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相似的概念介绍：

1. 相似图形:我们把形状相同的图形称为相似形；
2. 相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：
①相似图形的形状必须完全相同；
②相似图形的大小不一定相同；
③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况。

下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有(　　)
(1)菱形都相似；(2)等腰直角三角形都相似；(3)正方形都相似；
(4)矩形都相似；(5)正六边形都相似．

A. 1 个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

分析利用相似图形的性质分别判断得出即可．

解答解：(1)所有菱形的对应角不一定相等，故菱形不一定都相似；
(2)等腰直角三角形都相似，正确；
(3)正方形都相似，正确；
(4)矩形对应边比值不一定相等，不矩形不一定都相似；
(5)正六边形都相似，正确，
故符合题意的有3个．
故选：C．

点评此题主要考查了相似图形，应注意：
①相似图形的形状必须完全相同；
②相似图形的大小不一定相同；
③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．

下列说法不一定正确的是(　　)

A. 所有的等边三角形都相似
B. 所有的等腰直角三角形都相似
C. 所有的菱形都相似
D. 所有的正方形都相似

分析利用“对应角相等，对应边的比也相等的多边形相似”进行判定即可．

解答解：A、所有的等边三角形都相似，正确；
B、所有的等腰直角三角形都相似，正确；
C、所有的菱形不一定都相似，故错误；
D、所有的正方形都相似，正确．
故选C．

点评本题考查了相似图形的定义，解题的关键是了解对应角相等，对应边的比也相等的多边形相似，比较简单．

如图，下列两个四边形若相似，则下列结论不正确的是(　　)

A. ∠α=100°
B. x=
32
5
C. y=
24
5
D. x=7

分析根据相似图形的对应角相等，对应边的比相等得到答案．

解答解：∠α=360°=50°-120°-90°=100°，A正确；
x=

8×4

，B正确，D错误，
故选D．

点评本题考查了相似多边形的性质，牢记相似多边形的对应角相等，对应边的比也相等．

如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则∠1= °，AD= ．

分析☆根据相似多边形对应边之比相等，对应角相等可得．

解答解：四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
则∠1=∠B=70°，

A′D′

D′C′

即

解得AD=28，∠1=70°．
AD=28．

点评本题考查相似多边形的性质．

把矩形ABCD对折，折痕为MN，且矩形DMNC与矩形ABCD相似，则矩形ABCD的长AD与宽AB的比为(　　)

A. 1：
√3
B. 1：
√2
C.
√3
：1
D.
√2
：1

分析☆设矩形ABCD的长AD=x，宽AB=y，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得．

解答解：设矩形ABCD的长AD=x，宽AB=y，则DM=

AD=

x．
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似．
∴

，即

即y²=

x²．
∴x：y=

√2

：1．故选D．

点评本题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，注意分清对应边是解决本题的关键．

将一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点的连线对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形的长和宽的比应为（　　）

A. 2：1
B.
√3
：1
C.
√2
：1
D. 1：1

分析设矩形ABCD的长AD=x，宽AB=y，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得．

解答

解：设矩形ABCD的长AD=x，宽AB=y，则DM=

AD=

x．
又矩形DMNC与矩形ABCD相似．
∴

，即

即y²=

x²．
∴x：y=

√2

：1．
故选C．

点评本题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，注意分清对应边是解决本题的关键．

比例介绍：

1. 理解比例尺的概念；
2. 理解线段成比例和比例中项的概念；
3. 理解黄金分割的概念。

已知：如图22-4，在△ABC中，

．
求证：（1）

；（2）

．

解答证明（1）∵

，
∴

AD+DB

AE+EC

．
∴

（2）∵

，
∴

．
∴

AD+DB

AE+EC

．
∴

∴

．

在地图或工程图纸上，都标有比例尺，比例尺就是图上长度与实际长度的比．现在一张比例尺为1：5000的图纸上，量得一个△ABC的三边：AC=3cm，BC=4cm，AB=5cm．问这个图纸所反映的实际△A'B'C'的周长是多少？

解答解根据题意，得

A'B'

B'C'

A'C'

5000

，
即

AB+BC+AC

A'B'+B'C'+A'C'

5000

．
又∵AB+BC+AC=5+4+3=12（cm），
∴A'B'+B'C'+A'C'=12×5000=60000（cm）=600（m）．
答：实际△A'B'C'的周长是600m．

