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相交线
相交线介绍：

1. 邻补角的概念：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角；
2. 对顶角的概念：有一个公共端点，且两条边互为反向延长线的两个角，互为对顶角；
3. 对顶角的性质：对顶角相等。
判断下列各图中∠1与∠2是否为对顶角，并说明理由．
如图，在三角形ABC中，D是BC中点，连接AD，请分别画出自点B，C向AD所作的垂线（垂足为E，F）．
如图，两条直线相交，∠1=35°，求∠2和∠3的度数．
（1）如图，用三角尺画出点A到直线BC的垂线段；
（2）画出点B到直线AC的垂线段．
如图，直线l表示一条公路，点P是一所学校所在的位置，要修一条从学校到公路的道路，如何修才能使道路最短？画出所修道路的示意图．
如图所示，∠1的邻补角是（　　）
  • A. ∠BOC
  • B. ∠BOE和∠AOF
  • C. ∠AOF
  • D. ∠BOE和∠AOC
分析根据相邻且互补的两个角互为邻补角进行判断．
解答解：∠1是直线AB、EF相交于点O形成的角，所以它的邻补角与直线CD无关，即它的邻补角是∠BOE和∠AOF．
故选B．
点评两直线相交形成的四个角中，任意一个角都有两个邻补角，且这两个邻补角是对顶角．
如图所示，三条直线AB，CD，EF相交于点O，则∠1的邻补角有（　　）个．
  • A. 1
  • B. 2
  • C. 3
  • D. 4
分析本题考查邻补角的定义，两条直线相交后所得的有一个公共顶点且有一条公共边的两个角叫做邻补角．
解答解：因为构成∠1的两边与直线AB和EF有关；
从直线AB来看，∠1的邻补角是∠EOB，
从直线EF来看，∠1的邻补角是∠AOF，
∴∠1的邻补角有2个，故选B．
点评判断邻补角的关键是互补且相邻．图中因为构成∠1的两边与直线AB和EF有关，故∠1的邻补角有2个．
下面四个图形中，∠1与∠2是邻补角的是（　　）
  • A.
  • B.
  • C.
  • D.
分析根据邻补角的定义，相邻且互补的两个角互为邻补角进行判断．
解答解：A、B选项，∠1与∠2没有公共顶点且不相邻，不是邻补角；
C选项∠1与∠2不互补，不是邻补角；
D选项互补且相邻，是邻补角．
故选D．
点评本题考查邻补角的定义，是一个需要熟记的内容．
直线AB和直线CD相交于O，则∠AOC的邻补角有（　　）
  • A. 1个
  • B. 2个
  • C. 3个
  • D. 4个
分析本题考查邻补角的定义，两条直线相交后所得的有一个公共顶点且只有一条公共边的两个角叫做邻补角．
解答解：根据邻补角的定义可知，∠AOC的邻补角有∠AOD和∠COB，故选B．
点评判断是否是邻补角，关键是既互补又相邻．
下列图中，∠1与∠2是对顶角的是(　　)
  • A.
  • B.
  • C.
  • D.
