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平行四边形的性质（一）介绍：

1. 平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；
2. 平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等。
②角：平行四边形的对角相等。
3. 平行线间的距离处处相等。

已知：如图19-12，▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．
（1）如果AE=2，求CD的长；
（2）如果∠AEB=40°，求∠C的度数．

解答解（1）∵BE平分∠ABC，并且AD∥BC，
∴∠ABE=∠EBC=∠AEB．
∴AB=AE=2．
又∵CD=AB，
∴CD=2．
（2）由（1）知
∠AEB=∠ABE=40°，
∴∠A=180°-（40°+40°）=100°．
又∵∠C=∠A，
∴∠C=100°．

已知：如图19-14，▱ABCD中，AB=4，AD=5，∠B=45°．求直线AD和直线BC之间的距离，直线AB和直线DC之间的距离．

解答解过点A作AE⊥BC，AF⊥CD．垂足分别为点E、点F，
∴线段AE，AF的长分别为点A到直线BC和直线CD的距离．
线段AF的长为直线AB和直线CD之间的距离．
∵在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠B=45°，AB=4，
∴∠B=∠BAE．
∴BE=AE．
又∵AE²+BE²=AB²，
∴2AE²=16．
∴AE=2

√2

．
同理：AF=

√2

．
所以直线AD和直线BC之间的距离为2

√2

，直线AB和直线CD之间的距离为

√2

．

已知：如图19-15，过△ABC的三个顶点，分别作对边的平行线，这三条直线两两相交，得△A'B'C'．求证：△ABC的顶点分别是△A'B'C'三边的中点．

解答分析：如图19-15，要证明点A是B'C'的中点，只要证明AB'=AC'．
证明 ∵AB∥B'C，BC∥AB'，
∴AB'=BC．
同理：AC'=BC．
∴AB'=AC'．
同理：BC'=BA'，CA'=CB'．
所以△ABC的顶点分别是△A'B'C'三边的中点．

如图，a∥b，点A在直线a上，点B、C在直线b上，AC⊥b，如果AB=5cm，AC=4cm，那么平行线a、b之间的距离为（　　）

A. 5cm
B. 4cm
C. 3cm
D. 不能确定

分析从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案．

解答解：平行线a、b之间的距离=AC=4cm．
故选B．

点评本题考查了平行线之间的距离，属于基础题，关键是掌握平行线之间距离的定义．

如图是一个矩形，则图中表示AD与BC之间的距离的线段有（　　）

A. 1条
B. 2条
C. 3条
D. 4条

分析根据两平行线之间的距离的定义：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，得到图中表示AD与BC之间的距离的线段有AB和CD．

解答解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AD∥BC，
∴图中表示AD与BC之间的距离的线段有AB和CD，一共2条．
故选B．

点评本题考查了矩形的性质，两平行线之间的距离，掌握定义及性质是解题的关键．

如图，▱ABCD中，BC=BD，∠C=74°，则∠ADB的度数是(　　)

A. 16°
B. 22°
C. 32°
D. 68°

分析根据平行四边形的性质可知：AD∥BC，所以∠C+∠ADC=180°，再由BC=BD可得∠C=∠BDC，进而可求出∠ADB的度数．

解答∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠C+∠ADC=180°，
∵∠C=74°，
∴∠ADC=106°，
∵BC=BD，
∴∠C=∠BDC=74°，
∴∠ADB=106°-74°=32°，
故选：C．

点评本题考查了平行四边形的性质：对边平行以及等腰三角形的性质，属于基础性题目，比较简单．

已知一个平行四边形两邻边的长分别为10和6，那么它的周长为(　　)

A. 16
B. 60
C. 32
D. 30

分析根据平行四边形的对边相等的性质即可求出答案．

解答解：周长=2(10+6)=32．
故选C．

点评本题考查了平行四边形的性质，属于基础题，关键是掌握平行四边形对边相等的性质．

如图，▱ABCD中，下列说法一定正确的是（　　）

A. AC=BD
B. AC⊥BD
C. AB=CD
D. AB=BC

分析根据平行四边形的性质分别判断各选项即可．

解答A、AC≠BD，故A选项错误；
B、AC不垂直于BD，故B选项错误；
C、AB=CD，利用平行四边形的对边相等，故C选项正确；
D、AB≠BC，故D选项错误；
故选：C．

