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因式分解、综合与实践
因式分解的概念介绍：

1. 因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式；因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算。
下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是(　　)
  • A. a(x+y)=ax+ay
  • B. x2-4x+4=x(x-4)+4
  • C. 10x2-5x=5x(2x-1)
  • D. x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x
分析根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．
解答解：A、是多项式乘法，故选项错误；
B、右边不是积的形式，x2-4x+4=(x-2)2，故选项错误；
C、是分解因式，故选项正确；
D、右边不是积的形式，故选项错误．
故选：C．
点评此题考查了因式分解的意义；这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．
多项式x2+mx+5因式分解得(x+5)(x+n)，则m=      ，n=      ．
分析将(x+5)(x+n)展开，得到，使得x2+(n+5)x+5n与x2+mx+5的系数对应相等即可．
解答解：∵(x+5)(x+n)=x2+(n+5)x+5n，
∴x2+mx+5=x2+(n+5)x+5n
∴
{
n+5=m
5n=5
，
∴
{
n=1
m=6
，
故答案为6，1．
点评本题考查了因式分解的意义，使得系数对应相等即可．
下列式子从左到右变形是因式分解的是(　　)
  • A. a2+4a-21=a(a+4)-21
  • B. a2+4a-21=(a-3)(a+7)
  • C. (a-3)(a+7)=a2+4a-21
  • D. a2+4a-21=(a+2)2-25
分析利用因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，进而判断得出即可．
解答解；A、a2+4a-21=a(a+4)-21，不是因式分解，故A选项错误；
B、a2+4a-21=(a-3)(a+7)，是因式分解，故B选项正确；
C、(a-3)(a+7)=a2+4a-21，不是因式分解，故C选项错误；
D、a2+4a-21=(a+2)2-25，不是因式分解，故D选项错误；
故选：B．
点评此题主要考查了因式分解的意义，正确把握因式分解的意义是解题关键．
当k=      时，二次三项式x2-kx+12分解因式的结果是(x-4)(x-3)．
分析根据因式分解与多项式相乘是互逆运算，把多项式相乘展开，再利用对应项系数相等来求解．
解答解：∵(x-4)(x-3)=x2-7x+12，
∴-k=-7，k=7．
故应填7．
点评注意正确计算多项式的乘法运算，然后根据对应项系数相等求解．
提公因式法介绍：

1. 用提取公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
把下列各式分解因式：
(1)4mn2-8mn；　　　　　　(2)3ax2-6axy+3a．
解答解 (1)4mn2-8mn
=4mn•n-4mn•2
=4mn(n-2)．
(2)3ax2-6axy+3a．
=3a•x2-3a•2xy+3a•1
=3a(x2-2xy+1)．
把下列各式分解因式：
(1)2x(b+c)-3y(b+c)； 　　　　 (2)3n(x-2)+(2-x)．
解答解 (1)2x(b+c)-3y(b+c)
=(b+c)(2x-3y)．
(2)3n(x-2)+(2-x)
=3n(x-2)-(x-2)
=(x-2)(3n-1)．
把下列多项式分解因式：
（1）ab2-ac2；
（2）3ax2+24axy+48ay2．
解答解
（1）ab2-ac2