分析根据对顶角的两边互为反向延长线进行判断．
解答解：A、B、C中，∠1与∠2的两边都不互为反向延长线，所以不是对顶角，是对顶角的只有C．
故选：D．
点评本题主要考查了对顶角的定义，熟记对顶角的图形是解题的关键．
如图，直线a、b相交，∠1=65°，则∠2的度数是    °．
分析根据对顶角相等解答即可．
解答∵∠1=65°，
∴∠2=∠1=65°．
故答案为：65．
点评本题主要考查了对顶角相等的性质，熟记性质并认准对顶角是解题的关键，是基础题，比较简单．
如图，在所标识的角中，互为对顶角的两个角是（　　）
  • A. ∠2和∠3
  • B. ∠1和∠3
  • C. ∠1和∠4
  • D. ∠1和∠2
分析两条直线相交后，所得的只有一个公共顶点，且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角．
解答根据对顶角的定义进行判断，
A、∠2和∠3是对顶角，正确；
B、∠1和∠3没有公共顶点，错误；
C、∠1和∠4没有公共顶点，错误；
D、∠1和∠2没有公共顶点，错误．
故选A．
点评解答此类题一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
已知∠α和∠β是对顶角，若∠α=30°，则∠β的度数为（　　）
  • A. 30°
  • B. 60°
  • C. 70°
  • D. 150°
分析根据对顶角相等可得∠β与∠α的度数相等为30°．
解答∵∠α和∠β是对顶角，∠α=30°，
∴根据对顶角相等可得∠β=∠α=30°．
故选：A．
点评本题主要考查了对顶角相等的性质，比较简单．
如图，AB与CD交于点O，OE平分∠BOC，若∠BOD=50°，则∠BOE的度数是(　　)
  • A. 40°
  • B. 50°
  • C. 65°
  • D. 80°
分析首先根据邻补角的性质得到∠BOC=130°，再根据角平分线的定义可得出∠BOE的值．
解答∵AB与CD交于点O，∠BOD=50°
∴∠BOC=180°-∠BOD=180°-50°=130°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE =
1
2
∠BOC=
1
2
×130°=65°．
故答案为：65°．
点评本题主要考查的是邻补角与角平分线的定义，掌握邻补角与角平分线的定义是解题的关键．
如图，已知直线a、b、c相交于点O，∠1=30°，∠2=70°，则∠3=      °．
分析由图形可知，∠1+∠2+∠3是平角，再把∠1，∠2，代入可求∠3的度数．
解答解：由题意，得
∠1+∠2+∠3=180°．
∴∠3=180°-∠1-∠2=80°．
故答案为：80．
点评本题考查了对顶角相等的性质，注意运用平角等于180°．
如图，直线AB，CD相交于O，OE⊥AB，O为垂足，∠COE=34°，则∠BOD=    度.
直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为O．若∠EOB=130°，则∠AOC的大小为（　　）
  • A. 40°
  • B. 50°
  • C. 90°
  • D. 130°
分析由OE⊥CD，得出∠EOD=90°，由∠BOD=∠EOB-∠EOD，可求出∠BOD的度数，利用对顶角相等即可求出∠AOC的大小．
解答解：∵OE⊥CD，
∴∠EOD=90°，
∵∠EOB=130°，
∴∠BOD=∠EOB-∠EOD=130°-90°=40°，
∴∠AOC=40°，
故选：A．
点评本题主要考查了对顶角及垂线，解题的关键是求出∠BOD．
如图已知∠1+∠3=180°，则图中与∠1互补的角有（　　）
  • A. 1个
  • B. 2个
  • C. 3个
  • D. 4个
分析相加等于180°的两角称作互为补角，即两角互补．∠1的补角有它的两个邻补角∠5和∠7；另外∠1+∠3=180°，则∠3和它的对顶角∠4，都是∠1的补角．
解答解：从左边两条相交线看，∠1的邻补角有∠5和∠7；
又∠1+∠3=180°，从右边两条相交线看，∠1的邻补角有∠3和∠4，共4个．
故选D．
点评本题主要考查互补的概念以及对顶角的性质，是需要熟记的内容．
垂直介绍：

1. 垂直的概念：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足；
2. 垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
3. 与垂直有关的简单角度计算。
如图，OA⊥OB，若∠1=55°，则∠2的度数是(　　)
  • A. 35°
  • B. 40°
  • C. 45°
  • D. 60°
分析根据两个角的和为90°，可得两角互余，可得答案．
解答∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
即∠2+∠1=90°，
∴∠2=35°，
故选：A．
点评本题考查了余角和补角，两个角的和为90°，这两个角互余．
如图，OA⊥OB，若∠1=40°，则∠2的度数是（　　）
  • A. 20°
  • B. 40°
  • C. 50°
  • D. 60°
分析根据互余两角之和为90°即可求解．
解答∵OA⊥OB，∠1=40°，
∴∠2=90°-∠1=90°-40°=50°．
故选C．
