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一元二次方程
一元二次方程介绍：

1. 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程；
2. 一元二次方程解的概念：满足一元二次方程的未知数的值就叫一元二次方程的解，也就一元二次方程的根；
3. 一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax^2+bx+c=0（a≠0）。这种形式叫一元二次方程的一般形式。
把方程3x（x-1）=2（x-2）-4化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项．
解答解 去括号，得
3x2-3x=2x-4-4．
移项，合并同类项，得方程的一般形式：
3x2-5x+8=0．
它的二次项系数是3，一次项系数是-5，常数项是8．
判断下列方程中，哪些是关于x的一元二次方程？
（1）x2+
1
2x
-3=0；
（2）4x2+3x-2=(2x-1)2；
（3）x3-x+4=0；
（4）x2-2y-3=0；
（5）（m+1）x2+3x+1=0；
（6）2x2=0．
将下列一元二次方程化成一般形式，并指出它们的二次项系救、一次项系数及常数项：
（1）5x2=6x-8；
（2）
1
2
-2x2=0；
（3）x（x-1）=0；
（4）（x-
√2
）（x-
√3
）=0．
将48张桌子排成若干行，且每行的桌子数目相同，已知每一行的桌子数比总行数多2，设这些桌子排了x行，写出排成的行数所满足的方程．并将其化为标准形式．
下面哪些数是方程x2+x-2=0的根？
-3，-2，-1，0，1，2，3．
某蔬菜队2009年全年无公害疏菜产量为100t，计划2011年无公害蔬菜的产量比2009年翻一番（即为200t）．要实现这一目标，2010年和2011年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？
解答设这个队2010-2011年无公害蔬菜产量的年平均增长率是x，那么：2010年无公害蔬菜产量为100+100x=100（1+x）（t）；2011年无公害蔬菜产量为100（1+x）+100（1+x）•x=100（1+x）2（t），如图17-1（2）．

根据题意，2011年无公害蔬菜产量为200 t，得
100（1+x）2=200．
即 （1+x）2=2．
整理得
x2+2x-1=0．
在一块宽20m、长32m长方形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把这块空地分成大小一样的6块，建成小花坛．如图17-2，要使花坛的总面积为570m2（图中长度的单位：m），问小路的宽应是多少？
解答设小路的宽是x m，则横向小路的面积是32x m2，纵向小路的面积是2×20x m2，两者重叠部分的面积是2x2 m2．由于花坛的总面积是570m2，则
32×20-（32x+2×20x）+2x2=570．
整理，得
x2-36x+35=0．
下列方程中，属于一元二次方程的是(　　)
  • A. x-1=2x-3
  • B. 2x-x2=0
  • C. 3x-2=y
  • D.
    1
    x2
    -x+3=0
分析本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
(1)未知数的最高次数是2；
(2)二次项系数不为0；
(3)是整式方程；
(4)含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解答解：A、最高次数是1次，是一次方程，故选项错误；
B、正确；
C、含有2个未知数，故选项错误；
D、是分式方程，故选项错误．
故选B．
点评本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
如果关于x的方程（m-3）xm2-2m-1+mx+1=0是一元二次方程，则m为（　　）
  • A. -1
  • B. -1或3
  • C. 3
  • D. 1或-3
分析根据题意，由于原方程是一元二次方程，那么有x的次数是2，即m2-2m-1=2，系数不等于0，即m-3≠0，联合起来解即可．
解答解：根据题意得
m-3≠0，m2-2m-1=2，
解得m=-1．
故选A．
点评本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
下列方程是一元二次方程的是（　　）
  • A. x+2y=1
  • B. x=2x3-3
  • C. x2-2=0
  • D. 3x+
    1
    x
    =4
分析只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
一元二次方程有三个特点：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的最高次数是2；
（3）是整式方程．
解答解：A、x+2y=1是二元一次方程，故错误；
B、x=2x3-3是一元三次方程，故错误；
C、x2-2=0，符合一元二次方程的形式，正确；
D、3x+
1
x
=4是分式方程，故错误，
故选：C．
点评本题考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．
方程（m-1）x|m|+1-2x=3是关于x的一元二次方程，则有（　　）
  • A. m=1
  • B. m=-1
  • C. m=±1
  • D. m≠±1
分析根据一元二次方程的定义列出关于m的方程组，求出m的值即可．
解答解：∵方程（m-1）x|m|+1-2x=3是关于x的一元二次方程，
∴
{
m-1≠0
|m|+1=2
，解得m=-1．
故选B．
点评本题考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
一元二次方程3x2+2x-5=0的一次项系数是    ．
分析一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据定义即可求解．
解答解：一元二次方程3x2+2x-5=0的一次项系数是：2．
故答案是：2．
点评一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
一元二次方程x2-2(3x-2)+(x+1)=0化成一般形式后，其一次项系数与常数项分别为（　　）
  • A. -5，5
  • B. -6，4
  • C. -5x，5
  • D. -5，-3
分析☆要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．
解答解：x2-2(3x-2)+(x+1)=O，
x2-6x+4+x+1=O，
x2-5x+5=O，
一次项系数是-5，常数项是5，
故选：A．
点评此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
