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图形的位似变换、综合与实践
位似的概念介绍：

1. 位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心；
2. 画位似图形的一般步骤为：
①确定位似中心；
②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点。
把四边形ABCD放大为原来的2倍（即新图与原图的相似比为2）．
解答解 如图22-27．

（1）在四边形ABCD所在平面内任取一点O；
（2）以点O为端点作射线OA，OB，OC，OD；
（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A'，B'，C'，D'，使；
（4）连接A'B'，B'C'，C'D'，D'A'．
所得四边形A'B'C'D'即为所求．
本题还可按如图22-28的方法作图．

（1）在四边形ABCD所在平面内任取一点O；
（2）分别以点A，B，C，D为端点作射线AO，BO，CO，DO；
（3）分别在射线AO，BO，CO，DO上取点A'，B'，C'，D'，使；
（4）连接A'B'，B'C'，C'D'，D'A'．
所得四边形A'B'C'D'即为所求．
如图22-29，四边形ABCD是一个待测绘的小区．在区内选一个测绘点O（图中已被图板遮住），将图板上测绘图纸的点O1对准测绘点O，再由点O1对准点A，B，C，D在纸上作射线O1A，O1B，O1C，O1D，分别测得点O到点A，B，C，D的距离，并按同一比例缩小，在图纸的对应射线上定出点A1，B1，C1，D1，依次连接A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，即得该小区缩小的平面图．
解答解
作一个五边形和已知五边形位似，要求：
（1）位似中心取在已知五边形的一个顶点处，相似比为；
（2）位似中心取在已知五边形一边上，相似比为3．
△ABC的顶点坐标为A（0，2），B（-3，5），C（-6，3）．按如下方式对△ABC进行变换：
（1）（x，y）→（2x，2y）；
（2）（x，y）→（-2x，-2y）．
在平面直角坐标系里有四个点：A（0，1），B（4，1），C（5，4），D（1，4）．
（1）顺次连接点A，B，C，D．得到一个怎样的四边形？
（2）将各点的横、纵坐标都乘以2，得到点A'，B'，C'，D'，那么四边形A'B'C'D'是什么图形，它与四边形ABCD有何关系？
下列四个选项中的两个图形，不是位似图形的是（　　）
  • A.
  • B.
  • C.
  • D.
分析根据位似图形的定义分析各图，对各选项逐一分析，即可得出答案．
解答解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．
根据位似图形的概念，A、B、D三个图形中的两个图形都是位似图形；
C中的两个图形不符合位似图形的概念，对应顶点不能相交于一点，故不是位似图形．
故选：C．
点评此题主要考查了位似图形，注意位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．
关于位似图形的表述，下列命题正确的是(　　)
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
  • A. ①②
  • B. ①④
  • C. ②③
  • D. ③④
分析如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形，这个点是位似中心，但不是所有的相似图形都是位似图形，并且位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比．
解答解：①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，错误；
②位似图形一定有位似中心，是对应点连线的交点，正确；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形，正确；
④位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比，错误．
故选C．
点评考查了位似变换，相似图形不一定是位似图形；位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比．
视力表对我们来说并不陌生．如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E”之间的变换是(　　)
  • A. 平移
  • B. 旋转
  • C. 对称
  • D. 位似
分析开口向上的两个“E”形状相似，但大小不同，因此它们之间的变换属于位似变换．如果没有注意它们的大小，可能会误选A．
解答根据位似变换的特点可知它们之间的变换属于位似变换，故选D．
点评本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，平移、旋转、对称的图形都是全等形．
下列判断中，正确的是(　　)
  • A. 相似图形一定是位似图形
  • B. 位似图形一定是相似图形
  • C. 全等的图形一定是位似图形
  • D. 位似图形一定是全等图形
分析根据位似图形是特殊的相似可以得到位似图形一定是相似图形．
解答解：A、如果两个图形是位似图形，那么这两个图形必是相似图形，但是相似的两个图形不一定是位似图形，故此选项错误；
B、利用位似的定义可知，位似图形一定是相似图形，故正确；
C、全等的图形不一定是位似图形，故此选项错误；
D、位似图形是特殊的相似图形，相似图形不一定全等，故此选项错误，
故选B．
点评此题主要考查了位似的性质，以及位似图形的画法，难度不大，考查知识比较全面．
如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1：
√2
，点A的坐标为（0，1），则点E的坐标是（       ）
  • A. （
    √2
    ，0）
  • B. （
    3
    2
    ，
    3
    2
    ）
  • C. （2，2）
  • D. （
    √2
    ，
    √2
    ）
分析由题意可得OA：OD=1：
√2
，又由点A的坐标为（1，0），即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．
解答∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：
√2
，
∴OA：OD=1：
√2
，
∵点A的坐标为（0，1），
即OA=1，
∴OD=
√2
，
∵四边形ODEF是正方形，
∴DE=OD=
√2
．
∴E点的坐标为：（
√2
，
√2
）．
故答案为：（
√2
，
√2
），故选D．
点评此题考查了位似变换的性质与正方形的性质．此题比较简单，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键．
在平面直角坐标系中，已知点E(-4，2)，F(-2，-2)，以原点O为位似中心，相似比为
1
2
，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是(　　)
  • A. (-2，1)
  • B. (-8，4)
  • C. (-8，4)或(8，-4)
  • D. (-2，1)或(2，-1)
分析根据题意画出相应的图形，找出点E的对应点E′的坐标即可．
解答解：根据题意得：