点评本题考查了余角的知识，属于基础题，掌握互余两角之和等于90°是解答本题的关键．
垂线段最短介绍：

1. 垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段；
2. 垂线段的性质：垂线段最短；
3. 点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
如图，过点P作直线l的垂线和斜线，叙述正确的是(　　)
  • A. 都能作且只能作一条
  • B. 垂线能作且只能作一条，斜线可作无数条
  • C. 垂线能作两条，斜线可作无数条
  • D. 均可作无数条
分析由垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可知，选项B正确．
解答∵过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；而过一点可以做无数条斜线．故选B
点评本题主要考查垂线的性质，及垂线与斜线的区别．
如图，OM⊥NP，ON⊥NP，所以ON与OM重合，理由是(　　)
  • A. 两点确定一条直线
  • B. 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
  • C. 过一点只能作一直线
  • D. 垂线段最短
分析利用过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案即可．
解答解：利用OM⊥NP，ON⊥NP，所以直线ON与OM重合，
其理由是：经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
故选：B．
点评此题主要考查了垂线的定义，根据垂线的定义结合图象得出是解题关键．
如图所示，已知AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别是C，D，那么以下线段大小的比较必定成立的是（　　）
  • A. CD＞AD
  • B. AC＜BC
  • C. BC＞BD
  • D. CD＜BD
分析根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短进行分析．
解答解：A、CD与AD互相垂直，没有明确的大小关系，错误；
B、AC与BC互相垂直，没有明确的大小关系，错误；
C、BD是从直线CD外一点B所作的垂线段，根据垂线段最短定理，BC＞BD，正确；
D、CD与BD互相垂直，没有明确的大小关系，错误，故选C．
点评此题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短的性质．
如图，在△ABC中，若AC⊥BC，则AC    AB（填“＞”、“＜”或“=”）其数学原理是    ．
分析过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．
解答解：∵AC⊥BC，
∴AC是点A到直线BC的垂线段，
∴AC＜AB，
其数学原理是：垂线段最短，
故答案为：＜，垂线段最短．
点评本题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短的应用．
如图，AC⊥BC，AD⊥CD，AB=a，CD=b，则AC的取值范围(　　)
  • A. 大于b
  • B. 小于a
  • C. 大于b且小于a
  • D. 无法确定
分析根据垂线段最短即可得到AC的取值范围．
解答解：∵AC⊥BC，AD⊥CD，AB=a，CD=b，
∴CD＜AC＜AB，
即b＜AC＜a．
故选C．
点评此题考查了垂线段最短的性质．
如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是PB，理由               ．
分析过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．☆
解答解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∵PB⊥AD，
∴PB最短．
故答案为：垂线段最短．
点评此题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短在生活中的应用．
如图所示，下列说法不正确的是（　　）
  • A. 点B到AC的垂线段是线段AB
  • B. 点C到AB的垂线段是线段AC
  • C. 线段AD是点D到AB的垂线段
  • D. 线段BD是点B到AD的垂线段
分析根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，结合图示对各个选项逐一分析即可作出判断．
解答解；A、点B到AC的垂线段是线段AB，正确； 
B、点C到AB的垂线段是线段AC，正确；
C、线段AD是点A到BC的垂线段，故错误；
D、线段BD是点B到AD的垂线段，正确；
故选：C．
点评此题主要考查学生对点到直线距离概念的理解和掌握，解决本题的关键是明确点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．
如图，能表示点到直线的距离的线段共有(　　)
  • A. 2条
  • B. 3条
  • C. 4条
  • D. 5条
