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圆周角

圆周角介绍：

1. 圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角；
2. 同弧所对圆周角等于圆心角的一半。

如图，点A、B、C都在圆O上，如果∠AOB+∠ACB=84°，那么∠ACB的大小是 °．

分析根据圆周角定理即可推出∠AOB=2∠ACB，再代入∠AOB+∠ACB=84°通过计算即可得出结果．

解答∵∠AOB=2∠ACB，∠AOB+∠ACB=84°
∴3∠ACB=84°
∴∠ACB=28°．
故答案为：28°．

点评此题主要考查圆周角定理，关键在于找出两个角之间的关系，利用代换的方法结论．

如图，在⊙O中，半径OA垂直弦于点D．若∠ACB=33°，则∠OBC的大小为度．

分析☆先根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=66°，然后根据互余计算∠OBC的大小．

解答解：∵OA⊥BC，
∴∠ODB=90°，
∵∠ACB=33°，
∴∠AOB=2∠ACB=66°，
∴∠OBC=90°-∠AOB=24°．

点评本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．

如图，已知A，B，C在⊙O上，⌒ACB为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（　　）

A. 2∠C
B. 4∠B
C. 4∠A
D. ∠B+∠C

分析根据圆周角定理，可得∠AOB=2∠C．

解答如图，由圆周角定理可得：∠AOB=2∠C．
故选：A．

点评此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，如果∠AOC=100°，那么∠B= 度．

分析直接根据圆周角定理求解．

解答∠B=

∠AOC=

×100°=50°．
故答案为：50．

点评本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

如图，已知A、B、C三点在⊙O上，AC⊥BO于D，∠B=55°，则∠BOC的度数是 °．

分析□根据垂直的定义得到∠ADB=90°，再利用互余的定义计算出∠A=90°-∠B=35°，然后根据圆周角定理求解．

解答∵AC⊥BO，
∴∠ADB=90°，
∴∠A=90°-∠B=90°-55°=35°，
∴∠BOC=2∠A=70°．
故答案为：70°．

点评本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于（　　）

A. 60°
B. 70°
C. 120°
D. 140°

分析过A、O作⊙O的直径AD，分别在等腰△OAB、等腰△OAC中，根据三角形外角的性质求出θ=2α+2β．

解答解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D；

在△OAB中，OA=OB，
则∠BOD=∠OBA+∠OAB=2×32°=64°，
同理可得：∠COD=∠OCA+∠OAC=2×38°=76°，
故∠BOC=∠BOD+∠COD=140°．
故选D

点评本题考查了圆周角定理，涉及了等腰三角形的性质及三角形的外角性质，解答本题的关键是求出∠COD及∠BOD的度数．

如图，点A、B、C均在⊙O上，∠C=50°，则∠OAB= 度．

分析□由∠C=50°求出∠AOB的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，即可求得答案．

解答∵∠C=50°，
∴∠AOB=2∠C=100°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=

180°-100°

=40°．
故答案为：40．

点评此题考查了圆周角定理，用到的知识点是圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，注意数形结合思想的应用．

如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，则∠OBC的度数为（　　）

A. 40°
B. 50°
C. 80°
D. 100°

分析连接OC，利用圆周角定理即可求得∠BOC的度数，然后利用等腰三角形的性质即可求得．

解答

解：连接OC．
则∠BOC=2∠A=100°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=

180-100

=40°．
故选A．

点评本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质定理，正确理解定理是关键．

如图，△ABC内接于⊙O，∠OAB=20°，则∠C的度数为 °．

分析□由△ABC内接于⊙O，∠OAB=20°，根据等腰三角形的性质，即可求得∠OBA的度数，∠AOB的度数，又由圆周角定理，求得∠ACB的度数．

解答∵∠OAB=20°，OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=20°，
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=140°，
∴∠ACB=

∠AOB=70°．
故答案为70°．

点评本题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A=50°，则∠OCD的度数是（　　）

A. 40°
B. 45°
C. 50°
D. 60°

分析首先连接OB，由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BOC的度数，又由OB=OC，根据等边对等角的性质，即可求得∠OCD的度数．

解答

解：连接OB，
∵∠A=50°，
∴∠BOC=2∠A=100°，
∵OB=OC，
∴∠OCD=∠OBC=

180°-∠BOC

=40°．
故选A．

点评此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，CD⊥AB．若∠DAB=65°，则∠BOC=（　　）