点评此题主要考查了平行四边形的性质，正确把握其性质是解题关键．

已知▱ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠B的度数是(　　)

A. 100°
B. 160°
C. 80°
D. 60°

分析由四边形ABCD是平行四边形，可得∠A=∠C，AD∥BC，又由∠A+∠C=200°，即可求得∠A的度数，继而求得答案．

解答解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C，AD∥BC，
∵∠A+∠C=200°，
∴∠A=100°，
∴∠B=180°-∠A=80°．
故选C．

点评此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形的对角相等、邻角互补的知识．

如图，已知在平行四边形ABCD中，AD=3cm，AB=2cm，则▱ABCD的周长等于（　　）

A. 10cm
B. 6cm
C. 5cm
D. 4cm

分析利用平行四边形的对边相等的性质，可知四边长，可求周长．

解答∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC=3，AB=CD=2，
∴▱ABCD的周长=2×（AD+AB）=2×（3+2）=10cm．
故选A．

点评本题考查了平行四边形的基本性质，平行四边形的对边相等．

如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（　　）

A. ∠1=∠2
B. ∠BAD=∠BCD
C. AB=CD
D. AC⊥BD

分析根据平行四边形的性质，平行四边形对边平行以及对边相等和对角相等分别判断得出即可．

解答∵在平行四边形ABCD中，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠2，故此选项正确，不合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD，AB=CD，故B，C选项正确，不合题意；
无法得出AC⊥BD，故此选项错误，符合题意．
故选D．

点评此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握相关的性质是解题关键．

如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD=6，BE=2，则平行四边形ABCD的周长是．

分析根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE=CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出▱ABCD的周长．

解答∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD，
∵在▱ABCD中，AD=6，BE=2，
∴AD=BC=6，
∴CE=BC-BE=6-2=4，
∴CD=AB=4，
∴▱ABCD的周长=6+6+4+4=20．
故答案为：20．

点评本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，是基础题，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键．

如图，在▱ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为（　　）

A. 4
B. 3
C.
5
2
D. 2

分析根据平行四边形性质得出AB=DC，AD∥BC，推出∠DEC=∠BCE，求出∠DEC=∠DCE，推出DE=DC=AB，得出AD=2DE即可．

解答∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=DC=AB，
∵AD=2AB=2CD，CD=DE，
∴AD=2DE，
∴AE=DE=3，
∴DC=AB=DE=3，
故选B．

点评本题考查了平行四边形性质，平行线性质，角平分线定义，等腰三角形的性质和判定的应用，关键是求出DE=AE=DC．

平行四边形的性质（二）介绍：

1. 平行四边形对角线的性质及其应用:平行四边形的对角线互相平分。

已知：如图19-17，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，求BD的长．

解答解 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=5．
∵AB⊥AC，
∴△ABC是直角三角形．
∴AC=

√BC²-AB²

√5²-3²

=4，
AO=

AC=2．
∴BO=

√AB²+AO²

√3²+2²

√13

．
∴BD=2BO=2

√13

．

如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是(　　)

A. 8
B. 9
C. 10
D. 11

分析利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长．

解答解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO=DO，AO=CO，
∵AB⊥AC，AB=4，AC=6，
∴BO=

√3²+4²

=5，
∴BD=2BO=10，
故选：C．

点评本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单．

已知平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线α的取值范围为(　　)

A. 4＜α＜16
B. 14＜α＜26
C. 12＜α＜20
D. 以上答案都不正确

分析因为平行四边形的对角线互相平分，根据三角形三边之间的关系，可先求得另一对角线的一半的取值为大于7而小于13，则它的另一条对角线α的取值范围为14＜α＜26．

解答

解：如图，已知平行四边形中，AB=10，AC=6，求BD的取值范围，即a的取值范围．
∵平行四边形ABCD对角线互相平分，
∴a=2OB，AC=2OA=6，
∴OB=

α，OA=3，
∴在△AOB中：AB-OA＜OB＜AB+OA，
即：7＜OB＜13，
∴14＜α＜26，
故选B．

点评此题主要考查平行四边形的性质和三角形三边之间的关系．

如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=5，△OCD的周长为23，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是(　　)

