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多边形初步介绍：

1. 多边形的基本概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形；
2. 正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

如图所示的图形中，属于多边形的有（　　）个．

A. 3个
B. 4个
C. 5个
D. 6个

分析根据多边形的定义：平面内不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形．显然只有第一个、第二个、第五个．

解答解：所示的图形中，属于多边形的有第一个、第二个、第五个．
故选A．

点评理解多边形的定义，根据定义进行正确判断．

图中多边形ABCDE对角线有条，边有条，内角有个，外角有个．

分析根据多边形边、对角线、内角和外角的定义求解．

解答解：
对角线有AC、AD、BE、BD、CE这5条
边有AB、BC、CD、DE、EA这5条，
内角有5个，顶点分别是A、B、C、D、E，
外角只有1个，∠EAF．

点评考查多边形的基本概念．

（多选）下列说法不正确的是（　　）

A. 正多边形的各边都相等
B. 各边都相等的多边形是正多边形
C. 正三角形就是等边三角形
D. 六个角都相等的六边形是正六边形

分析根据正多边形的定义：各个边相等，各个角相等的多边形是正多边形，除正三边形以外，各边相等，各角相等，两个条件必须同时成立．

解答解：A、正确；
B、菱形，四边相等，但不是正多边形，故命题错误；
C、正确；
D、六个角相等，边不相等的六边形不是正六边形，命题错误．
故选BD．

点评本题考查了正多边形的定义，注意除正三边形以外，各边相等，各角相等，两个条件必须同时成立．

下面四个图形中是多边形的是(　　)

分析根据多边形的定义：平面内不在一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形．

解答解：根据图形可知D是多边形．
故选D．

点评理解多边形的概念，D中的多边形是一个凹多边形．

如图所示，下列线段不是多边形ABCDE的对角线的是(　　)

A. AC
B. BD
C. AE
D. CE

分析根据多边形对角线的定义求解．

解答解：由多边形对角线的基本定义可知：连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线．
所以AE是多边形的一条对角线，故选C．

点评考查多边形边对角线的基本定义．

下列是正多边形的定义的是（　　）

A. 各条边都相等的多边形是正多边形
B. 各个内角都相等的多边形是正多边形
C. 各个外角都相等的多边形是正多边形
D. 各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形

分析根据正多边形的基本定义求解．

解答解：由正多边形的基本定义可知：各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形．
所以选D．

点评本题主要考查了正多边形的基本定义．

多边形的对角线介绍：

1. 多边形的对角线条数公式：n边形的对角线条数等于n（n-3）/2。

多边形的内角和介绍：

1. 多边形内角和定理：（n-2）•180°（n≥3且n为整数）；
2. 多边形内角和定理的应用。

求正六边形每个内角的度数．

解答解正六边形的内角和为
（6-2）×180°=720°，
所以每个内角的度数为
720°÷6=120°．

四边形ABCD中，四个内角度数之比是1：2：3：4，求出四个内角的度数．

一个多边形的内角和是1440°，求这个多边形的边数．

解答解：(n-2)•180°=1440°
n=10

正多边形的每个内角可能是：（1）75°；（2）90°；（3）120°吗？说明理由．

八边形的内角和等于度．

分析n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，代入公式就可以求出内角和．

解答（8-2）×180°=1080°．
故答案为：1080°．

点评本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．

若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是(　　)

A. 5
B. 6
C. 7
D. 8

分析根据多边形的内角和公式(n-2)•180°，列式求解即可．

解答设这个多边形是n边形，根据题意得，
(n-2)•180°=900°，
解得n=7．
故选C．

点评本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．

如图是一个五边形木架，它的内角和是（　　）

A. 720°
B. 540°
C. 360°
D. 180°

分析多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°（n≥3且n是整数）即可求出答案．

解答（5-2）×180°=540°，所以它的内角和是540°．故选B．

点评本题考查了多边形内角和的概念，准确掌握公式是解题关键．

如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形是(　　)