=a（b2-c2） （提取公因式）
=a（b+c）（b-c）． （用平方差公式）
（2）3ax2+24axy+48ay2．
=3a（x2+8xy+16y2） （提取公因式）
=3a（x+4y）2． （用完全平方公式）
填空：
（1）6x3-18x2=    （x-3）；
（2）-7a2+21a=-7a（    ）．
把下列各式分解因式：
（1）np-nq；
（2）-x3y-x2y2+xy．
把下列各式分解因式：
（1）3（a+b）2+6（a+b）；
（2）m（a-b）-n（a-b）；
（3）6（x-y）3-3y（y-x）2；
（4）mn（m-n）-m（n-m）2．
把a2-4a多项式分解因式，结果正确的是(　　)
  • A. a(a-4)
  • B. (a+2)(a-2)
  • C. a(a+2)(a-2)
  • D. (a-2)2-4
分析直接提取公因式a即可．
解答解：a2-4a=a(a-4)，
故选：A．
点评此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
多项式(x-y)2-(y-x)分解因式正确的是(　　)
  • A. (y-x)(x-y)
  • B. (x-y)(x-y-1)
  • C. (y-x)(y-x+1)
  • D. (y-x)(y-x-1)
分析提取公因式(y-x)整理即可得解．
解答解：(x-y)2-(y-x)=(y-x)2-(y-x)=(y-x)(y-x-1)．
故选D．
点评本题考查了提公因式法分解因式，根据互为相反数的平方相等把(x-y)2转化为(y-x)2是解题的关键．
把2a2-4a因式分解的最终结果是(　　)
  • A. 2a(a-2)
  • B. 2(a2-2a)
  • C. a(2a-4)
  • D. (a-2)(a+2)
分析2a2-4a中两项的公因式是2a，提取公因式即可分解．
解答解：2a2-4a=2a(a-2)．
故选A．
点评本题考查了提公因式法分解因式，正确确定公因式是关键．
将3x(a-b)-9y(b-a)因式分解，应提的公因式是(　　)
  • A. 3x-9y
  • B. 3x+9y
  • C. a-b
  • D. 3(a-b)
分析原式变形后，找出公因式即可．
解答解：将3x(a-b)-9y(b-a)=3x(a-b)+9y(a-b)因式分解，应提的公因式是3(a-b)．
故选D．
点评此题考查了因式分解-提取公因式法，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键．
公式法之完全平方公式介绍：

1. 用完全平方公式分解因式：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍。
因式分解：x2-6x+9=      ．
分析直接运用完全平方公式进行因式分解即可．
解答解：x2-6x+9=(x-3)2．
点评本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构特点是解题的关键．
下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（　　）
  • A. a2-2ab-b2
  • B. a2-2ab+4b2
  • C. -x2+9
  • D. x2+xy+y2
分析能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反；
能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点是：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍．
解答解：A、a2-2ab-b2不符合公式法分解因式的式子特点，故错误；
B、a2-2ab+4b2不符合公式法分解因式的式子特点，故错误；
C、-x2+9符合平方差公式法分解因式的式子特点，故正确；
D、x2+xy+y2不符合公式法分解因式的式子特点，故错误．
故选C．
点评本题考查用公式法进行因式分解．能用公式法进行因式分解的式子的特点需熟记．
把多项式x2-4x+4分解因式，所得结果是(　　)
  • A. x(x-4)+4
  • B. (x-2)(x+2)
  • C. (x-2)2
  • D. (x+2)2
分析这个多项式可以用完全平方公式分解因式．完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2．
解答解：x2-4x+4=x2-2•2x+22=(x-2)2．
故选C．
点评应该牢记公式法分解的特点：必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．
下列各式中，满足完全平方公式进行因式分解的是(　　)
  • A. 2x2+4x+1
  • B. 4x2-12xy+9y2
  • C. 2x2+4xy+y2
  • D. x2-y2+2xy
分析根据两数的平方和加上或减去两数积的2倍，等于两数和或差的平方，即可做出判断．
解答解：4x2-12xy+9y2=(2x-3y)2．
故选B
点评此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
分解因式：2a2-4a+2=    ．
分析先提公因式2，再利用完全平方公式分解因式即可．
解答解：2a2-4a+2
=2（a2-2a+1）
=2（a-1）2．
点评本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
因式分解：4a3-12a2+9a=    ．
分析先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．
解答4a3-12a2+9a
=a（4a2-12a+9）
=a（2a-3）2．
故答案为：a（2a-3）2．
点评本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
多项式2a2-4ab+2b2分解因式的结果正确的是（　　）
  • A. 2（a2-2ab+b2）
  • B. 2a（a-2b）+2b2
  • C. 2（a-b）2
  • D. （2a-2b）2
分析先提取公因式2，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．
解答解：2a2-4ab+2b2=2（a2-2ab+b2）=2（a-b）2．
故选C．
点评本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
把a3-2a2+a分解因式的结果是（　　）
  • A. a2（a-2）+a
  • B. a（a2-2a）
  • C. a（a+1）（a-1）
  • D. a（a-1）2
分析先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．
解答解：a3-2a2+a
=a（a2-2a+1）
=a（a-1）2．
故选D．
点评本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
公式法之平方差公式介绍：