A. 18
B. 28
C. 36
D. 46

分析由平行四边形的性质和已知条件计算即可，解题注意求平行四边形ABCD的两条对角线的和时要把两条对角线看作一个整体．

解答∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5，
∵△OCD的周长为23，
∴OD+OC=23-5=18，
∵BD=2OD，AC=2OC，
∴平行四边形ABCD的两条对角线的和=BD+AC=2(OD+OC)=36，
故选C．

点评本题主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形的基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．

在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于O，AC=10，BD=8，则AD的长度的取值范围是(　　)

A. AD＞1
B. 1＜AD＜9
C. AD＜9
D. AD＞9

分析根据平行四边形性质可知，平行四边形的对角线互相平分，则AO，DO，与AD三边组成三角形，然后再利用三角形三边关系解题即可．

解答

解：因为平行四边形对角线平分，
则有AO=CO=5，BO=DO=4，
再根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
有1＜AD＜9．
故选B．

点评本题结合三角形的三边关系，考查了平行四边形的对角线互相平分这一性质，解题时注意数形结合．

如图，在周长为20的平行四边形ABCD中，AB＜AD，AC与BD交于点O，OE⊥BD，交AD于点E，则△ABE的周长为．

分析根据平行四边形的性质求出AB+AD=10，根据线段的垂直平分线求出DE=BE，求出△ABE的周长等于AB+AD，代入求出即可．

解答∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC，AB=CD，OB=OD，
∵OE⊥BD，
∴BE=DE，
∵平行四边形ABCD的周长是20，
∴2AB+2AD=20，
∴AB+AD=10，
∴△ABE的周长是AB+AE+BE=AB+AE+DE=AB+AD=10，
故答案为10．

点评本题考查了线段垂直平分线性质和平行四边形的性质的应用，关键是求出AD+AB的长和求出△ABE的周长=AB+AD，题目具有一定的代表性，难度也不大，是一道比较好的题目．

如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为．

分析由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分、对边相等，即可得OB=OD，AB=CD，AD=BC，又由OE⊥BD，即可得OE是BD的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质，即可得BE=DE，又由△CDE的周长为10，即可求得平行四边形ABCD的周长．

解答∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，
∵OE⊥BD，
∴BE=DE，
∵△CDE的周长为10，
即CD+DE+EC=10，
∴平行四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=2（BC+CD）=2（BE+EC+CD）=2（DE+EC+CD）=2×10=20．
故答案为：20．

点评此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．

平行且相等介绍：

1. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形．

分析根据“▱ABCD的对边平行且相等”的性质推知AD=BC且AD∥BC；然后由图形中相关线段间的和差关系求得AF=CE，则四边形AECF的对边AF∥CE，故四边形AECF是平行四边形．

解答证明：在▱ABCD中，AD=BC且AD∥BC
∵BE=FD，∴AF=CE
∴四边形AECF是平行四边形

点评本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．

如图，点E、F分别为▱ABCD边AD与BC上的一点，要使四边形BFDE为平行四边形，可以添加的条件为（　　）

A. AB=CD
B. DE=BF
C. DE∥BF
D. BE=FD

分析根据平行四边形的判定定理：一条对边平行且相等的四边形是平行四边形，已知中可得到ED∥BF，所以可添加ED=BF．

解答解；DE=BF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴ED∥BF，
∵ED=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形．

点评此题主要考查了平行四边形的判定与性质，关键是同学们熟练掌握判定方法．

如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的点，∠1=∠2．
(1)求证：BE=DF；
(2)求证：AF∥CE．

分析(1)利用平行四边形的性质得出∠5=∠3，∠AEB=∠4，进而利用全等三角形的判定得出即可；
(2)利用全等三角形的性质得出AE=CF，进而得出四边形AECF是平行四边形，即可得出答案．

解答详见答案

点评此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△ABE≌△CDF是解题关键．

如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1=∠2．
（1）求证：AE=CF；
（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．

分析（1）通过全等三角形△ADE≌△CBF的对应边相等证得AE=CF；
（2）根据平行四边形的判定定理：对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论．

解答

（1）证明：如图：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠3=∠4，
∵∠1=∠3+∠5，∠2=∠4+∠6，∴∠1=∠2
∴∠5=∠6
∵在△ADE与△CBF中，