A. 四边形
B. 五边形
C. 六边形
D. 七边形

分析n边形的内角和可以表示成(n-2)•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．

解答这个正多边形的边数是n，则
(n-2)•180°=720°，
解得：n=6．
则这个正多边形的边数是6．
故选C．

点评考查了多边形内角和定理，此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式，寻求等量关系，构建方程求解即可．

正八边形的一个内角的度数是度．

分析首先根据多边形内角和定理：（n-2）•180°（n≥3且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数．

解答解：正八边形的内角和为：（8-2）×180°=1080°，
每一个内角的度数为：

×1080°=135°．
故答案为：135．

点评此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n-2）•180 （n≥3）且n为整数）．

正十二边形每个内角的度数为 °．

分析首先求得十二边形的内角和，再除以12即可．

解答十二边形的内角和是(12-2)×180°=1800°．
正十二边形的12个内角大小相同，
所以每个内角是1800°÷12=150°．
故答案为：150°．

点评本题考查了多边形的计算，正确记忆多边形的内角和公式是解决问题的关键．

如图，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则∠α等于度．

分析先分别求出正五边形的一个内角为108°，正方形的每个内角是90°，再根据圆周角是360度求解即可．

解答正五边形的内角和为（5-2）×180°=540°，
因此正五边形的一个内角为540°÷5=108°，
正方形的每个内角是90°，
所以∠α=360°-108°-90°-90°=72°．

点评主要考查了多边形的内角和．多边形内角和公式：（n-2）•180°．

如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则∠1= °．

分析作出平行线，根据两直线平行：内错角相等、同位角相等，结合多边形的内角和定理，即可得出答案．

解答解：作出辅助线如图：

则∠2=42°，∠1=∠3，
∵五边形是正五边形，
∴一个内角是108°，
∴∠3=180°-∠2-∠3=30°，
∴∠1=∠3=30°．
故答案为：30°．

点评本题考查了平行线的性质，注意掌握两直线平行：内错角相等、同位角相等．

多边形的外角和介绍：

1. 多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°；
2. 借助内角和和邻补角概念共同推出以上结论：外角和=180°n-（n-2）•180°=360°。

七边形外角和为（　　）

A. 180°
B. 360°
C. 900°
D. 1260°

分析根据多边形的外角和等于360度即可求解．

解答七边形的外角和为360°．
故选：B．

点评本题考查了多边形的内角和外角的知识，属于基础题，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．

如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4= °．

分析根据题意先求出∠5的度数，然后根据多边形的外角和为360°即可求出∠1+∠2+∠3+∠4的值．

解答

解：由题意得，∠5=180°-∠EAB=60°，
又∵多边形的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°-∠5=300°．
故答案为：300°．

点评本题考查了多边形的外角和等于360°的性质以及邻补角的和等于180°的性质，是基础题，比较简单．

九边形的外角和为 °．

分析任意多边形的外角和都是360°．

解答任意多边形的外角和都是360°，故九边形的外角和为360°．

点评本题主要考查多边形的外角和定理，任意多边形的外角和都是360°．

如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1=∠2=∠3=∠4=70°，则∠AED的度数是（　　）

A. 110°
B. 108°
C. 105°
D. 100°

分析利用邻补角的定义，先求出∠ADE的外角，再利用多边形的内角和公式求∠AED的度数即可．

解答根据五边形的内角和公式可知，五边形ABCDE的内角和为（5-2）×180°=540°，
根据邻补角的定义可得∠EAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=180°-70°=110°，
所以∠AED=540°-110°×4=100°．
故选D．

点评本题考查了多边形的内角和公式和邻补角的定义．
多边形的内角和为：180°（n-2）．

正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数n= ．

分析根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．

解答因为外角是20度，360÷20=18，则这个多边形是18边形．

点评根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．

已知一个多边形的每一个内角都等于108°，则这个多边形的边数n= ．

分析先求出这个多边形的每一个外角的度数，再用360°除以一个外角的度数即可得到边数．

解答∵多边形的每一个内角都等于108°，
∴多边形的每一个外角都等于180°-108°=72°，
∴边数n=360°÷72°=5．
故答案为：5．

点评本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键．

一个正多边形的一个外角等于30°，则这个正多边形的边数n= ．

分析正多边形的一个外角等于30°，而多边形的外角和为360°，则：多边形边数=多边形外角和÷一个外角度数．

解答依题意，得
多边形的边数=360°÷30°=12，
故答案为：12．

点评题考查了多边形内角与外角．关键是明确多边形的外角和为定值，即360°，而当多边形每一个外角相等时，可作除法求边数．

已知正n边形的一个内角为135°，则边数n的值是（　　）

A. 6
B. 7
C. 8
D. 10

分析根据多边形的相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数，再根据多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数进行计算即可得解．