分析首先熟悉点到直线的距离的概念：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，即为点到直线的距离．
解答解：根据点到直线的距离定义，可判断：
AB表示点A到直线BC的距离；
AD表示点A到直线BD的距离；
BD表示点B到直线AC的距离；
CB表示点C到直线AB的距离；
CD表示点C到直线BD的距离．
共5条．故选D．
点评掌握点到直线的距离的概念．
若点A到直线l的距离为7cm，点B到直线l的距离为3cm，则线段AB的长度为（　　）
  • A. 10cm
  • B. 4cm
  • C. 10cm或4cm
  • D. 至少4cm
分析应结合题意，分类画图．根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短，可得线段AB的长度至少为4cm．
解答解：从点A作直线l的垂线，垂足为C点，当A、B、C三点共线时，线段AB的长为7-3=4cm，其它情况下大于4cm，故选D．
点评此题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．
如图，AC⊥BC，AC=3，BC=4，AB=5，则点B到AC的距离为    ．
分析根据“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”求解．
解答解：∵AC⊥BC，
∴点B到AC的垂线段为线段BC，
∴点B到AC的距离为线段BC的长度4．
故填4．
点评此题主要考查了从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
如图，在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，则图中能表示点到直线（或线段）的距离的线段有（　　）
  • A. 2条
  • B. 3条
  • C. 4条
  • D. 5条
分析本题图形中共有6条线段，即：AC、BC、CD、AD、BD、AB，其中线段AB的两个端点处没有垂足，不能表示点到直线的距离，其它都可以．
解答解：表示点C到直线AB的距离的线段为CD；
表示点B到直线AC的距离的线段为BC；
表示点A到直线BC的距离的线段为AC；
表示点A到直线DC的距离的线段为AD；
表示点B到直线DC的距离的线段为BD．
故选D．
点评利用点到直线的距离的概念求解．
若A，B，C是直线l上的三点，P是直线l外一点，且PA=5cm，PB=4cm，PC=3cm，则点P到直线l的距离（　　）
  • A. 等于3cm
  • B. 大于3cm而小于4cm
  • C. 不大于3cm
  • D. 小于3cm
分析根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”可知垂线段的长度不能超过PC的长．
解答根据点到直线的距离的定义，点P到直线L的距离即为点P到直线L的垂线段的长度，垂线段的长度不能超过PC的长．故选C．
点评本题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短的性质．
与垂直有关的计算难题介绍：

1. 图形不确定时的角度计算问题。
在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使OC⊥OD，当∠AOC=30°时，∠BOD的度数是(　　)
  • A. 60°
  • B. 120°
  • C. 60°或90°
  • D. 60°或120°
分析此题可分两种情况，即OC，OD在AB的一边时和在AB的两边，分别求解．
解答
①当OC、OD在AB的一旁时，
∵OC⊥OD，∠COD=90°，∠AOC=30°，
∴∠BOD=180°-∠COD-∠AOC=60°；
②当OC、OD在AB的两旁时，
∵OC⊥OD，∠AOC=30°，
∴∠AOD=60°，
∴∠BOD=180°-∠AOD=120°．
故选D．
点评此题主要考查了直角、平角的定义，注意分两种情况分析．
已知OA⊥OB，∠BOC=20°，OD平分∠AOC，则∠BOD的度数是      °或      °(从小到大按顺序填写)．
分析根据题意先画出图形，分两种情况讨论∠BOC在内部和∠BOC在外部时，先根据垂直，得出∠BOA的度数，再根据角平分线的定义即可求出各角的度数，从而得出∠BOD的度数．
解答解：根据题意如图：
∵OA⊥OB，
∴∠BOA=90°，
∵∠BOC=20°，
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=70°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠COD=∠AOC÷2=35°，
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=20°+35°=55°．

如图：
∵OA⊥OB，
∴∠BOA=90°，
∵∠BOC=20°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=110°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠COD=∠AOC÷2=55°，
∴∠BOD=∠COD-∠COB=55°-20°=35°．