1. 利用平方差公式分解因式:能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反。
把下列各式分解因式：
（1）x2+14x+49；
（2）9a2-30ab+25b2；
（3）x2-81；
（4）36a2-25b2．
解答解
（1）x2+14x+49
=x2+2•x•7+72

=（x+7）2．

（2）9a2-30ab+25b2
=（3a）2-2×3a×5b+（5b）2

=（3a-5b）2．
（3）x2-81

=x2-92

=（x+9）（x-9）．
（4）36a2-25b2

=（6a）2-（5b）2

=（6a+5b）（6a-5b）．
将整式9-x2分解因式的结果是(　　)
  • A. (3-x)2
  • B. (3+x)(3-x)
  • C. (9-x)2
  • D. (9+x)(9-x)
分析利用平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)分解即可．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．
解答解：9-x2=(3+x)(3-x)．
故选B．
点评本题考查了利用平方差公式分解因式，这个多项式符合平方差公式的特点，宜采用平方差公式分解．用公式法分解时要注意公式的结构特点．
分解因式：4x2-25=      ．
分析本题没有公因式，直接应用平方差公式进行因式分解．
解答解：4x2-25=(2x+5)(2x-5)．
点评本题考查因式分解．分解因式时多项式有两项时要考虑提公因式法和平方差公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式．
因式分解(a-1)2-9的结果是(　　)
  • A. (a+2)(a-4)
  • B. (a+8)(a+1)
  • C. (a-2)(a+4)
  • D. (a+2)(a-10)
分析直接利用平方差公式进行分解即可．
解答解：(a-1)2-9
=(a-1+3)(a-1-3)
=(a+2)(a-4)．
故选：A．
点评此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)．
将多项式m2-4进行因式分解，结论正确的为（　　）
  • A. （m+2）（m-2）
  • B. （m+4）（m-4）
  • C. （m-2）2
  • D. （m+2）2
分析根据多项式的特点，应套用因式分解的平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）进行分解．
解答解：m2-4=m2-22=（m+2）（m-2）．
故选A．
点评本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式结构特点是解题的关键．
多项式-1+0.04a2分解因式的结果是(　　)
  • A. (-1+0.2a)2
  • B. (1+0.2a)(1-0.2a)
  • C. (0.2a+1)(0.2a-1)
  • D. (0.04a+1)(0.04a-1)
分析利用平方差公式分解即可得到结果．
解答解：-1+0.04a2=(0.2a+1)(0.2a-1)．
故选C．
点评此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
将(a-1)2-1分解因式，结果正确的是(　　)
  • A. a(a-1)
  • B. a(a-2)
  • C. (a-2)(a-1)
  • D. (a-2)(a+1)
分析原式利用平方差公式分解即可．
解答原式=(a-1+1)(a-1-1)
=a(a-2)．
故选：B．
点评此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握公式是解本题的关键．
分解因式：3x2-27=    ．
分析观察原式3x2-27，找到公因式3，提取公因式后发现x2-9符合平方差公式，利用平方差公式继续分解．
解答解：3x2-27
=3（x2-9）
=3（x+3）（x-3）．
故答案为：3（x+3）（x-3）．
点评本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．
因式分解a3-4a的结果是      ．
分析原式提取a后，利用平方差公式分解即可．
解答原式=a（a2-4）
=a（a+2）（a-2）．
故答案为：a（a+2）（a-2）．
点评此题考查了提公因式法与公式法的综合应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
分解因式8x2-2y2正确是（　　）
  • A. 2（2x+y）（2x-y）
  • B. （2x+y）（2x-y）
  • C. 4（2x+y）（2x-y）
  • D. 4（2x+y）2
分析先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解答解：8x2-2y2
=2（4x2-y2）
=2（2x+y）（2x-y）．
故选A．