解答∵正n边形的一个内角为135°，
∴正n边形的一个外角为180°-135°=45°，
n=360°÷45°=8．
故选C．

点评本题考查了多边形的外角，利用多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数是常用的方法，求出多边形的每一个外角的度数是解题的关键．

一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是．

分析多边形的内角和比外角和的3倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是1360度．n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．

解答根据题意，得
（n-2）•180=1360，
解得：n=9．
则这个多边形的边数是9．
故答案为：9．

点评考查了多边形内角与外角，此题只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解．

一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（　　）

A. 四边形
B. 五边形
C. 六边形
D. 八边形

分析此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解．

解答设所求正n边形边数为n，由题意得
（n-2）•180°=360°×2
解得n=6．
则这个多边形是六边形．故选C．

点评本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征：任何多边形的外角和都等于360°，多边形的内角和为（n-2）•180°．

如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α=（　　）

A. 30°
B. 40°
C. 80°
D. 不存在

分析先求出多边形的边数，再利用多边形的外角和求出答案即可．

解答∵108÷12=9，
∴小林从P点出发又回到点P正好走了一个9边形，
∴α=360°÷9=40°．
故选B．

点评本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°．

如图，小陈从O点出发，前进5米后向右转20°，再前进5米后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（　　）

A. 60米
B. 100米
C. 90米
D. 120米

分析利用多边形外角和等于360度即可求出答案．

解答∵小陈从O点出发当他第一次回到出发点O时正好走了一个正多边形，
∴多边形的边数为360°÷20=18，
∴他第一次回到出发点O时一共走了18×5=90米．
故选C．

点评主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°．

多边形的内角和进阶介绍：

1. 多边形剪去一个角图形的变化问题：n边形减去一个角可能变成n-1边形、n边形或n+1边形。

把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（　　）

A. 六边形
B. 五边形
C. 四边形
D. 三角形

分析一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n-1）边形．

解答当剪去一个角后，剩下的部分是一个四边形，
则这张纸片原来的形状可能是四边形或三角形或五边形，不可能是六边形．
故选A．

点评剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条．

一个多边形截去一个角后所形成的多边形的内角和是1260°，那么原多边形的边数不可能是(　　)

A. 8
B. 9
C. 10
D. 11

分析根据多边形的内角和公式先求出现在的多边形的边数，然后再与原多边形的边数相比较就可得出哪个是不可能的答案．因为要根据截角的实际情况解答，故要分几种情况解答．

解答解：设现在多边形的边数为n′．
即(n′-2)•180°=1260°，则n′=9．
所以根据切得情况不同，有
1、在相邻两边上切：n=n′-1=8；
2、在一角和一边上切：n=n′=9；
3、在两角上切：n=n′+1=10．
故选D．

点评本题考查的是考生解决问题、考虑问题时的分析能力．主要是考查多边形的内角和的相关知识．

把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（　　）

A. 16
B. 17
C. 18
D. 19

分析一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n-1）边形．

解答解：当剪去一个角后，剩下的部分是一个18边形，
则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19边形，不可能是16边形．
故选A．

点评此题主要考查了多边形，剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条．

一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是（　　）

A. 17
B. 16
C. 15
D. 16或15或17

分析因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题．

解答解：多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°（n≥3且n是整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，
根据（n-2）•180°=2520°解得：n=16，
则多边形的边数是15，16，17．
故选D．

点评本题主要考查多边形的内角和定理的计算方法．

········ THE END ········

多边形内角和

平行四边形

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