A. 25°
B. 50°
C. 130°
D. 155°

分析由CD⊥AB．若∠DAB=65°，可求得∠D的度数，又由圆周角定理，即可求得∠AOC的度数，继而求得答案．

解答∵CD⊥AB．∠DAB=65°，
∴∠ADC=90°-∠DAB=25°，
∴∠AOC=2∠ADC=50°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=130°．
故选：C．

点评此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为(　　)

A. 40°
B. 45°
C. 50°
D. 55°

分析连接OC，由AO∥DC，得出∠ODC=∠AOD=70°，再由OD=OC，得出∠ODC=∠OCD=70°，求得∠COD=40°，进一步得出∠AOC，进一步利用圆周角定理得出∠B的度数即可．

解答如图，

连接OC，
∵AO∥DC，
∴∠ODC=∠AOD=70°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD=70°，
∴∠COD=40°，
∴∠AOC=110°，
∴∠B=

∠AOC=55°．
故选：D．

点评此题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，圆周角定理，正确作出辅助线是解决问题的关键．

如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB等于（　　）

A. 30°
B. 45°
C. 55°
D. 60°

分析连接OA，OB．根据正方形的性质，得∠AOB=90°再根据圆周角定理，即可求解．

解答

解：连接OA，OB．根据正方形的性质，得∠AOB=90°．再根据圆周角定理，得∠APB=45°．
故选B．

点评此题综合运用了正方形的性质以及圆周角定理．

如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，则∠D=（　　）

A. 25°
B. 35°
C. 55°
D. 70°

分析由AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，可求得∠BOC的度数，又由圆周角定理，可求得∠D的度数．

解答解：∵AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=70°，
∴∠D=

∠BOC=35°．
故选B．

点评此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=（　　）

A. 20°
B. 40°
C. 50°
D. 80°

分析先根据弦AB∥CD得出∠ABC=∠BCD，再根据∠ABC=40°即可得出∠BOD的度数．

解答∵弦AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD，
∴∠BOD=2∠ABC=2×40°=80°．
故选D．

点评本题考查的是圆周角定理及平行线的性质，根据题意得到∠ABC=∠BCD，是解答此题的关键．

如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧⌒AB上不同于点B的任意一点，则∠BPC= 度．

分析连接OB、OC，根据正方形的性质可得出∠BOC=90°，再根据圆周角定理即可求得∠BPC=45°．

解答解：连接OB、OC，则∠BOC=90°；
由圆周角定理可得：∠BPC=

∠BOC=45°．

点评本题主要考查了正多边形和圆的关系，以及圆周角定理的应用．

等弧对等角介绍：

1. 同弧或等弧所对圆周角相等；
2. 圆周角的度数等于相应弧的度数的一半。

如图24-38，AB为⊙0的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD =60°，∠ADC =70°，求∠APC的度数．

分析∠APC等于圆周角∠BAD与∠ADC之和．

解答解连接BC，则∠ACB =90°，
∠DCB=∠ACB-∠ACD=90°-60°=30°．
又∵∠BAD=∠DCB=30°，
∴∠APC=∠BAD+∠ADC =30°+70°= 100°．

如图，点A、B、C、D都在⊙O上，AC、BD相交于点E，则∠ABD=（　　）

A. ∠ACD
B. ∠ADB
C. ∠AED
D. ∠ACB

分析△根据圆周角定理即可判断A、B、D，根据三角形外角性质即可判断C．

解答解：A、∵∠ABD对的弧是弧AD，∠ACD对的弧也是AD，
∴∠ABD=∠ACD，故A选项正确；
B、∵∠ABD对的弧是弧AD，∠ADB对的弧也是AB，而已知没有说⌒AD=⌒AB，

∴∠ABD和∠ACD不相等，故B选项错误；
C、∠AED＞∠ABD，故C选项错误；
D、∵∠ABD对的弧是弧AD，∠ACB对的弧也是AB，而已知没有说⌒AD=⌒AB，
∴∠ABD和∠ACB不相等，故D选项错误；
故选：A．

点评本题考查了圆周角定理和三角形外角性质的应用，注意：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．

如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠CAB=65°，P是⊙O上的一点，则∠CPB等于（　　）