则点E的对应点E′的坐标是(-2，1)或(2，-1)．
故选D．
点评此题考查了位似图形，以及坐标与图形性质，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的
1
2
后得到线段CD，则端点C的坐标为（　　）
  • A. （3，3）
  • B. （4，3）
  • C. （3，1）
  • D. （4，1）
分析利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．
解答∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的
1
2
后得到线段CD，
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，
∴端点C的坐标为：（3，3）．
故选：A．
点评此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．
如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的
1
4
，那么点B′的坐标是(　　)
  • A. (-2，3)
  • B. (2，-3)
  • C. (3，-2)或(-2，3)
  • D. (-2，3)或(2，-3)
分析由矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的
1
4
，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得矩形OA′B′C′与矩形OABC的位似比为1：2，又由点B的坐标为(-4，6)，即可求得答案．
解答解：∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，
∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC，
∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的
1
4
，
∴位似比为：1：2，
∵点B的坐标为(-4，6)，
∴点B′的坐标是：(-2，3)或(2，-3)．
故选D．
点评此题考查了位似图形的性质．此题难度不大，注意位似图形是特殊的相似图形，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用，注意数形结合思想的应用．
如图所示，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1，(顶点均在格点上)，它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是（　　）
  • A. (-4，-3)
  • B. (-3，-3)
  • C. (-4，-4)
  • D. (-3，-4)
分析作直线AA1、BB1，这两条直线的交点即为位似中心．
解答解：由图中可知，点P的坐标为(-4，-3)，故选A．
点评用到的知识点为：两对对应点连线的交点为位似中心．
如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为(1，1)，点C的坐标为(4，2)，则这两个正方形位似中心的坐标是      ．
分析两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．则位似中心就是两对对应点的延长线的交点．
解答解：①两个图形位似时，位似中心就是CF与x轴的交点，

设直线CF解析式为y=kx+b，将C(4，2)，F(1，1)代入，得
{
4k+b=2
k+b=1
，解得
{
k=
1
3
b=
2
3
，即y=
1
3
x+
2
3
，
令y=0得x=-2，
∴O′坐标是(-2，0)；
②当位似中心O′在两个正方形之间时，

直线OC的解析式为：y=
1
2
x，
直线BG的解析式为：y=-
1
4
x+1，
联立：
{
y=
1
2
x
y=-
1
4
x+1
，
解得：
{
x=
4
3
y=
2
3
，
∴O′坐标是(
4
3
，
2
3
)．
故本题答案为：(-2，0)或(
4
3
，
2
3
)．
点评本题主要考查位似图形的性质，每对位似对应点与位似中心共线．
图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是(　　)
  • A. 点M
  • B. 点N
  • C. 点O
  • D. 点P
分析根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．
解答解：点P在对应点M和点N所在直线上，再利用连接另两个对应点，得出相交于P点，即可得出P为两图形位似中心，
故选：D．
点评此题主要考查了位似图形的概念，根据位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上得出是解题关键．
如图所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为（-1，1），点C的坐标为（-4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是（      ）
  • A. （2，0）或（-
    4
    3
    ，
    2
    3
    ）．
  • B. （2，0）或（
    4
    3
    ，
    2
    3
    ）．
  • C. （-2，0）或（-
    4
    3
    ，
    2
    3
    ）．
  • D. （-2，0）或（
    4
    3
    ，
    2
    3
    ）．
分析两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．则位似中心就是两对对应点的延长线的交点，本题分两种情况讨论即可．
解答解：①当两个位似图形在位似中心同旁时，位似中心就是CF与x轴的交点，
设直线CF解析式为y=kx+b，将C（-4，2），F（-1，1）代入，得
{
-4k+b=2
-k+b=1
，
解得
{
k=-
1
3
b=
2
3
即y=-
1
3
x+
2
3
，
令y=0得x=2，
∴O′坐标是（2，0）；
②当位似中心O′在两个正方形之间时，
可求直线OC解析式为y=-
1
2
x，直线DE解析式为y=
1
4
x+1，
联立
{
y=-
1
2
x
y=
1
4
x+1
，解得
{
x=-
4
3
y=
2
3
，
即O′（-
4
3
，
2
3
）．
故本题答案为：（2，0）或（-
4
3
，
2
3
），选A．
点评本题主要考查位似图形的性质，难度一般，注意掌握每对位似对应点与位似中心共线，另外解答本题注意分情况讨论，避免漏解．
△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（　　）
  • A. 3
  • B. 6
  • C. 9
  • D. 12
分析利用位似图形的面积比等于位似比的平方，进而得出答案．
解答∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，△ABC的面积是3，
∴△ABC与△A′B′C′的面积比为：1：4，
则△A′B′C′的面积是：12．
故选：D．
点评此题主要考查了位似图形的性质，利用位似图形的面积比等于位似比的平方得出是解题关键．
如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为    cm．
分析根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答．
解答解：∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC
∴
AE
AC
=
DE
BC