点评本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
把4a2-16因式分解的结果是（　　）
  • A. 4（a2-4）
  • B. （2a+4）（2a-4）
  • C. 4（a-2）2
  • D. 4（a+2）（a-2）
分析先提取公因式4，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解答解：4a2-16
=4（a2-4）
=4（a+2）（a-2）．
故选D．
点评本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
把x3-9x分解因式，结果正确的是（　　）
  • A. x（x2-9）
  • B. x（x-3）2
  • C. x（x+3）2
  • D. x（x+3）（x-3）
分析先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解答x3-9x
=x（x2-9）
=x（x+3）（x-3）．
故选：D．
点评本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
将多项式9xy2-4x因式分解，结果正确的是（　　）
  • A. xy（9y-4）
  • B. x（9y2-4）
  • C. x（3y-2）2
  • D. x（3y+2）（3y-2）
分析先提取公因式x，再利用平方差公式分解即可．
解答解：9xy2-4x=x（9y2-4）=x（3y+2）（3y-2）．
故选D．
点评本题需要进行二次分解因式，分解因式时一定要分解彻底．
分解因式x4-1得（　　）
  • A. （x2+1）（x2-1）
  • B. （x-1）（x+1）（x2+1）
  • C. （x+1）2（x-1）2
  • D. （x-1）（x+1）3
分析运用平方差公式分解，注意要分解彻底．
解答解：x4-1
=（x2+1）（x2-1）
=（x2+1）（x+1）（x-1）．
故选B．
点评本题考查运用平方差公式分解因式的能力．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．本题需注意，第一次运用平方差公式分解以后，余下的多项式x2-1仍然可以运用平方差公式再次分解．
把m4-n4分解因式的结果是（　　）
  • A. （m2+n2）（m2-n2）
  • B. （m-n）4
  • C. （m+n）2（m-n）
  • D. （m2+n2）（m+n）（m-n）
分析两次运用平方差公式分解即可．
解答解：m4-n4
=（m2+n2）（m2-n2）
=（m2+n2）（m+n）（m-n）．
故选D．
点评本题考查了公式法分解因式，在第一次运用平方差公式分解因式m4-n4时，得到（m2+n2）（m2-n2），其中（m2-n2）又符合平方差公式的结构特征，可以继续分解，因式分解要彻底，一定要分解到每一个因式都不能再分解为止．
········ THE END ········
因式分解、综合与实践
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因式分解的概念
1
下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是(　　)
  • A. a(x+y)=ax+ay
  • B. x2-4x+4=x(x-4)+4
  • C. 10x2-5x=5x(2x-1)
  • D. x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x
2
多项式x2+mx+5因式分解得(x+5)(x+n)，则m=      ，n=      ．
3
下列式子从左到右变形是因式分解的是(　　)
  • A. a2+4a-21=a(a+4)-21
  • B. a2+4a-21=(a-3)(a+7)
  • C. (a-3)(a+7)=a2+4a-21
  • D. a2+4a-21=(a+2)2-25
4
当k=      时，二次三项式x2-kx+12分解因式的结果是(x-4)(x-3)．
5
提公因式法
6
把下列各式分解因式：
(1)4mn2-8mn；　　　　　　(2)3ax2-6axy+3a．
7
把下列各式分解因式：
(1)2x(b+c)-3y(b+c)； 　　　　 (2)3n(x-2)+(2-x)．
8
把下列多项式分解因式：
（1）ab2-ac2；
（2）3ax2+24axy+48ay2．
9
填空：
（1）6x3-18x2=    （x-3）；
（2）-7a2+21a=-7a（    ）．
10
把下列各式分解因式：
（1）np-nq；
（2）-x3y-x2y2+xy．
11
把下列各式分解因式：
（1）3（a+b）2+6（a+b）；
（2）m（a-b）-n（a-b）；
（3）6（x-y）3-3y（y-x）2；
（4）mn（m-n）-m（n-m）2．
12
把a2-4a多项式分解因式，结果正确的是(　　)
  • A. a(a-4)
  • B. (a+2)(a-2)
  • C. a(a+2)(a-2)