A. 35°
B. 45°
C. 65°
D. 85°

分析△根据圆周角定理（同弧所对在圆周角相等）进行解答．

解答如图，∵⊙O是△ABC的外接圆，P是⊙O上的一点，
∴∠CPB=∠CAB．
∵∠CAB=65°，
∴∠CPB=65°．
故选C．

点评本题考查了圆周角定理．注意：圆周角必须满足两个条件：①定点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．

如图所示，已知△ACD和△ABE都内接于同一个圆，则∠ADC+∠AEB+∠BAC=（　　）

A. 90°
B. 180°
C. 270°
D. 360°

分析根据∠ADC，∠AEB，∠BAC所对圆弧正好是一个圆周，利用圆周角定理得出∠ADC+∠AEB+∠BAC的度数即可．

解答∵∠ADC，∠AEB，∠BAC所对圆弧正好是一个圆周，
∴∠ADC+∠AEB+∠BAC=180°．
故选：B．

点评此题主要考查了圆周角定理，根据∠ADC，∠AEB，∠BAC所对圆弧正好是一个圆周得出答案是解题关键．

如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠ACE+∠BDE=（　　）

A. 60°
B. 75°
C. 90°
D. 120°

分析连接AD，由圆周角定理可得，∠ADE=∠ACE，再根据直径所对的圆周角是直角即可解答．

解答

解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ADE与∠ACE是同弧所对的圆周角，
∴∠ADE=∠ACE，
∴∠ACE+∠BDE=∠ADB=90°．
故选C．

点评此题比较简单，考查的是圆周角定理，只要连接AD便可直接解答．

如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（　　）

A. 160°
B. 150°
C. 140°
D. 120°

分析△利用垂径定理得出CB=BD，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的性质得出答案．

解答解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，
∴CB=BD，
∵∠CAB=20°，
∴∠BOD=40°，
∴∠AOD=140°．
故选：C．

点评此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出∠BOD的度数是解题关键．

如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=26°，则∠BOC= 度．

分析由OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，根据垂径定理的即可求得：⌒AC=⌒BC，又由圆周角定理，即可求得答案．

解答解：∵OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，
∴⌒AC=⌒BC，
∴∠BOC=2∠APC=2×26°=52°．
故答案为：52．

点评此题考查了垂径定理与圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（　　）

A. AD=AB
B. ∠BOC=2∠D
C. ∠D+∠BOC=90°
D. ∠D=∠B

分析△根据垂径定理得出弧AD=弧BD，弧AC=弧BC，根据以上结论判断即可．

解答A、根据垂径定理不能推出AD=AB，故本选项错误；
B、∵直径CD⊥弦AB，
∴弧BC=弧AC，
∵弧AC对的圆周角是∠ADC，弧BC对的圆心角是∠BOC，
∴∠BOC=2∠ADC，故本选项正确；
C、根据已知推出∠BOC=2∠ADC，不能推出3∠ADC=90°，故本选项错误；
D、根据已知不能推出∠DAB=∠BOC，不能推出∠D=∠B，故本选项错误；
故选B．

点评本题考查了垂径定理的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力．

如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC=56°，则∠ADB= 度．

分析根据垂径定理可得点B是⌒AC中点，由圆周角定理可得∠ADB=

∠BOC，继而得出答案．

解答解：∵OB⊥AC，
∴⌒AB=⌒BC，
∴∠ADB=

∠BOC=28°．
故答案为：28．

点评此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．

直径对直角介绍：

1. 直径所对圆周角是直角，在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握；
2. 直角所对的弦是直径。

如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BOD=130°，AC∥OD交⊙O于点C，连接BC，则∠B= 度．

分析△先求出∠AOD，利用平行线的性质得出∠A，再由圆周角定理求出∠B的度数即可．

解答∵∠BOD=130°，
∴∠AOD=50°，
又∵AC∥OD，
∴∠A=∠AOD=50°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∴∠B=90°-50°=40°．
故答案为：40．

点评本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理的内容是解题关键．

如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC=54°，则∠BAC的度数等于 °．

分析△由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠B的度数，又由直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB=90°，继而求得答案．

解答解：∵∠ABC与∠ADC是⌒AC所对的圆周角，
∴∠ABC=∠ADC=54°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°-∠ABC=90°-54°=36°．
故答案为：36°．

点评此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等与直径所对的圆周角是直角定理的应用．

如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（　　）

A. 36°
B. 46°
C. 27°
D. 63°

分析根据BE是直径可得∠BAE=90°，然后在▱ABCD中∠ADC=54°，可得∠B=54°，继而可求得∠AEB的度数．

解答∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=54°，
∴∠B=∠ADC=54°，
∵BE为⊙O的直径，
∴∠BAE=90°，
∴∠AEB=90°-∠B=90°-54°=36°．
故选A．