综上所述：∠BOD的度数是55°或35°．
点评此题主要考查了角平分线的性质以及角的计算，根据已知画出相应的图形是本题的关键，注意有两种情况，不要漏解．
已知，OA⊥OC，且∠AOB：∠AOC=2：3，则∠BOC的度数为(　　)
  • A. 30°
  • B. 150°
  • C. 30°或150°
  • D. 90°
分析根据垂直关系知∠AOC=90°，由∠AOB：∠AOC=2：3，可求∠AOB，根据∠AOB与∠AOC的位置关系，分类求解．
解答
∵OA⊥OC，
∴∠AOC=90°，
∵∠AOB：∠AOC=2：3，
∴∠AOB=60°．
因为∠AOB的位置有两种：一种是在∠AOC内，一种是在∠AOC外．
①当在∠AOC内时，∠BOC=90°-60°=30°；
②当在∠AOC外时，∠BOC=90°+60°=150°．
故选C．
点评此题主要考查了垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直．同时做这类题时一定要结合图形．
在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使OC⊥OD，当∠AOC=40°时，∠BOD的度数是      °或      °（从小到大按顺序填写）．
分析先根据题意可得OC分在AB同侧和异侧两种情况讨论，并画出图，然后根据OC⊥OD与∠AOC=40°，计算∠BOD的度数．
解答解：当OC、OD在直线AB同侧时，如图：
∵OC⊥OD，∠AOC=40°；
∴∠BOD=180°-∠COD-∠AOC=180°-90°-40°=50°；

当OC、OD在直线AB异侧时，如图：
∵OC⊥OD，∠AOC=40°；
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-（∠DOC-∠AOC）=180°-（90°-40°）=130°．
点评解答此类问题时，要注意对不同的情况进行讨论，避免出现漏解．
已知∠AOB=80°，∠BOC=20°，OD平分∠AOC，则∠BOD的度数是    °或    °（答案从小到大填写）．
分析根据题意先画出图形，分两种情况讨论∠BOC在内部和∠BOC在外部时，先根据垂直，得出∠BOA的度数，再根据角平分线的定义即可求出各角的度数，从而得出∠BOD的度数．
解答解：根据题意如图：
∵∠AOB=80°，∠BOC=20°，
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=60°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠COD=∠AOC÷2=30°，
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=20°+30°=50°．

如图：
∵∠AOB=80°，∠BOC=20°
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=100°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠COD=∠AOC÷2=50°，
∴∠BOD=∠COD-∠COB=50°-20°=30°．
综上所述：∠BOD的度数是30°或50°．
点评此题主要考查了角平分线的性质以及角的计算，根据已知画出相应的图形是本题的关键，注意有两种情况，不要漏解．
已知OA⊥OB，∠AOC：∠AOB=3：5，则∠BOC的度数为      °或      °（从小到大按顺序填写）．
分析根据垂直关系可得∠AOB=90°，再由∠AOC：∠AOB=3：5，可得∠AOC=54°，然后再分两种情况进行计算即可．
解答解：如图，∠AOC的位置有两种：一种是在∠AOC在∠AOB内，一种是在∠AOB外．

∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
①当∠AOC在∠AOB内，
∵∠AOC：∠AOB=3：5，
∴∠AOC=
3
5
∠AOB=54°，
∴∠BOC=90°-∠AOC=36°；
②当∠AOC在∠AOB外，
∵∠AOC：∠AOB=3：5，
∴∠AOC=
3
5
∠AOB=54°，
∴∠BOC=90°+∠AOC=144°．
故答案为：36°或144°．
点评此题主要考查了垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直．同时做这类题时一定要结合图形．
与垂直有关的常见计算介绍：

1. 掌握与垂直有关的角度计算，例如互余问题。
如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠BOD=20°，则∠COE等于    度．
分析根据对顶角相等求出∠AOC，根据垂直求出∠AOE，相减即可求出答案．
解答∵∠BOD=20°，
∴∠AOC=∠BOD=20°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°，
∴∠COE=90°-20°=70°，
故答案为：70．
点评本题考查了垂直定义，对顶角的应用，关键是求出∠AOE和∠AOC的大小．
如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠AOD内一点，已知OE⊥AB，∠BOD=45°，则∠COE的度数是（　　）