{	∠3=∠4 AD=BC ∠5=∠6

∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE=CF；

（2））证明：∵∠1=∠2，
∴DE∥BF．
又∵由（1）知△ADE≌△CBF，
∴DE=BF，
∴四边形EBFD是平行四边形．

点评本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．

已知，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF，BE=DF，BE∥DF．求证：四边形ABCD是平行四边形．

分析因为AE=CF，DF=BE，DF∥BE，所以可根据SAS判定△ADF≌△CBE，即有AD=BC，AD∥BC，故可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定．

解答

证明：∵DF∥BE
∴∠DFA=∠BEC
∵CF=AE，EF=EF
∴AF=CE
在△ADF和△CBE中，
∵

{	DF=BE ∠DFE=∠BEF AF=EC

∴△ADF≌△CBE（SAS）
∴AD=BC
∴∠DAC=∠BCA
∴AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形．

点评此题主要考查平行四边形的判定以及全等三角形的判定．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．

已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，BO=DO．
求证：四边形ABCD是平行四边形．

分析先根据AB∥CD可知∠ABO=∠CDO，再由BO=DO，∠AOB=∠DOC即可得出△ABO≌△CDO，故可得出AB=CD，进而可得出结论．

解答证明：∵AB∥CD，
∴∠ABO=∠CDO，
在△ABO与△CDO中，
∵

{	∠ABO=∠CDO BO=DO ∠AOB=∠DOC

，
∴△ABO≌△CDO（ASA），
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．

点评本题考查的是平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质，熟知平行四边形的判定定理是解答此题的关键．

性质反过来就是判定介绍：

1. 判定1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2. 判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
4. 对角线互相平分的四边形是平行四边形。

已知：如图19-22，点E，F是▱ABCD的对角线AC上两点，且AE=CF．求证：四边形BEDF是平行四边形．

解答证明连接BD交AC于点O．
因为四边形ABCD是平行四边形，所以
AO=CO，BO=DO．
∵AE=CF，
∴OE=AO-AE=CO-CF=OF．
所以四边形BEDF是平行四边形．

已知，直线l₁，l₂，l₃互相平行（图19-23），直线AC和直线A₁C₁分别交直线l₁，l₂，l₃于点A，B ， C和点A₁，B₁，C₁，且AB=BC．
求证：A₁B₁= B₁C₁．

解答证明过点B₁作EF∥AC，分别交直线l₁，l₃于点E，F．
∴四边形ABB₁E，BCFB₁都是平行四边形．
∴EB₁=AB，B₁F=BC．
∵AB=BC，
∴EB₁=B₁F．
又∵∠A₁EB₁=∠B₁FC₁，∠A₁B₁E=∠C₁B₁F，
∴△A₁B₁E≌△C₁B₁F．
∴A₁B₁=B₁C₁．

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE=DC，∠C=80°，则∠A等于(　　)

A. 80°
B. 90°
C. 100°
D. 110°

分析根据等边对等角可得∠DEC=80°，再根据平行线的性质可得∠B=∠DEC=80°，∠A=180°-80°=100°．

解答∵DE=DC，∠C=80°，
∴∠DEC=80°，
∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEC=80°，
∵AD∥BC，
∴∠A=180°-80°=100°，
故选：C．

点评此题主要考查了等腰三角形的性质，以及平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等，同旁内角互补．

如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC于点E，且EC=3，则梯形ABCD的周长是（　　）

A. 26
B. 25
C. 21
D. 20

分析由BC∥AD，DE∥AB，即可得四边形ABED是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，即可求得BE的长，继而求得BC的长，由等腰梯形ABCD，可求得AB的长，继而求得梯形ABCD的周长．

解答∵BC∥AD，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE=AD=5，
∵EC=3，
∴BC=BE+EC=8，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC=4，
∴梯形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=4+8+4+5=21．
故选C．