点评本题考查了圆周角定理及平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行四边形的性质得出∠B=∠ADC．

如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC=68°，则∠BAC= °．

分析☆由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠B的度数，又由直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB=90°，继而求得答案．

解答解：∵∠ABC与∠ADC是⌒AC对的圆周角，
∴∠ABC=∠ADC=68°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°-∠ABC=90°-68°=22°．
故答案为：22．

如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应54°，则∠BCD的度数为（　　）

A. 27°
B. 54°
C. 63°
D. 36°

分析□先根据圆周角定理得到∠ACD=

∠AOD=27°，然后利用互余求解．

解答解：∵一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，
∴点A、B、C、D都在以AB为直径的圆上，
∵点D对应54°，即∠AOD=54°，
∴∠ACD=

AOD=27°，
∴∠BCD=90°-∠ACD=63°．
故选C．

点评本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了圆周角定理．

如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发绕点C沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是（　　）

A. 48度
B. 64度
C. 96度
D. 132度

分析□首先连接OE，由∠ACB=90°，易得点E，A，B，C共圆，然后由圆周角定理，求得点E在量角器上对应的读数．

解答

解：连接OE，
∵∠ACB=90°，
∴A，B，C在以点O为圆心，AB为直径的圆上，
∴点E，A，B，C共圆，
∵∠ACE=2×24=48°，
∴∠AOE=2∠ACE=96°．
∴点E在量角器上对应的读数是：96°．
故选C．

点评此题考查了圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

如图，AB是半圆的直径，点D是⌒AC的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（　　）

A. 55°
B. 60°
C. 65°
D. 70°

分析连结BD，由于点D是AC弧的中点，即弧CD=弧AD，根据圆周角定理得∠ABD=∠CBD，则∠ABD=25°，再根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，然后利用三角形内角和定理可计算出∠DAB的度数．

解答解：连结BD，如图，

∵点D是⌒AC的中点，即弧CD=弧AD，
∴∠ABD=∠CBD，
而∠ABC=50°，
∴∠ABD=

×50°=25°，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB=90°-25°=65°．
故选C．

点评本题考查了圆周角定理及其推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角为直角．

如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B=40°，则∠ACD的度数是 °．

分析连接AD，构造直角三角形，利用同弧所对的圆周角相等求得直角三角形的一个锐角，再求另一个锐角即可．

解答解：连接AD，

∵CD是直径，
∴∠CAD=90°，
∵∠B=40°，
∴∠D=40°，
∴∠ACD=50°．

点评此题主要考查的是圆周角定理的推论：半圆或直径所对的圆周角是90°；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．

如图，有一圆通过四边形ABCD的三顶点A、B、D，且此圆的半径为10．若∠A=∠B=90°，AD=12，BC=35，则四边形ABCD的面积为何？（　　）

A. 288
B. 376
C. 420
D. 470

分析△根据90°的圆周角所对的弦是直径得出BD=20，再利用勾股定理求出AB的长度，最后根据直角梯形的面积公式既可以求解．

解答

解：连接BD，
∵∠A=90°，
∴BD是⊙O的直径，
∴BD=20，
根据勾股定理得：AB=16，
∴S_梯形ABCD=

AD+BC

×AB=

(12+35)×16=376，
故选：B．

点评本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟记梯形的面积公式是解题的关键．

如图，点A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC=90°，AD=3，CD=2，则⊙O的直径的长是（）

A.
√13
B. 5
C.
√5
D. 1

分析首先连接AC，由圆的内接四边形的性质，可求得∠ADC=90°，根据直角所对的弦是直径，可证得AC是直径，然后由勾股定理求得答案．

解答

解：连接AC，
∵点A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC=90°，
∴∠ADC=180°-∠ABC=90°，
∴AC是直径，
∵AD=3，CD=2，
∴AC=

√AD²+CD²

√13

．
故答案为：

√13

．

点评此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质以及勾股定理．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

圆内接四边形介绍：

1. 圆内接四边形对角互补及其应用。

在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比是2：3：6，求这个四边形各角的度数．

解答解设∠A、∠B、∠C的度数分别等于2x°、3x°、6x°．
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠A+ ∠C=∠B+ ∠D=180°．
∵2x +6x=180，
∴x= 22.5．
∴∠A= 45°，
∠B= 67.5°．
∠C=135°．
∠D=180°- 67.5°
= 112.5°．