如图22-5，已知线段AB长度为a，点P是AB上一点，且使AB：AP = AP ： PB．求线段AP的长和

的值．

解答解设AP=x，那么PB=a-x．根据题意，得
a：x=x：（a-x），
即 x²+ax-a²=0．
解方程，得
x=

-1±

√5

a．
因为线段长度不能是负值，所以取x=

-1+

√5

a，
即AP=

-1+

√5

a．
于是

-1+

√5

-1

≈0.618．

如图，矩形ABCD与矩形A₁B₁C₁D₁相似吗？为什么？

如图，菱形ABCD与菱形A₁B₁C₁D₁相似吗？为什么？

在图形（A）-（F）中，哪些是由图形（1）或（2）放大或缩小得到的？

（1）如果线段a=2cm，h=10mm，那么

的值为（　　）．

A.
1
50

B.
1
5

C.
5
2

D. 2
（2）如果a=10cm，b=0.2m， c=30 mm，d=6cm，那么下列比例式子成立的是（　　）．
A.
a
d
=
b
c

B.
b
d
=
c
a

C.
a
b
=
c
d

D.
d
c
=
a
b

（3）如果线段a=32cm，b=8cm，那么a和b的比例中项是（　　）．
A. 20cm
B. 18cm
C. 16cm
D. 14cm

延长线段AB到点C，使BC=AB．求：
（1）AC：AB；
（2）AB：BC；
（3）BC：AC．

在比例尺是1：50的图纸上，量得一个零件的长是32cm，求这个零件的实际长．

已知：a：b=c：d，且a=2.4cm，b=3.6 cm，c=5.4cm，求d的值．

已知5x-4y=0，求

和

x+y

的值．

已知

a-b

，求a：b的值．

已知ad=bc，如何能得到d：b = c：a？还能得到哪些比例式子？

已知

，且b+d+f≠0，求

a+c+e

b+d+f

的值．

已知点C是线段AB的黄金分割点，BC=AC+2，求线段AC的长．

如图，点B，D在∠A的一条边上，点C，E在∠A的另一条边上，且DE//BC．若AB=14， AC=18，AE=11，求AD的长．

如图，点B，C在∠BAC的两边上，点D，E在∠BAC的两边的反向延长线上，且ED∥BC．若AB=5，AC=6，AD=2，求AE的长．

如图，l₁∥l₂∥l₃，

，DE=6，求DF的长．

如图，l₁∥l₂∥l₃，AB=a，BC=b，EF=c，求DE的长．

如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2 ， BD=6 ， AE=1.5，求EC的长．

如图，AD是△ABC的中线，AE=EF=FC，BE交AD于点G，求

的值．

在1 : 38000的交通旅游图上，南京玄武湖隧道长7cm，则它的实际长度是
(　　)

A. 26.6km
B. 2.66km
C. 0.266km
D. 266km

分析☆首先设它的实际长度为xcm，根据比例尺的性质，即可得比例式，解方程即可求得答案．注意单位换算．

解答解：设它的实际长度为xcm，
根据题意可得：

38000

，
解得：x=266000，
∵266000cm=2.66km．
∴它的实际长度是2.66km．
故选B．

点评此题考查了比例尺的知识．解题的关键是根据题意求得比例式，还要注意单位换算的知识．

两地实际距离是200米，地图上距离是2cm，那么这张地图的比例尺为(　　)

A. 1：10000
B. 1：100
C. 100：1
D. 10000：1

分析根据比例尺=图上距离：实际距离，列出比例式求解即可．

解答解：∵200米=20000cm，
∴比例尺=2：20000=1：10000．
故选A．

点评由比例尺的计算方法求解．注意单位要统一．

下列各组线段中，能成比例的是(　　)

A. 1cm，3cm，4cm，6cm
B. 30cm，12cm，0.8cm，0.2cm
C. 0.1cm，0.2cm，0.3cm，0.4cm
D. 12cm，16cm，45cm，60cm

分析☆如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．

解答解：A、1×6≠3×4，故错误；
B、30×0.2≠12×0.8，故错误；
C、0.1×0.4≠0.2×0.3，故错误；
D、12×60=16×45，故正确．
故选D．

点评根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．

已知线段a=4，b=16，线段c是a、b的比例中项，那么c等于(　　)

A. 10
B. 8
C. -8
D. ±8

分析☆根据线段比例中项的概念，a：b=b：c，可得c²=ab=64，故c的值可求．

解答解：∵线段c是a、b的比例中项，
∴c²=ab=64，
解得c=±8，
又∵线段是正数，
∴c=8．
故选B．

点评考查了比例中项的概念．注意线段不能是负数．

下列长度的各组线段中，能成比例的是(　　)