点评此题考查了等腰梯形的性质与平行四边形的判定与性质．此题比较简单，注意判定出四边形ABED是平行四边形是解此题的关键，同时注意数形结合思想的应用．

如图，已知AB=DC，AD=BC，E，F是DB上两点且AE∥CF，若∠AEB=115°，∠ADB=35°，则∠BCF=（　　）

A. 150°
B. 40°
C. 80°
D. 90°

分析可证明△BCF≌△DAE，则∠BCF=∠DAE，根据三角形外角的性质可得出∠DAE的度数，从而得出∠BCF的度数．

解答解：∵AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CBF=∠ADE，
∵AE∥CF，
∴∠CFB=∠AED，
∴△BCF≌△DAE，
∴∠BCF=∠DAE，
∵∠AEB=115°，∠ADB=35°，
∴∠AEB=∠DAE+∠ADB，
∴∠DAE=∠AEB-∠ADB=115°-35°=80°，
故选C．

点评本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，外角的性质．

如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．
求证：四边形EFGH是平行四边形．

分析易证得△AEH≌△CGF，从而证得对应边BE=DG、DH=BF．故有△BEF≌△DGH，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形而得证．

解答证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C（平行四边形的对边相等）；
又∵AE=CG，AH=CF（已知），
∴△AEH≌△CGF（SAS），
∴EH=GF（全等三角形的对应边相等）；
在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC（平行四边形的对边相等），
∴AB-AE=CD-CG，AD-AH=BC-CF，
即BE=DG，DH=BF．
又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，
∴△BEF≌△DGH；
∴GH=EF（全等三角形的对应边相等）；
∴四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．

点评本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．

如图在四边形ABCD中，已知AB=CD，AD=BC，AC，BD相交于O，若AC=6，则AO的长度等于．

分析根据在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，求证四边形ABCD是平行四边形，然后即可求解．

解答解：∵在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=6，
∴AO=

AC=

×6=3．
故答案为：3．

点评此题主要考查学生对平行四边形的判定与性质的理解和掌握，难度不大，属于基础题．

已知：如图，把△ABC绕边BC的中点O旋转180°得到△DCB．
求证：四边形ABDC是平行四边形．

分析平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的条件为△DCB是由△ABC旋转180°所得，根据条件在图形中的位置，可选择利用“对角线相互平分的四边形为平行四边形”来解决．

解答证明：∵△DCB是由△ABC旋转180°所得
∴点A、D，B、C关于点O中心对称，
∴OB=OC，OA=OD，（6分）
∴四边形ABCD是平行四边形．
（注：还可以利用旋转变换得到AB=CD，AC=BD相等；或证明△ABC≌△DCB证ABCD是平行四边形．）

点评平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．

判定方法辨析介绍：

1. 平行四边形的判定辨析类问题。

如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）

A. AB∥CD，AD∥BC
B. OA=OC，OB=OD
C. AD=BC，AB∥CD
D. AB=CD，AD=BC

分析根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．

解答A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
故选：C．

点评此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．

四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：
①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD
从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（　　）

A. 3种
B. 4种
C. 5种
D. 6种

分析根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可．

解答①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
∴有4种可能使四边形ABCD为平行四边形．
故选：B．

点评此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．

三角形中位线的性质介绍：

1. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

已知：如图19-24，点D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点．
求证：DE∥BC，且DE=

BC．

解答证明过点D作DE'∥BC，DE'交AC于点E'．
根据例6得到的结论，点E'应与点E重合．
∴DE∥BC．
同理，过点D作DF∥AC，DF交BC于点F，则点F为BC的中点．
∴四边形DFCE为平行四边形．
∴DE=FC=

BC．

在▱ABCD中，已知∠A=60°，求∠B，∠C，∠D的度数．

▱ABCD中，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm ，若对角线AC与BD的交点为点O，求△OBC的周长．

已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D．试判断四边形ABCD是否是平行四边形，并说明理由．

在▱ABCD中，已知AB=a，BC=b，求这个平行四边形的周长．

▱ABCD中，对角线AC与BD互相垂直，那么，这个四边形的邻边有什么关系，为什么？

画▱ABCD，使AB=2cm，BC=3cm，AC=4crn．

在▱ABCD中，BC=2AB，点E为边BC的中点．求证：AE⊥ED．

已知三角形各边长分别为6 cm，9 cm，10 cm，求连接各边中点所组成三角形的周长．

证明平行四边形判定定理2，3．

如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD=50cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为（　　）