如图，四边形ABCD的四个顶点在⊙O上，找出图中分别与∠1、∠2、∠3、∠4相等的角．

如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD= 100°，求∠BAD与∠BCD的度数．

如图，在⊙O中，∠BOC =50°，求∠A的大小．

已知：四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，AD∥BC，AC与BD相交于点P，∠APB =20°，求四边形ABCD各个角的度数．

已知：如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB =2∠BOC．
求证：∠ACB =2∠BAC．

证明：圆内接平行四边形是矩形．

已知等腰直角三角形ABC的一条直角边为

√2

，求它的外接圆的半径．

证明：如果三角形一边上的中线等于该边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

如图24 - 34，△ABC是等边三角形，⊙O是其外接圆，由∠BAC =60．，∠BOC =120．，得出∠BAC=

∠BOC（∠BAC对着⌒BC，∠BOC也对着⌒BC）．

观察这个特例，然后再任意画一个⊙O及其内接△ABC，用量角器量一量∠BAC及∠BOC之后，引发你对圆周角性质有怎样的猜想？
一个圆周角的大小与它所对弧上的圆心角有关；前者是后者的二分之一．
下面给出猜想的证明．
以⊙O上任一点A为顶点的圆周角有无数多个，按圆心与圆周角的位置关系，存在下面三种情况，如图24 - 35（自己画图试试）．

首先，我们从特殊情况着手：在图24 - 35（1）中，连接OC，则△AOC是等腰三角形，∠A =∠OCA．所以，∠BOC= ∠A+∠OCA =2∠A，即∠A=

∠BOC．
对于图24-35（2）（3）两种情况，你会解决吗？
在图24 - 35（2）（3）中，连接AO并延长，交⊙0于点D，再连接OB，OC，则在图24 -35（2）中，有
∠BAC=∠DAC+∠DAB=

∠DOC+

∠DOB=

∠COB．
在图24-35（3）中，有
∠BAC=∠DAC-∠DAB=

∠DOC-

∠DOB=

∠COB．

如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C=36°，则∠A的度数为（　　）

A. 36°
B. 56°
C. 72°
D. 144°

分析根据圆的内接四边形的对角互补得到∠A+∠C=180°，把∠C=36°代入计算即可．

解答∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°，
而∠C=36°，
∴∠A=180°-36°=144°．
故选D．

点评本题考查了圆的内接四边形的性质：圆的内接四边形的对角互补．

如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，∠DAB=49°，则∠AOC的度数为 °．

分析△如图，在⌒AD上取点M，连接AM，CM，根据平行线的性质可以求得：∠ABC=131°，然后根据圆的内接四边形对角互补，即可求得∠ABC的度数，根据圆周角定理求得∠AOC的度数．

解答

解：如图，在⌒AD上取点M，连接AM，CM，
∵AD∥BC，∠DAB=49°，
∴∠ABC=131°，
∴∠M=49°，
∠AOC=98°．
故答案为：98°．

点评本题主要考查圆周角定理、圆的内接四边形的性质、平行线的性质，关键在于作好辅助线，求得∠M的度数．

已知：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D=50°，则∠ABC等于（　　）

A. 100°
B. 110°
C. 120°
D. 130°

分析根据圆内接四边形的对角互补，得∠ABC=180°-∠D=130°．

解答∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠ABC+∠D=180°
∵∠D=50°
∴∠ABC=180°-∠D=130°．
故选D．

点评本题考查了圆内接四边形的性质，圆内接四边形对角互补．

如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上，若∠ADB=100°，则∠ACB的度数为（　　）

A. 35°
B. 40°
C. 50°
D. 80°

分析由A，B，O，D都在⊙O上，根据圆内接四边形的性质得到∠D+∠AOB=180°，可求得∠AOB=80°，再根据圆周角定理即可得到∠C的度数．

解答

解：连OA，OB，如图，
∵A，B，O，D都在⊙O上，
∴∠D+∠AOB=180°，
而∠ADB=100°，
∴∠AOB=80°，
∴∠ACB=

∠AOB=40°．
故选B．

点评本题考查了圆内接四边形的性质：圆的内接四边形的对角互补；也考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．