一元二次方程x2-2x-3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(　　)
  • A. 1，-2，-3
  • B. 1，-2，3
  • C. 1，2，3
  • D. 1，2，-3
分析根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可．
解答解：一元二次方程x2-2x-3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，-2，-3．
故选：A．
点评本题主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．
把方程x(x+2)=5(x-2)化成一般式，则a、b、c的值分别是（　　）
  • A. 1，-3，10
  • B. 1，7，-10
  • C. 1，-5，12
  • D. 1，3，2
分析□a、b、c分别指的是一元二次方程的一般式中的二次项系数、一次项系数、常数项．
解答解：由方程x(x+2)=5(x-2)，得
x2-3x+10=0，
∴a、b、c的值分别是1、-3、10；
故选A．
点评本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)，在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
以下哪个一元二次方程有一根为1？（　　）
  • A. x-1=0
  • B. (x-2)(x+1)=0
  • C. x2-1=0
  • D. x+1=0
分析☆用代入法逐一检验即可．
解答解：A、不是一元二次方程，故本选项错误；B、将x=1代入，左边=（1-2）（1+1）=-2≠右边，x=1不是这个方程的根，故本选项错误；C、将x=1代入，左边=12-1=0=右边，x=1是这个方程的根，故本选项正确；D、不是一元二次方程，故本选项错误．故选C．
点评本题主要考查一元二次方程的概念的理解与掌握．
下列各数中是方程x2-5x-6=0的解是(　　)
  • A. -1
  • B. -2
  • C. -3
  • D. -6
分析△本题根据一元二次方程的根的定义，把四个选项分别代入检验即可．
解答解：A、把x=-1代入，左边=(-1)2-5×(-1)-6=0=右边，故本选项正确；
B、把x=-2代入，左边=(-2)2-5×(-2)-6=8≠右边，故本选项错误；
C、把x=-3代入，左边=(-3)2-5×(-3)-6=18≠右边，故本选项错误；
D、把x=-6代入，左边=(-6)2-5×(-6)-6=60≠右边，故本选项错误；
故选A．
点评本题考查了一元二次方程的解的定义．把未知数的值代入原方程检验：方程的左边等于右边，未知数的值是方程的解．
········ THE END ········
一元二次方程
下一节：
一元二次方程的解法
· 配方法
· 公式法
· 因式分解
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一元二次方程
1
把方程3x（x-1）=2（x-2）-4化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项．
2
判断下列方程中，哪些是关于x的一元二次方程？
（1）x2+
1
2x
-3=0；
（2）4x2+3x-2=(2x-1)2；
（3）x3-x+4=0；
（4）x2-2y-3=0；
（5）（m+1）x2+3x+1=0；
（6）2x2=0．
3
将下列一元二次方程化成一般形式，并指出它们的二次项系救、一次项系数及常数项：
（1）5x2=6x-8；
（2）
1
2
-2x2=0；
（3）x（x-1）=0；
（4）（x-
√2
）（x-
√3
）=0．
4
将48张桌子排成若干行，且每行的桌子数目相同，已知每一行的桌子数比总行数多2，设这些桌子排了x行，写出排成的行数所满足的方程．并将其化为标准形式．
5
下面哪些数是方程x2+x-2=0的根？
-3，-2，-1，0，1，2，3．
6
某蔬菜队2009年全年无公害疏菜产量为100t，计划2011年无公害蔬菜的产量比2009年翻一番（即为200t）．要实现这一目标，2010年和2011年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？
7
在一块宽20m、长32m长方形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把这块空地分成大小一样的6块，建成小花坛．如图17-2，要使花坛的总面积为570m2（图中长度的单位：m），问小路的宽应是多少？
8
下列方程中，属于一元二次方程的是(　　)
  • A. x-1=2x-3
  • B. 2x-x2=0
  • C. 3x-2=y
  • D.
    1
    x2
    -x+3=0
9
如果关于x的方程（m-3）xm2-2m-1+mx+1=0是一元二次方程，则m为（　　）
  • A. -1
  • B. -1或3
  • C. 3
  • D. 1或-3
10
下列方程是一元二次方程的是（　　）
  • A. x+2y=1
  • B. x=2x3-3
  • C. x2-2=0
  • D. 3x+
    1
    x
    =4
11
方程（m-1）x|m|+1-2x=3是关于x的一元二次方程，则有（　　）
  • A. m=1
  • B. m=-1
  • C. m=±1
  • D. m≠±1
12
一元二次方程3x2+2x-5=0的一次项系数是    ．
13
一元二次方程x2-2(3x-2)+(x+1)=0化成一般形式后，其一次项系数与常数项分别为（　　）
  • A. -5，5
  • B. -6，4
  • C. -5x，5
  • D. -5，-3
14
一元二次方程x2-2x-3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(　　)
  • A. 1，-2，-3
  • B. 1，-2，3
  • C. 1，2，3
  • D. 1，2，-3
15
把方程x(x+2)=5(x-2)化成一般式，则a、b、c的值分别是（　　）
  • A. 1，-3，10
  • B. 1，7，-10
  • C. 1，-5，12
  • D. 1，3，2
16
以下哪个一元二次方程有一根为1？（　　）
  • A. x-1=0
  • B. (x-2)(x+1)=0
  • C. x2-1=0
  • D. x+1=0
17
下列各数中是方程x2-5x-6=0的解是(　　)
  • A. -1
  • B. -2
  • C. -3
  • D. -6
18
········ THE END ········
一元二次方程
下一节：
一元二次方程的解法
· 配方法
· 公式法
· 因式分解
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