A. 25cm
B. 50cm
C. 75cm
D. 100cm

分析判断出OD是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AC=2OD．

解答∵O是AB的中点，OD垂直于地面，AC垂直于地面，
∴OD是△ABC的中位线，
∴AC=2OD=2×50=100cm．
故选：D．

点评本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．

如图，平行四边形ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为．

分析根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB=OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得OE=

BC，所以易求△DOE的周长．

解答

解：∵▱ABCD的周长为36，
∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，
∴OD=OB=

BD=6．
又∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DE=

CD，
∴OE=

BC，
∴△DOE的周长=OD+OE+DE=

BD+

（BC+CD）=6+9=15，即△DOE的周长为15．
故答案是：15．

点评本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质．解题时，利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质．

如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为(　　)

A. 50°
B. 60°
C. 70°
D. 80°

分析在△ADE中利用内角和定理求出∠AED，然后判断DE∥BC，利用平行线的性质可得出∠C．

解答由题意得，∠AED=180°-∠A-∠ADE=70°，
∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠C=∠AED=70°．
故选C．

点评本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握三角形中位线定理的内容：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，则DE= ．

分析由D、E分别是AB、AC的中点可知，DE是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理可求出DE．

解答

解：∵D、E是AB、AC中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴ED=

BC=3．
故答案为3．

点评本题用到的知识点为：三角形的中位线等于三角形第三边的一半．

如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为18，则△DEO的周长是．

分析根据平行四边形的性质得出DE=

AD=

BC，DO=

BD，AO=CO，求出OE=

CD，求出△DEO的周长是DE+OE+DO=

（BC+DC+BD），代入求出即可．

解答∵E为AD中点，四边形ABCD是平行四边形，
∴DE=

AD=

BC，DO=

BD，AO=CO，
∴OE=

CD，
∵△BCD的周长为18，
∴BD+DC+BC=18，
∴△DEO的周长是DE+OE+DO=

（BC+DC+BD）=

×18=9，
故答案为：9．

点评本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出DE=

BC，DO=

BD，OE=

DC．

如图，C、D分别为EA、EB的中点，∠E=30°，∠1=110°，则∠2的度数为(　　)

A. 80°
B. 90°
C. 100°
D. 110°

分析根据三角形中位线性质和平行线的性质以及三角形外角性质解答即可．

解答∵C、D分别为EA、EB的中点，
∴CD是三角形EAB的中位线，
∴CD∥AB，
∴∠2=∠ECD，
∵∠1=110°，∠E=30°，
∴∠ECD=80°，
∴∠2=80°．
故选A．

点评本题考查了三角形中位线性质定理和平行线的性质以及三角形外角性质，解题的关键是熟记各种定理的内容．

········ THE END ········

平行四边形

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平行四边形的性质（一）

已知：如图19-12，▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．
（1）如果AE=2，求CD的长；
（2）如果∠AEB=40°，求∠C的度数．

已知：如图19-14，▱ABCD中，AB=4，AD=5，∠B=45°．求直线AD和直线BC之间的距离，直线AB和直线DC之间的距离．

已知：如图19-15，过△ABC的三个顶点，分别作对边的平行线，这三条直线两两相交，得△A'B'C'．求证：△ABC的顶点分别是△A'B'C'三边的中点．

如图，a∥b，点A在直线a上，点B、C在直线b上，AC⊥b，如果AB=5cm，AC=4cm，那么平行线a、b之间的距离为（　　）

A. 5cm
B. 4cm
C. 3cm
D. 不能确定

如图是一个矩形，则图中表示AD与BC之间的距离的线段有（　　）

A. 1条
B. 2条
C. 3条
D. 4条

如图，▱ABCD中，BC=BD，∠C=74°，则∠ADB的度数是(　　)

A. 16°
B. 22°
C. 32°
D. 68°

已知一个平行四边形两邻边的长分别为10和6，那么它的周长为(　　)

A. 16
B. 60
C. 32
D. 30

如图，▱ABCD中，下列说法一定正确的是（　　）

A. AC=BD
B. AC⊥BD
C. AB=CD
D. AB=BC

已知▱ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠B的度数是(　　)