如图，点A、B、C在⊙O上，若∠AOB=130°，则∠ACB等于(　　)

A. 105°
B. 115°
C. 125°
D. 135°

分析找到图中的圆周角和圆心角，根据圆周角定理即可直接得出∠ACB的度数．

解答

解：∵∠AOB=2∠ADB，∠AOB=130°，
∴∠ADB=

∠AOB=

×130°=65°，
∴∠ACB=180°-∠ADB=115°．
故答案为B．

点评本题考查了圆周角定理，找到图中的圆心角和圆周角是解题的关键．

如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOC=60°，则∠ABC的度数是 °．

分析□首先在优弧⌒ADC上取点D，连接AD，CD，由圆周角定理，即可求得∠ADC的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得答案．

解答

解：在优弧⌒ADC上取点D，连接AD，CD，
∵∠AOC=60°，
∴∠ADC=

∠AOC=30°，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=180°-∠ADC=180°-30°=150°．
故答案为：150°．

点评此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法．

已知点O是△ABC外接圆的圆心，若∠BOC=110°，则∠A的度数是(　　)

A. 120°
B. 60°
C. 60°或120°
D. 55°或125°

分析分类讨论：当△ABC为锐角三角形，即点A在优弧BC上，可根据圆周角定理求得∠A=

∠BCO=55°；当△ABC为钝角三角形，即点A在劣弧BC上，可根据圆内接四边形的性质得到∠A′=125°．

解答

解：当△ABC为锐角三角形，即点A在优弧BC上，则∠A=

∠BCO=

×110°=55°；
当△ABC为钝角三角形，即点A在劣弧BC上，则∠A′=180°-∠A=180°-55°=125°，
即∠A的度数为55°或125°．
故答案为55°或125°．

点评本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

⊙O为△ABC的外接圆，∠BOC=100°，则∠A=(　　)

A. 120°
B. 60°
C. 60°或120°
D. 50°或130°

分析分为两种情况：当O在△ABC内部时，根据圆周角定理求出∠A=50°；当O在△ABC外部时，根据圆内接四边形性质求出∠A′=180°-∠A即可．

解答解：分为两种情况：当O在△ABC内部时，

根据圆周角定理得：∠A=

∠BOC=

×100°=50°；
当O在△ABC外部时，如图在A′时，
∵A、B、A′、C四点共圆，
∴∠A+∠A′=180°，
∴∠A′=180°-50°=130°，
故答案为：50°或130°．

点评本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，圆内接四边形等知识点，注意：本题分为圆心O在△ABC内部和外部两种情况，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．

········ THE END ········

圆周角

直线与圆的位置关系、三角形的内切圆

· 直线与圆的位置关系、三角形的内切圆

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圆周角

如图，点A、B、C都在圆O上，如果∠AOB+∠ACB=84°，那么∠ACB的大小是 °．

如图，在⊙O中，半径OA垂直弦于点D．若∠ACB=33°，则∠OBC的大小为度．

如图，已知A，B，C在⊙O上，⌒ACB为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（　　）

A. 2∠C
B. 4∠B
C. 4∠A
D. ∠B+∠C

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，如果∠AOC=100°，那么∠B= 度．

如图，已知A、B、C三点在⊙O上，AC⊥BO于D，∠B=55°，则∠BOC的度数是 °．

如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于（　　）

A. 60°
B. 70°
C. 120°
D. 140°

如图，点A、B、C均在⊙O上，∠C=50°，则∠OAB= 度．

如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，则∠OBC的度数为（　　）

A. 40°
B. 50°
C. 80°
D. 100°

如图，△ABC内接于⊙O，∠OAB=20°，则∠C的度数为 °．

如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A=50°，则∠OCD的度数是（　　）

A. 40°
B. 45°
C. 50°
D. 60°

如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，CD⊥AB．若∠DAB=65°，则∠BOC=（　　）

A. 25°
B. 50°
C. 130°
D. 155°

如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为(　　)

A. 40°
B. 45°
C. 50°
D. 55°

如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB等于（　　）

A. 30°
B. 45°
C. 55°
D. 60°

如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，则∠D=（　　）

A. 25°
B. 35°
C. 55°
D. 70°

如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=（　　）

A. 20°
B. 40°
C. 50°
D. 80°

如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧⌒AB上不同于点B的任意一点，则∠BPC= 度．

等弧对等角

如图24-38，AB为⊙0的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD =60°，∠ADC =70°，求∠APC的度数．