  • D. (a-2)2-4
13
多项式(x-y)2-(y-x)分解因式正确的是(　　)
  • A. (y-x)(x-y)
  • B. (x-y)(x-y-1)
  • C. (y-x)(y-x+1)
  • D. (y-x)(y-x-1)
14
把2a2-4a因式分解的最终结果是(　　)
  • A. 2a(a-2)
  • B. 2(a2-2a)
  • C. a(2a-4)
  • D. (a-2)(a+2)
15
将3x(a-b)-9y(b-a)因式分解，应提的公因式是(　　)
  • A. 3x-9y
  • B. 3x+9y
  • C. a-b
  • D. 3(a-b)
16
公式法之完全平方公式
17
因式分解：x2-6x+9=      ．
18
下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（　　）
  • A. a2-2ab-b2
  • B. a2-2ab+4b2
  • C. -x2+9
  • D. x2+xy+y2
19
把多项式x2-4x+4分解因式，所得结果是(　　)
  • A. x(x-4)+4
  • B. (x-2)(x+2)
  • C. (x-2)2
  • D. (x+2)2
20
下列各式中，满足完全平方公式进行因式分解的是(　　)
  • A. 2x2+4x+1
  • B. 4x2-12xy+9y2
  • C. 2x2+4xy+y2
  • D. x2-y2+2xy
21
分解因式：2a2-4a+2=    ．
22
因式分解：4a3-12a2+9a=    ．
23
多项式2a2-4ab+2b2分解因式的结果正确的是（　　）
  • A. 2（a2-2ab+b2）
  • B. 2a（a-2b）+2b2
  • C. 2（a-b）2
  • D. （2a-2b）2
24
把a3-2a2+a分解因式的结果是（　　）
  • A. a2（a-2）+a
  • B. a（a2-2a）
  • C. a（a+1）（a-1）
  • D. a（a-1）2
25
公式法之平方差公式
26
把下列各式分解因式：
（1）x2+14x+49；
（2）9a2-30ab+25b2；
（3）x2-81；
（4）36a2-25b2．
27
将整式9-x2分解因式的结果是(　　)
  • A. (3-x)2
  • B. (3+x)(3-x)
  • C. (9-x)2
  • D. (9+x)(9-x)
28
分解因式：4x2-25=      ．
29
因式分解(a-1)2-9的结果是(　　)
  • A. (a+2)(a-4)
  • B. (a+8)(a+1)
  • C. (a-2)(a+4)
  • D. (a+2)(a-10)
30
将多项式m2-4进行因式分解，结论正确的为（　　）
  • A. （m+2）（m-2）
  • B. （m+4）（m-4）
  • C. （m-2）2
  • D. （m+2）2
31
多项式-1+0.04a2分解因式的结果是(　　)
  • A. (-1+0.2a)2
  • B. (1+0.2a)(1-0.2a)
  • C. (0.2a+1)(0.2a-1)
  • D. (0.04a+1)(0.04a-1)
32
将(a-1)2-1分解因式，结果正确的是(　　)
  • A. a(a-1)
  • B. a(a-2)
  • C. (a-2)(a-1)
  • D. (a-2)(a+1)
33
分解因式：3x2-27=    ．
34
因式分解a3-4a的结果是      ．
35
分解因式8x2-2y2正确是（　　）
  • A. 2（2x+y）（2x-y）
  • B. （2x+y）（2x-y）
  • C. 4（2x+y）（2x-y）
  • D. 4（2x+y）2
36
把4a2-16因式分解的结果是（　　）
  • A. 4（a2-4）
  • B. （2a+4）（2a-4）
  • C. 4（a-2）2
  • D. 4（a+2）（a-2）
37
把x3-9x分解因式，结果正确的是（　　）
  • A. x（x2-9）
  • B. x（x-3）2
  • C. x（x+3）2
  • D. x（x+3）（x-3）
38
将多项式9xy2-4x因式分解，结果正确的是（　　）
  • A. xy（9y-4）
  • B. x（9y2-4）
  • C. x（3y-2）2
  • D. x（3y+2）（3y-2）
39
分解因式x4-1得（　　）
  • A. （x2+1）（x2-1）
  • B. （x-1）（x+1）（x2+1）
  • C. （x+1）2（x-1）2
  • D. （x-1）（x+1）3
40
把m4-n4分解因式的结果是（　　）
  • A. （m2+n2）（m2-n2）
  • B. （m-n）4
  • C. （m+n）2（m-n）
  • D. （m2+n2）（m+n）（m-n）
41
········ THE END ········
因式分解、综合与实践
下一节：
特殊考题
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