A. 100°
B. 160°
C. 80°
D. 60°

如图，已知在平行四边形ABCD中，AD=3cm，AB=2cm，则▱ABCD的周长等于（　　）

A. 10cm
B. 6cm
C. 5cm
D. 4cm

如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（　　）

A. ∠1=∠2
B. ∠BAD=∠BCD
C. AB=CD
D. AC⊥BD

如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD=6，BE=2，则平行四边形ABCD的周长是．

如图，在▱ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为（　　）

A. 4
B. 3
C.
5
2
D. 2

平行四边形的性质（二）

已知：如图19-17，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，求BD的长．

如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是(　　)

A. 8
B. 9
C. 10
D. 11

已知平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线α的取值范围为(　　)

A. 4＜α＜16
B. 14＜α＜26
C. 12＜α＜20
D. 以上答案都不正确

如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=5，△OCD的周长为23，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是(　　)

A. 18
B. 28
C. 36
D. 46

在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于O，AC=10，BD=8，则AD的长度的取值范围是(　　)

A. AD＞1
B. 1＜AD＜9
C. AD＜9
D. AD＞9

如图，在周长为20的平行四边形ABCD中，AB＜AD，AC与BD交于点O，OE⊥BD，交AD于点E，则△ABE的周长为．

如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为．

平行且相等

如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形．

如图，点E、F分别为▱ABCD边AD与BC上的一点，要使四边形BFDE为平行四边形，可以添加的条件为（　　）

A. AB=CD
B. DE=BF
C. DE∥BF
D. BE=FD

如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的点，∠1=∠2．
(1)求证：BE=DF；
(2)求证：AF∥CE．

如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1=∠2．
（1）求证：AE=CF；
（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．

已知，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF，BE=DF，BE∥DF．求证：四边形ABCD是平行四边形．

已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，BO=DO．
求证：四边形ABCD是平行四边形．

性质反过来就是判定

已知：如图19-22，点E，F是▱ABCD的对角线AC上两点，且AE=CF．求证：四边形BEDF是平行四边形．

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE=DC，∠C=80°，则∠A等于(　　)

A. 80°
B. 90°
C. 100°
D. 110°

如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC于点E，且EC=3，则梯形ABCD的周长是（　　）

A. 26
B. 25
C. 21
D. 20

如图，已知AB=DC，AD=BC，E，F是DB上两点且AE∥CF，若∠AEB=115°，∠ADB=35°，则∠BCF=（　　）

A. 150°
B. 40°
C. 80°
D. 90°

如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．
求证：四边形EFGH是平行四边形．

如图在四边形ABCD中，已知AB=CD，AD=BC，AC，BD相交于O，若AC=6，则AO的长度等于．

已知：如图，把△ABC绕边BC的中点O旋转180°得到△DCB．
求证：四边形ABDC是平行四边形．

判定方法辨析

如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）

A. AB∥CD，AD∥BC
B. OA=OC，OB=OD
C. AD=BC，AB∥CD
D. AB=CD，AD=BC

A. 3种
B. 4种
C. 5种
D. 6种

三角形中位线的性质

已知：如图19-24，点D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点．
求证：DE∥BC，且DE=

BC．

在▱ABCD中，已知∠A=60°，求∠B，∠C，∠D的度数．

▱ABCD中，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm ，若对角线AC与BD的交点为点O，求△OBC的周长．

已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D．试判断四边形ABCD是否是平行四边形，并说明理由．

在▱ABCD中，已知AB=a，BC=b，求这个平行四边形的周长．

▱ABCD中，对角线AC与BD互相垂直，那么，这个四边形的邻边有什么关系，为什么？

画▱ABCD，使AB=2cm，BC=3cm，AC=4crn．

在▱ABCD中，BC=2AB，点E为边BC的中点．求证：AE⊥ED．

已知三角形各边长分别为6 cm，9 cm，10 cm，求连接各边中点所组成三角形的周长．

证明平行四边形判定定理2，3．

如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD=50cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为（　　）

A. 25cm
B. 50cm
C. 75cm
D. 100cm

如图，平行四边形ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为．

如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为(　　)

A. 50°
B. 60°
C. 70°
D. 80°

如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，则DE= ．

如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为18，则△DEO的周长是．

如图，C、D分别为EA、EB的中点，∠E=30°，∠1=110°，则∠2的度数为(　　)

A. 80°
B. 90°
C. 100°
D. 110°

········ THE END ········

平行四边形

矩形、菱形、正方形、综合与实践

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