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一元二次方程根的判别式
根的判别式介绍：

利用一元二次方程根的判别式（△=b^2-4ac）判断方程的根的情况：
1. 当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
2. 当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
3. 当△＜0时，方程无实数根。
不解方程，判别下列方程根的情况：
(1)5x2-3x-2=0；　
(2)25y2+4=20y；　
(3)2x2+
√3
x+1=0．
解答解 (1)因为∆=(-3)2-4×5×(-2)=49＞0，
所以原方程有两个不相等的实数根．
(2)原方程可变形为
25y2-20y+4=0．
因为∆=(-20)2-4×25×4=0，
所以原方程有两个相等的实数根．
(3)因为∆=(
√3
)2-4×2×1=-5＜0，
所以原方程没有实数根．
不解方程，判别下列方程根的情况：
(1)2x2-5x-4=0；　　　　　　
(2)7t2-5t+2=0；
(3)x(x+1)=3；　　　　　　　
(4)3y2+25=10
√3
y．
解答(1)Δ=(-5)2-4×2×(-4)=57＞0，∴方程有两个不等实根；
(2)Δ=(-5)2-4×7×2=-31＜0，∴方程无实根；
(3)化简得：x2+x-3=0，
Δ=12-4×1×(-3)=13＞0，∴方程有两个不等实根；
(4)化简得：3y2-10
√3
y+25=0，
Δ=(10
√3
)2-4×3×25=0，∴方程有两个相等实根．
已知关于x的方程x2-3x+k=0，问k取何值时，这个方程：
(1)有两个不相等的实数根?
(2)有两个相等的实数根?
(3)没有实数根?
解答Δ=(-3)2-4×1×k=9-4k
(1)若方程有两个不等实根，9-4k＞0，k＜
9
4
，
(2)若方程有两个相等实根，9-4k=0，k=
9
4
，
(3)若方程无实根，9-4k＜0，k＞
9
4
．
一元二次方程x2-4x+5=0的根的情况是（　　）
  • A. 有两个不相等的实数根
  • B. 有两个相等的实数根
  • C. 只有一个实数根
  • D. 没有实数根
分析△把a=1，b=-4，c=5代入△=b2-4ac进行计算，根据计算结果判断方程根的情况．
解答∵a=1，b=-4，c=5，
∴△=b2-4ac=（-4）2-4×1×5=-4＜0，
所以原方程没有实数根．
故选：D．
点评本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
下列关于x的方程有实数根的是(　　)
  • A. x2-x+1=0
  • B. x2+x+1=0
  • C. (x-1)(x+2)=0
  • D. (x-1)2+1=0
分析分别计算A、B中的判别式的值；根据判别式的意义进行判断；利用因式分解法对C进行判断；根据非负数的性质对D进行判断．
解答A、△=(-1)2-4×1×1=-3＜0，方程没有实数根，所以A选项错误；
B、△=12-4×1×1=-3＜0，方程没有实数根，所以B选项错误；
C、x-1=0或x+2=0，则x1=1，x2=-2，所以C选项正确；
D、(x-1)2=-1，方程左边为非负数，方程右边为-1，所以方程没有实数根，所以D选项错误．
故选：C．
点评本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
若5k+20＜0，则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况是（　　）
  • A. 没有实数根
  • B. 有两个相等的实数根
  • C. 有两个不相等的实数根
  • D. 无法判断
分析根据已知不等式求出k的范围，进而判断出根的判别式的值的正负，即可得到方程解的情况．
解答∵5k+20＜0，即k＜-4，
∴△=16+4k＜0，
则方程没有实数根．
故选A．
点评此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2-2x-3=0．下列说法正确的是（　　）
  • A. ①②都有实数解
  • B. ①无实数解，②有实数解
  • C. ①有实数解，②无实数解
  • D. ①②都无实数解
分析△求出①、②的判别式，根据：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
即可得出答案．
解答方程①的判别式△=4-12=-8，则①没有实数解；
方程②的判别式△=4+12=16，则②有两个实数解．
故选B．
点评本题考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握根的判别式与方程根的关系．
下列一元二次方程有两个相等实数根的是（　　）
  • A. x2+3=0
  • B. x2+2x=0
  • C. （x+1）2=0
  • D. （x+3）（x-1）=0
分析根据计算根的判别式，根据判别式的意义可对A、B进行判断；由于C、D的两根可直接得到，则可对C、D进行判断．
解答解：A、△=0-4×3=-12＜0，则方程没有实数根，所以A选项错误；
B、△=4-4×0=4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；
C、解得x1=x2=-1，则方程有两个相等的实数根，所以C选项正确；
D、解得x1=-3，x2=1，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项错误．
故选C．
点评本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
对于任意实数k，关于x的方程x2-2(k+1)x-k2+2k-1=0的根的情况为（　　）
  • A. 有两个相等的实数根
  • B. 没有实数根
  • C. 有两个不相等的实数根
  • D. 无法确定
分析☆判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了．
解答解：∵a=1，b=-2(k+1)，c=-k2+2k-1，
∴△=b2-4ac=[-2(k+1)]2-4×1×(-k2+2k-1)=8+8k2＞0
∴此方程有两个不相等的实数根，
故选C．
点评此题主要考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△＜0⇔方程没有实数根．
········ THE END ········
一元二次方程根的判别式
下一节：
一元二次方程的根与系数的关系
· 一元二次方程的根与系数的关系
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根的判别式
1
不解方程，判别下列方程根的情况：
(1)5x2-3x-2=0；　
(2)25y2+4=20y；　
(3)2x2+
√3
x+1=0．
2
不解方程，判别下列方程根的情况：
(1)2x2-5x-4=0；　　　　　　
(2)7t2-5t+2=0；
(3)x(x+1)=3；　　　　　　　
(4)3y2+25=10
√3
y．
3
已知关于x的方程x2-3x+k=0，问k取何值时，这个方程：
(1)有两个不相等的实数根?
(2)有两个相等的实数根?
(3)没有实数根?
4
一元二次方程x2-4x+5=0的根的情况是（　　）
  • A. 有两个不相等的实数根
  • B. 有两个相等的实数根
  • C. 只有一个实数根
  • D. 没有实数根
5
下列关于x的方程有实数根的是(　　)
  • A. x2-x+1=0
  • B. x2+x+1=0
  • C. (x-1)(x+2)=0
  • D. (x-1)2+1=0
6
若5k+20＜0，则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况是（　　）
  • A. 没有实数根
  • B. 有两个相等的实数根
  • C. 有两个不相等的实数根
  • D. 无法判断
7
已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2-2x-3=0．下列说法正确的是（　　）
  • A. ①②都有实数解
  • B. ①无实数解，②有实数解
  • C. ①有实数解，②无实数解
  • D. ①②都无实数解
8
下列一元二次方程有两个相等实数根的是（　　）
  • A. x2+3=0
  • B. x2+2x=0
  • C. （x+1）2=0
  • D. （x+3）（x-1）=0
9
对于任意实数k，关于x的方程x2-2(k+1)x-k2+2k-1=0的根的情况为（　　）
  • A. 有两个相等的实数根
  • B. 没有实数根
  • C. 有两个不相等的实数根
  • D. 无法确定
10
········ THE END ········
一元二次方程根的判别式
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