  • A. 125°
  • B. 135°
  • C. 145°
  • D. 155°
分析利用垂直的定义，结合已知条件先求∠EOD的度数，再根据补角定义，求∠COE的度数．
解答∵OE⊥AB，∠BOD=45°，
∴∠EOD=90°-45°=45°（余角定义），
∴∠COE=180°-45°=135°（补角定义），
故选B．
点评利用互余互补的性质计算．
如图，AB⊥CD，垂足为点B，EF平分∠ABD，则∠CBF的度数为      °．
分析根据垂线的定义可知，∠ABD的度数是90°，根据角平分线的定义，可求∠DBE的度数，再根据对顶角相等可求∠CBF的度数．
解答∵AB⊥CD，
∴∠ABD=90°，
∵EF平分∠ABD，
∴∠DBE=45°，
∴∠CBF=45°．
故答案为：45．
点评考查了垂线的定义，角平分线的定义，对顶角相等的性质．
如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON的度数为(　　)
  • A. 35°
  • B. 45°
  • C. 55°
  • D. 65°
分析由射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，得出∠MOC=35°，由ON⊥OM，得出∠CON=∠MON-∠MOC得出答案．
解答∵射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，
∴∠MOC=35°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON=90°，
∴∠CON=∠MON-∠MOC=90°-35°=55°．
故选：C．
点评本题主要考查了垂线和角平分线，解决本题的关键是找准角的关系．
如图，AB⊥CD于点B，BE是∠ABD的平分线，则∠CBE的度数为    度．
分析利用AB⊥CD，BE是∠ABD的平分线，可求∠ABE；再利用角的和差关系求∠CBE．
解答解：∵AB⊥CD，
∴∠ABC=∠ABD=90°；
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE=
1
2
∠ABD=45°，
∴∠CBE=∠ABC+∠ABE=135°．
点评本题比较容易，考查了直角和角平分线的有关知识．
如图，直线AB，CD相交于O，OE平分∠AOD，FO⊥OD于O，∠1=40°，则∠2=      度，∠4=      度．
分析根据垂直和角平分线的定义，以及对顶角相等、邻补角的性质求解即可．
解答解：∵FO⊥OD于O，∠1=40°，
∴∠BOD=50°，
根据对顶角相等，得∠2=50°，
∴∠AOD=130°，
又OE平分∠AOD，
∴∠4=65°．
点评解答此题要理解垂直的概念以及角平分线的概念，运用对顶角相等、邻补角互补的性质．
········ THE END ········
相交线
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平行线的判定
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相交线
1
判断下列各图中∠1与∠2是否为对顶角，并说明理由．
2
如图，在三角形ABC中，D是BC中点，连接AD，请分别画出自点B，C向AD所作的垂线（垂足为E，F）．
3
如图，两条直线相交，∠1=35°，求∠2和∠3的度数．
4
（1）如图，用三角尺画出点A到直线BC的垂线段；
（2）画出点B到直线AC的垂线段．
5
如图，直线l表示一条公路，点P是一所学校所在的位置，要修一条从学校到公路的道路，如何修才能使道路最短？画出所修道路的示意图．
6
如图所示，∠1的邻补角是（　　）
  • A. ∠BOC
  • B. ∠BOE和∠AOF
  • C. ∠AOF
  • D. ∠BOE和∠AOC
7
如图所示，三条直线AB，CD，EF相交于点O，则∠1的邻补角有（　　）个．
  • A. 1
  • B. 2
  • C. 3
  • D. 4
8
下面四个图形中，∠1与∠2是邻补角的是（　　）
  • A.
  • B.
  • C.
  • D.
9
直线AB和直线CD相交于O，则∠AOC的邻补角有（　　）
  • A. 1个
  • B. 2个
  • C. 3个
  • D. 4个
10
下列图中，∠1与∠2是对顶角的是(　　)
  • A.
  • B.
  • C.
  • D.
11
如图，直线a、b相交，∠1=65°，则∠2的度数是    °．
12
如图，在所标识的角中，互为对顶角的两个角是（　　）
  • A. ∠2和∠3
  • B. ∠1和∠3
  • C. ∠1和∠4
  • D. ∠1和∠2
13
已知∠α和∠β是对顶角，若∠α=30°，则∠β的度数为（　　）
  • A. 30°
  • B. 60°
  • C. 70°
  • D. 150°
14
如图，AB与CD交于点O，OE平分∠BOC，若∠BOD=50°，则∠BOE的度数是(　　)
  • A. 40°
  • B. 50°
  • C. 65°
  • D. 80°
15
如图，已知直线a、b、c相交于点O，∠1=30°，∠2=70°，则∠3=      °．
16
如图，直线AB，CD相交于O，OE⊥AB，O为垂足，∠COE=34°，则∠BOD=    度.
