数据对应的点；

（2）描出的这些点在一直线上吗？求t和x之间的函数表达式；
（3）问当销售单价x和年销售量t各为多少时，年利润P最大？
设生产t件某种电子产品的成本（单位：元）可以近似地表示为
C=1000t+2000000
制造商为了获得最大利润，进行了市场调查，取得了该种电子产品销售单价x和年销售量t之间的一组数据：

（1） 在图21-33中，描出上述表格中各组数据对应的点；

（2）请你帮助制造商分析，当年销售策t和销售单价x分别是多少时，年利润P最大？并说说你有几种求解方一法？与同学进行交流．
某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价增加x元(x为10的正整数倍)．
(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；
(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？
分析(1)理解每个房间的房价每增加x元，则减少房间
x
10
间，则可以得到y与x之间的关系；
(2)每个房间订住后每间的利润是房价减去20元，每间的利润与所订的房间数的积就是利润；
(3)求出二次函数的对称轴，根据二次函数的增减性以及x的范围即可求解．
解答解：(1)由题意得：
y=50-
x
10
，且0≤x≤160，且x为10的正整数倍．
(2)w=(180-20+x)(50-
x
10
)，即w=-
1
10
x2+34x+8000；
(3)w=-
1
10
x2+34x+8000=-
1
10
(x-170)2+10890
抛物线的对称轴是：x=-
b
2a
=-
34
-2×
1
10
=170，抛物线的开口向下，当x＜170时，w随x的增大而增大，
但0≤x≤160，因而当x=160时，即房价是340元时，利润最大，
此时一天订住的房间数是：50-
160
10
=34间，
最大利润是：34×(340-20)=10880元．
答：一天订住34个房间时，宾馆每天利润最大，最大利润为10880元．
点评本题是二次函数的应用，特别容易出现的错误是在求最值时不考虑x的范围，直接求顶点坐标．
用60m的篱笆围成一面靠墙且分隔成两个矩形的养鸡场，则养鸡场的最大面积为（　　）
  • A. 450m2
  • B. 300m2
  • C. 225m2
  • D. 60m2
分析设矩形的宽为xm，表示出长为60-3x，根据矩形的面积公式列式整理，再根据二次函数的最值问题解答．
解答解：设矩形的宽为xm，则长为60-3x，
养鸡场的面积=（60-3x）x=-3x2+60x=-3（x-10）2+300，
∵-3＜0，
∴当养鸡场的宽为10m时，养鸡场的最大面积为300m2．
故选B．
点评本题考查了二次函数的最值，要注意分隔成两个矩形有三条宽．
某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30-x）件．若使利润最大，每件的售价应为    元．
分析本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价-每件进价．再根据所列二次函数求最大值．
解答设最大利润为w元，
则w=（x-20）（30-x）=-（x-25）2+25，
∵20≤x≤30，
∴当x=25时，二次函数有最大值25，
故答案是：25．
点评本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
如图，一边靠校园围墙，其他三边用总长为40米的铁栏杆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB为x米，面积为S平方米，要使矩形ABCD面积最大，则x的长为（　　）
  • A. 10米
  • B. 15米
  • C. 20米
  • D. 25米
分析本题考查二次函数最小（大）值的求法．
解答解：设矩形ABCD的边AB为x米，则宽为40-2x，
S=（40-2x）x=-2x2+40x．
要使矩形ABCD面积最大，
则x=-
b
2a
=-
40
(-2)×2
=10m，
即x的长为10m．
故选A．
点评求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=-x2-2x+5，y=3x2-6x+1等用配方法求解比较简单．
········ THE END ········
二次函数的应用
下一节：
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· 反比例函数、综合与实践
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利用二次函数求最值
1
在第21. 1节的问题①中，要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？它的最大面积是多少平方米？
2
解答第21.1节的问题②．
3
在直角三角形中，两直角边之和为10．问当两直角边的边长各是多少时，这个三角形的面积最大？最大面积是多少？
4
如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为8 m，另一边AB为2 m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）如果该隧道内设双行道，现有一辆货运车的高为4.3m ，宽为2.4m，问这辆货运车能否在一侧行道内通过该随道？
5
如图，某校的围墙上部由一段段相同的拱形栅栏连接而成，其中一段拱形栅栏（图中AOB）为抛物线的一部分，拱形栅栏的跨径AB之间按相同的间距（0.2m）用5根立柱加固，拱高OC为0.6m．
（1）以O为原点，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，根据以上数据，求出抛物线y=ax2对应的函数表达式；
（2）计算一段拱形栅栏所需5根立柱的总长度．
6
炮弹以一定的初速度和发射角射出后，上升的高度y m与对应的水平距离x m之间
的函数关系可表示为
y=-
1
5400
x2+
1
√3
x ．
试求：
(1)炮弹能达到的最大高度；
(2)炮弹最远射程．
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心理学家研究发现，通常情况下．学生时知识的接受能力y与学习知识所用的连续时间x（单位：min）之间满足下列经验关系式
y=-0.1x2+2.6x+43 （0≤x≤30），
y的值越大，表示接受能力越强．
（1）当x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强，当x又在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
（2）在第10min时，学生的接受能力是多少？
（3）在第几分时，学生的接受能力最强？
8
某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，西红柿的种植成本Q元/kg与上市时间t天的关系用如图的抛物线表示．
（1）写出图中表示的种植成本Q元/kg与时间t天之间的函数表达式；
（2）西红柿上市多少天其种植成本最低？最低成本是多少？
9
当一个工厂在决定是否要生产某种产品时，往往向市场分析专家咨询该产品的销路．一种产品的销售量通常与销售单价有关，当单价上涨时，销售量就下降．假设某市场分析专家提供了下列数据：

设生产t件该产品的成本为
C=50t+1000．
完成下列要求：
（1） 在图21-32中，描出上述表格中各组数据对应的点；

（2）描出的这些点在一直线上吗？求t和x之间的函数表达式；
（3）问当销售单价x和年销售量t各为多少时，年利润P最大？
10
设生产t件某种电子产品的成本（单位：元）可以近似地表示为
C=1000t+2000000
制造商为了获得最大利润，进行了市场调查，取得了该种电子产品销售单价x和年销售量t之间的一组数据：

（1） 在图21-33中，描出上述表格中各组数据对应的点；

（2）请你帮助制造商分析，当年销售策t和销售单价x分别是多少时，年利润P最大？并说说你有几种求解方一法？与同学进行交流．
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某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价增加x元(x为10的正整数倍)．
(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；
(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？
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用60m的篱笆围成一面靠墙且分隔成两个矩形的养鸡场，则养鸡场的最大面积为（　　）
  • A. 450m2
  • B. 300m2
  • C. 225m2
  • D. 60m2
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某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30-x）件．若使利润最大，每件的售价应为    元．
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如图，一边靠校园围墙，其他三边用总长为40米的铁栏杆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB为x米，面积为S平方米，要使矩形ABCD面积最大，则x的长为（　　）
  • A. 10米
  • B. 15米
  • C. 20米
  • D. 25米
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········ THE END ········
二次函数的应用
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