A. 2，5，6，8
B. 3，6，9，18
C. 1，2，3，4
D. 3，6，7，9

分析☆如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．

解答解：A、2×8≠5×6，故错误；
B、3×18=6×9，故正确．
C、1×4≠2×3，故错误；
D、3×9≠6×7，故错误．
故选B．

点评理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．

数2和8的比例中项为(　　)

A. 4
B. ±4
C. 6
D. ±6

分析☆根据比例的基本性质，a：b=b：c，设其比例中项是x，则其比例中项可求．

解答解：设其比例中项是x，
∴x²=2×8，
∴x=±4．
故选B．

点评考查了比例中项的概念：如果一个比例式中的两个内项相同，则是比例中项．注意一个正数的平方根有两个．

如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果

，那么称线段AB被点C黄金分割，AC与AB的比叫做黄金比，其比值是(　　)

A.
√5
-1
2
B.
3-
√5
2
C.
√5
+1
2
D.
3+
√5
2

分析根据黄金分割的概念，根据题意列出方程即可求解．

解答解：设AB=1，AC=x，根据已知条件中的比例式得

1-x

，则x²=1-x，x²-1+x=0，x=

√5

-1

(负值舍去)．则比值是x=

√5

-1

．
故选A．

点评此题要能够熟练运用公式法解一元二次方程．

已知△ABC，点D是AC边上黄金分割点（AD＞DC），若AC=2，则AD等于（　　）

A.
√5
+1
B.
√5
-1
2
C.
√5
-1
D.
√5
+1
2

分析把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（

√5

-1

）叫做黄金比．

解答解：根据黄金分割点的概念得：AD=

√5

-1

AC=

√5

- 1cm．
故选C．

点评本题主要考查了黄金分割点的概念，熟悉黄金比的值是解答本题的关键，难度适中．

平行线分线段成比例介绍：

1. 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；
2. 平行线分线段成比例的推理1：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例；
3. 平行线分线段成比例的推理2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=12，则CE的长为(　　)

A. 2
B. 4
C.
24
5
D.
36
5

分析☆根据平行线分线段成比例得到

，即

，可计算出BC，然后利用CE=BE-BC进行计算．

解答解：∵AB∥CD∥EF，
∴

，即

，
∴BC=

，
∴CE=BE-BC=12-

．
故选C．

点评本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

如图，直线l₁∥l₂∥l₃，两直线AC和DF与l₁，l₂，l₃分别相交于点A，B，C和点D，E，F．下列各式中，不一定成立的是（　　）

A.
AB
BC
=
DE
EF
B.
AB
AC
=
DE
DF
C.
AD
BE
=
BE
CF
D.
EF
FD
=
BC
CA

分析根据平行线分线段成比例的性质（三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例），逐项分析推出正确的比例式，运用排除法即可找到正确的选项．

解答解：如图，∵直线l₁∥l₂∥l₃，
∴

，

，
∴A、B、D选项中的等式成立，C选项中的等式不一定成立．
故选择C．

点评本题主要考查平行线分线段成比例的性质，关键在于认真的逐项分析找到成比例的线段．

如图，AD∥BE∥CF，直线a、b与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，AB=4，BC=6，DE=3，则EF的长是(　　)

A. 4
B. 5
C. 6
D. 4.5

分析由AD∥BE∥CF可得

，代入可求得EF．

解答解：∵AD∥BE∥CF，
∴

，
∵AB=4，BC=6，DE=3，
∴

，
解得EF=4.5，
故选D．

点评本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段可得对应线段成比例是解题的关键．

如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（　　）

A.
AD
DF
=
BC
CE
B.
BC
CE
=
DF
AD
C.
CD
EF
=
BC
BE
D.
CE
EF
=
AD
AF

分析已知AB∥CD∥EF，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．

解答解：∵AB∥CD∥EF，
∴

．
故选A．

点评本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．

如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC．若AD=4，DB=2，则

的值为．

分析☆由AD=3，DB=2，即可求得AB的长，又由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得DE：BC=AD：AB，则可求得答案．