17
直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为O．若∠EOB=130°，则∠AOC的大小为（　　）
  • A. 40°
  • B. 50°
  • C. 90°
  • D. 130°
18
如图已知∠1+∠3=180°，则图中与∠1互补的角有（　　）
  • A. 1个
  • B. 2个
  • C. 3个
  • D. 4个
19
垂直
20
如图，OA⊥OB，若∠1=55°，则∠2的度数是(　　)
  • A. 35°
  • B. 40°
  • C. 45°
  • D. 60°
21
如图，OA⊥OB，若∠1=40°，则∠2的度数是（　　）
  • A. 20°
  • B. 40°
  • C. 50°
  • D. 60°
22
垂线段最短
23
如图，过点P作直线l的垂线和斜线，叙述正确的是(　　)
  • A. 都能作且只能作一条
  • B. 垂线能作且只能作一条，斜线可作无数条
  • C. 垂线能作两条，斜线可作无数条
  • D. 均可作无数条
24
如图，OM⊥NP，ON⊥NP，所以ON与OM重合，理由是(　　)
  • A. 两点确定一条直线
  • B. 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
  • C. 过一点只能作一直线
  • D. 垂线段最短
25
如图所示，已知AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别是C，D，那么以下线段大小的比较必定成立的是（　　）
  • A. CD＞AD
  • B. AC＜BC
  • C. BC＞BD
  • D. CD＜BD
26
如图，在△ABC中，若AC⊥BC，则AC    AB（填“＞”、“＜”或“=”）其数学原理是    ．
27
如图，AC⊥BC，AD⊥CD，AB=a，CD=b，则AC的取值范围(　　)
  • A. 大于b
  • B. 小于a
  • C. 大于b且小于a
  • D. 无法确定
28
如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是PB，理由               ．
29
如图所示，下列说法不正确的是（　　）
  • A. 点B到AC的垂线段是线段AB
  • B. 点C到AB的垂线段是线段AC
  • C. 线段AD是点D到AB的垂线段
  • D. 线段BD是点B到AD的垂线段
30
如图，能表示点到直线的距离的线段共有(　　)
  • A. 2条
  • B. 3条
  • C. 4条
  • D. 5条
31
若点A到直线l的距离为7cm，点B到直线l的距离为3cm，则线段AB的长度为（　　）
  • A. 10cm
  • B. 4cm
  • C. 10cm或4cm
  • D. 至少4cm
32
如图，AC⊥BC，AC=3，BC=4，AB=5，则点B到AC的距离为    ．
33
如图，在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，则图中能表示点到直线（或线段）的距离的线段有（　　）
  • A. 2条
  • B. 3条
  • C. 4条
  • D. 5条
34
若A，B，C是直线l上的三点，P是直线l外一点，且PA=5cm，PB=4cm，PC=3cm，则点P到直线l的距离（　　）
  • A. 等于3cm
  • B. 大于3cm而小于4cm
  • C. 不大于3cm
  • D. 小于3cm
35
与垂直有关的计算难题
36
在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使OC⊥OD，当∠AOC=30°时，∠BOD的度数是(　　)
  • A. 60°
  • B. 120°
  • C. 60°或90°
  • D. 60°或120°
37
已知OA⊥OB，∠BOC=20°，OD平分∠AOC，则∠BOD的度数是      °或      °(从小到大按顺序填写)．
38
已知，OA⊥OC，且∠AOB：∠AOC=2：3，则∠BOC的度数为(　　)
  • A. 30°
  • B. 150°
  • C. 30°或150°
  • D. 90°
39
在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使OC⊥OD，当∠AOC=40°时，∠BOD的度数是      °或      °（从小到大按顺序填写）．
40
已知∠AOB=80°，∠BOC=20°，OD平分∠AOC，则∠BOD的度数是    °或    °（答案从小到大填写）．
41
已知OA⊥OB，∠AOC：∠AOB=3：5，则∠BOC的度数为      °或      °（从小到大按顺序填写）．
42
与垂直有关的常见计算
43
如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠BOD=20°，则∠COE等于    度．
44
如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠AOD内一点，已知OE⊥AB，∠BOD=45°，则∠COE的度数是（　　）
  • A. 125°
  • B. 135°
  • C. 145°
  • D. 155°
45
如图，AB⊥CD，垂足为点B，EF平分∠ABD，则∠CBF的度数为      °．
46
如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON的度数为(　　)
  • A. 35°
  • B. 45°
  • C. 55°
  • D. 65°
47
如图，AB⊥CD于点B，BE是∠ABD的平分线，则∠CBE的度数为    度．
48
如图，直线AB，CD相交于O，OE平分∠AOD，FO⊥OD于O，∠1=40°，则∠2=      度，∠4=      度．
49
········ THE END ········
相交线
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