如图，点A、B、C、D都在⊙O上，AC、BD相交于点E，则∠ABD=（　　）

A. ∠ACD
B. ∠ADB
C. ∠AED
D. ∠ACB

如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠CAB=65°，P是⊙O上的一点，则∠CPB等于（　　）

A. 35°
B. 45°
C. 65°
D. 85°

如图所示，已知△ACD和△ABE都内接于同一个圆，则∠ADC+∠AEB+∠BAC=（　　）

A. 90°
B. 180°
C. 270°
D. 360°

如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠ACE+∠BDE=（　　）

A. 60°
B. 75°
C. 90°
D. 120°

如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（　　）

A. 160°
B. 150°
C. 140°
D. 120°

如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=26°，则∠BOC= 度．

如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（　　）

A. AD=AB
B. ∠BOC=2∠D
C. ∠D+∠BOC=90°
D. ∠D=∠B

如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC=56°，则∠ADB= 度．

直径对直角

如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BOD=130°，AC∥OD交⊙O于点C，连接BC，则∠B= 度．

如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC=54°，则∠BAC的度数等于 °．

如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（　　）

A. 36°
B. 46°
C. 27°
D. 63°

如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC=68°，则∠BAC= °．

如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应54°，则∠BCD的度数为（　　）

A. 27°
B. 54°
C. 63°
D. 36°

A. 48度
B. 64度
C. 96度
D. 132度

如图，AB是半圆的直径，点D是⌒AC的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（　　）

A. 55°
B. 60°
C. 65°
D. 70°

如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B=40°，则∠ACD的度数是 °．

如图，有一圆通过四边形ABCD的三顶点A、B、D，且此圆的半径为10．若∠A=∠B=90°，AD=12，BC=35，则四边形ABCD的面积为何？（　　）

A. 288
B. 376
C. 420
D. 470

如图，点A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC=90°，AD=3，CD=2，则⊙O的直径的长是（）

A.
√13
B. 5
C.
√5
D. 1

圆内接四边形

在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比是2：3：6，求这个四边形各角的度数．

如图，四边形ABCD的四个顶点在⊙O上，找出图中分别与∠1、∠2、∠3、∠4相等的角．

如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD= 100°，求∠BAD与∠BCD的度数．

如图，在⊙O中，∠BOC =50°，求∠A的大小．

已知：四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，AD∥BC，AC与BD相交于点P，∠APB =20°，求四边形ABCD各个角的度数．

已知：如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB =2∠BOC．
求证：∠ACB =2∠BAC．

证明：圆内接平行四边形是矩形．

已知等腰直角三角形ABC的一条直角边为

√2

，求它的外接圆的半径．

证明：如果三角形一边上的中线等于该边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

如图24 - 34，△ABC是等边三角形，⊙O是其外接圆，由∠BAC =60．，∠BOC =120．，得出∠BAC=

∠BOC（∠BAC对着⌒BC，∠BOC也对着⌒BC）．

首先，我们从特殊情况着手：在图24 - 35（1）中，连接OC，则△AOC是等腰三角形，∠A =∠OCA．所以，∠BOC= ∠A+∠OCA =2∠A，即∠A=

∠DOC+

∠DOB=

∠COB．
在图24-35（3）中，有
∠BAC=∠DAC-∠DAB=

∠DOC-

∠DOB=

∠COB．

如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C=36°，则∠A的度数为（　　）

A. 36°
B. 56°
C. 72°
D. 144°

如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，∠DAB=49°，则∠AOC的度数为 °．

已知：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D=50°，则∠ABC等于（　　）

A. 100°
B. 110°
C. 120°
D. 130°

如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上，若∠ADB=100°，则∠ACB的度数为（　　）

A. 35°
B. 40°
C. 50°
D. 80°

如图，点A、B、C在⊙O上，若∠AOB=130°，则∠ACB等于(　　)

A. 105°
B. 115°
C. 125°
D. 135°

如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOC=60°，则∠ABC的度数是 °．

已知点O是△ABC外接圆的圆心，若∠BOC=110°，则∠A的度数是(　　)

A. 120°
B. 60°
C. 60°或120°
D. 55°或125°

⊙O为△ABC的外接圆，∠BOC=100°，则∠A=(　　)

A. 120°
B. 60°
C. 60°或120°
D. 50°或130°

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圆周角

直线与圆的位置关系、三角形的内切圆

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