解答∵AD=4，DB=2，
∴AB=AD+BD=4+2=6，
∵DE∥BC，
△ADE∽△ABC，∴

，
故答案为：

．

点评此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．

如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（　　）

A.
AD
AB
=
AE
AC
B.
CE
CF
=
EA
FB
C.
DE
BC
=
AD
BD
D.
EF
AB
=
CF
CB

分析根据已知条件先求出△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，再根据相似三角形的性质解答．

解答解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，
∴△ADE∽△EFC，∴

，

．故选C．

点评已知一条直线平行于三角形的一边，与另两边（或延长线）相交形成的三角形与原三角形相似，相似三角形的面积的比等于相似比的平方．

将边长分别为2、3、5的三个正方形按图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为．

分析☆因为阴影部分的面积=S_{正方形BCQW}-S_梯形VBCF，根据已知求得梯形的面积即不难求得阴影部分的面积了．

解答

解：∵VB∥ED，三个正方形的边长分别为2、3、5，
∴VB：DE=AB：AD，即VB：5=2：(2+3+5)=1：5，
∴VB=1，
∵CF∥ED，
∴CF：DE=AC：AD，即CF：5=5：10
∴CF=2.5，
∵S_梯形VBFC=

(BV+CF)•BC=

，
∴阴影部分的面积=S_{正方形BCQW}-S_梯形VBCF=

．
故答案为：

点评本题利用平行线分线段成比例的性质，正方形的性质求解．

如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，DE=2，
BC=3，则

= ．

分析由DE∥BC，可证得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得

的值．

解答∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵DE=2，BC=3，
∴

．

点评此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

已知：如图，DE∥AC，DF∥AB，则下列比例式中正确的是（　　）

A.
AE
EB
=
BD
DC
B.
DF
AB
=
DC
BC
C.
AE
AB
=
AF
AC
D.
BD
DC
=
FC
AF

分析根据平行线分线段成比例定理，找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解．

解答解：A、AE和EB的对应线段分别是CD和BD，应为

，故本选项错误；
B、根据平行线分线段成比例定理，对应关系正确，故本选项正确；
C、应为

，故本选项错误；
D、应为

，对应关系错误，故本选项错误．
故选B．

点评弄清线段之间的对应关系是解题的关键．做题时要弄清楚线段的“上、下、全”或“左、右、全”三种位置的对应．

如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6，D，E 分别在 AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（　　）

A.
1
2
B. 2
C. 3
D. 4

分析△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，可得∠DEA=∠DEA′=90°，AE=A′E，所以，△ACB∽△AED，A′为CE的中点，所以，可运用相似三角形的性质求得．

解答解：∵△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，
∴∠DEA=∠DEA′=90°，AE=A′E，
∴DE∥BC
∴△ACB∽△AED，
又A′为CE的中点，
∴AE=A'E=A'C=

AC，
∴

，
即

，
∴ED=2．
故选B．

点评本题考查了翻折变换和相似三角形的判定与性质，翻折变换后的图形全等及两三角形相似，各边之比就是相似比．

如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于(　　)

A. 3：2
B. 3：1
C. 1：1
D. 1：2

分析根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出

，利用点E是边AD的中点得出答案即可．

解答∵在平行四边形ABCD中，故AD∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴

，
∵点E是边AD的中点，
∴AE=DE=

AD，
∴

．
故选：D．

点评此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△DEF∽△BCF是解题关键．

如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=(　　)

A. 1：4
B. 1：3
C. 2：3
D. 1：2

分析☆首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应边成比例，E为OD的中点，求出DF：AB的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值．

解答解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，

则△DFE∽△BAE，
∴

，
∵O为对角线的交点，
∴DO=BO，
又∵E为OD的中点，
∴DE=

DB，
则DE：EB=1：3，
∴DF：AB=1：3，
∵DC=AB，
∴DF：DC=1：3，
∴DF：FC=1：2．
故选D．

点评本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明△DFE∽△BAE，然后根据对应边成比例求值．

如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为(　　)

A. 5cm
B. 6cm
C. 7cm
D. 8cm

分析由边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，即可证得△AFE∽△DEC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

解答∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△AFE∽△DEC，
∴AE：DE=AF：CD，
∵AE=2ED，CD=3cm，
∴AF=2CD=6cm．
故选B．

点评此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为．

分析根据平行线分线段成比例定理，由AB∥GH，得出

，由GH∥CD，得出

，将两个式子相加，即可求出GH的长．

解答解：∵AB∥GH，
∴

，即

①，
∵GH∥CD，
∴

，即

②，
①+②，得

=1，
∴

=1，
解得GH=

．
故答案为

．

点评本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算．本题难度适中．

········ THE END ········

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