设屏幕上的小树高是x，则
20
20+40
=
6
x

解得x=18cm．故答案为：18．
点评本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
········ THE END ········
图形的位似变换、综合与实践
下一节：
特殊考题
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位似的概念
1
把四边形ABCD放大为原来的2倍（即新图与原图的相似比为2）．
2
如图22-29，四边形ABCD是一个待测绘的小区．在区内选一个测绘点O（图中已被图板遮住），将图板上测绘图纸的点O1对准测绘点O，再由点O1对准点A，B，C，D在纸上作射线O1A，O1B，O1C，O1D，分别测得点O到点A，B，C，D的距离，并按同一比例缩小，在图纸的对应射线上定出点A1，B1，C1，D1，依次连接A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，即得该小区缩小的平面图．
3
作一个五边形和已知五边形位似，要求：
（1）位似中心取在已知五边形的一个顶点处，相似比为；
（2）位似中心取在已知五边形一边上，相似比为3．
4
△ABC的顶点坐标为A（0，2），B（-3，5），C（-6，3）．按如下方式对△ABC进行变换：
（1）（x，y）→（2x，2y）；
（2）（x，y）→（-2x，-2y）．
5
在平面直角坐标系里有四个点：A（0，1），B（4，1），C（5，4），D（1，4）．
（1）顺次连接点A，B，C，D．得到一个怎样的四边形？
（2）将各点的横、纵坐标都乘以2，得到点A'，B'，C'，D'，那么四边形A'B'C'D'是什么图形，它与四边形ABCD有何关系？
6
下列四个选项中的两个图形，不是位似图形的是（　　）
  • A.
  • B.
  • C.
  • D.
7
关于位似图形的表述，下列命题正确的是(　　)
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
  • A. ①②
  • B. ①④
  • C. ②③
  • D. ③④
8
视力表对我们来说并不陌生．如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E”之间的变换是(　　)
  • A. 平移
  • B. 旋转
  • C. 对称
  • D. 位似
9
下列判断中，正确的是(　　)
  • A. 相似图形一定是位似图形
  • B. 位似图形一定是相似图形
  • C. 全等的图形一定是位似图形
  • D. 位似图形一定是全等图形
10
如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1：
√2
，点A的坐标为（0，1），则点E的坐标是（       ）
  • A. （
    √2
    ，0）
  • B. （
    3
    2
    ，
    3
    2
    ）
  • C. （2，2）
  • D. （
    √2
    ，
    √2
    ）
11
在平面直角坐标系中，已知点E(-4，2)，F(-2，-2)，以原点O为位似中心，相似比为
1
2
，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是(　　)
  • A. (-2，1)
  • B. (-8，4)
  • C. (-8，4)或(8，-4)
  • D. (-2，1)或(2，-1)
12
如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的
1
2
后得到线段CD，则端点C的坐标为（　　）
  • A. （3，3）
  • B. （4，3）
  • C. （3，1）
  • D. （4，1）
13
如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的
1
4
，那么点B′的坐标是(　　)
  • A. (-2，3)
  • B. (2，-3)
  • C. (3，-2)或(-2，3)
  • D. (-2，3)或(2，-3)
14
如图所示，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1，(顶点均在格点上)，它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是（　　）
  • A. (-4，-3)
  • B. (-3，-3)
  • C. (-4，-4)
  • D. (-3，-4)
15
如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为(1，1)，点C的坐标为(4，2)，则这两个正方形位似中心的坐标是      ．
16
图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是(　　)
  • A. 点M
  • B. 点N
  • C. 点O
  • D. 点P
17
如图所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为（-1，1），点C的坐标为（-4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是（      ）
  • A. （2，0）或（-
    4
    3
    ，
    2
    3
    ）．
  • B. （2，0）或（
    4
    3
    ，
    2
    3
    ）．
  • C. （-2，0）或（-
    4
    3
    ，
    2
    3
    ）．
  • D. （-2，0）或（
    4
    3
    ，
    2
    3
    ）．
18
△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（　　）
  • A. 3
  • B. 6
  • C. 9
  • D. 12
19
如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为    cm．
20
········ THE END ········
图形的位似变换、综合与实践
下一节：
特殊考题
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