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直线与圆的位置关系、三角形的内切圆
直线和圆的位置关系介绍：

1. 直线与圆的位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点；
②相切：一条直线和圆只有一个公共点；
③相交：一条直线和圆有两个公共点；
2. 设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d。直线与圆位置关系：
①直线l和⊙O相交时d＜r；
②直线l和⊙O相切时d=r；
③直线l和⊙O相离时d＞r。
如图24 - 43，Rt△ABC的斜边AB= 10 cm，∠A =30°．
（1）以点C为圆心作圆，当半径为多少时，AB与⊙C相切？
（2）以点C为圆心、半径r分别为4 cm和5 cm作两个圆，这两个圆与斜边AB分别有怎样的位置关系？
解答解（1）过点C作边AB上的高CD．
∵∠A=30°，AB =10 cm，
∴BC=
1
2
AB=
1
2
×10 =5（cm）．
在Rt△BCD中，有
CD=BCsinB=5sin60°=
5
2
√3
（cm）．
当半径为
5
2
√3
cm时，AB与⊙C相切．
（2）由（1）可知，圆心C到AB的距离d=
5
2
√3
cm．
当r=4 cm时，d＞r，⊙C与AB相离；
当r=5 cm时，d＜r，⊙C与AB相交．
⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
  • A. 相切
  • B. 相交
  • C. 相离
  • D. 不能确定
分析根据圆O的半径和圆心O到直线L的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r；即可选出答案．
解答∵⊙O的半径为8，圆心O到直线L的距离为4，
∵8＞4，即：d＜r，
∴直线L与⊙O的位置关系是相交．
故选：B．
点评本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．
△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，以点B为圆心、6cm为半径作⊙B，则边AC所在的直线与⊙B的位置关系是（      ）
  • A. 相交
  • B. 相切
  • C. 相离
  • D. 无法确定
分析根据勾股定理的逆定理得：AC⊥BC；则圆心B到直线AC的距离就是BC=6，即圆心到直线的距离等于圆的半径，那么直线和圆相切．
解答解：∵△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB=90°，
则圆心到直线的距离即为BC的长6cm，等于圆的半径，则直线和圆相切．
点评此题运用了勾股定理的逆定理首先判断垂直关系，然后根据数量关系判断直线和圆的位置关系．
坐标平面上有两圆O1、O2，其圆心坐标均为(3，-7)．若圆O1与x轴相切，圆O2与y轴相切，则圆O1与圆O2的周长比（　　）
  • A. 3：7
  • B. 7：3
  • C. 9：49
  • D. 49：9
分析☆根据直线和圆相切，圆心到直线的距离等于圆的半径，可以分别求得两个圆的半径，再根据圆周长公式，可知两个圆的周长之比即为两个圆的半径之比．
解答解：∵圆心坐标均为(3，-7)．若圆O1与x轴相切，圆O2与y轴相切，
∴⊙O1与⊙O2的半径分别是7，3．
∴圆O1与圆O2的周长比是7：3．
故选B．
点评此题主要是考查了直线和圆相切应满足的数量关系．注意：两个圆的周长比等于两个圆的半径之比．
直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（　　）
  • A. r＜6
  • B. r=6
  • C. r＞6
  • D. r≥6
分析△直接根据直线与圆的位置关系进行判断即可．
解答∵直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离d=6，
∴r＞6．
故选C．
点评本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．直线l和⊙O相交⇔d＜r
如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是（      ）
  • A. 相交
  • B. 相切
  • C. 相离
  • D. 无法确定
分析AB为直径，AB=6，则半径是3；矩形ABCD中，BC=4，则圆心到CD的距离为4．根据距离大于半径判定相离．
解答∵矩形ABCD中，BC=4，
∴圆心到CD的距离为4．
∵AB为直径，AB=6，
∴半径是3．
∵4＞3，∴直线DC与⊙O相离．
点评此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
在平面直角坐标系中，以点(2，1)为圆心，1为半径的圆，必与（　　）
  • A. x轴相交
  • B. y轴相交
  • C. x轴相切
  • D. y轴相切
分析△根据点的坐标，知圆心到x轴的距离是1，圆心到y轴的距离是2．则该圆必与y轴相离，与x轴相切．
解答∵是以点(2，1)为圆心，1为半径的圆，
∴圆心到x轴的距离是1，圆心到y轴的距离是2，则1=1，1＜2，
∴该圆必与y轴相离，与x轴相切．故选C．
点评此题要注意：坐标平面内一个点到x轴的距离是它的纵坐标的绝对值，到y轴的距离是它的横坐标的绝对值．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=4cm．以点C为圆心，以3cm长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（　　）
  • A. 相离
  • B. 相交
  • C. 相切
  • D. 不确定
分析△先求出点C到直线AB的距离，比较与3的大小，从而得出答案．
解答解：过C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠C=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∵BC=4cm，
∴CD=2cm，
∵2＜3，
∴⊙C与直线AB相交．
故选B．
点评本题考查了直线和圆的位置关系，解题的关键是判断圆的半径和圆心到直线的距离．
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，则直线y=x+
√2
与以O点为圆心，1为半径的圆的位置关系为．
  • A. 相交
  • B. 相切
  • C. 相离
  • D. 无法确定
分析首先求得直线与坐标轴的交点坐标，然后求得原点到直线的距离，利用圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系求解．
解答解：令y=x+
√2
=0，解得：x=-
√2
，
令x=0，解得：y=
√2
，
所以直线y=x+
√2
与x轴交于点（-
√2
，0），与y轴交于点（0，
√2
），
设圆心到直线y=x+
√2
的距离为d，
则d=
√2
×
√2
2
=1，
∵圆的半径r=1，
∴d=r，
∴直线y=x+
√2
与以O点为圆心，1为半径的圆的位置关系为相切，
故答案为：相切．
点评本题考查了直线与圆的位置关系及坐标与图形的性质，属于基础题，比较简单．
已知在Rt△ABC中，∠A=90°，两直角边分别为5、12，以A为圆心与BC相切的圆半径是（　　）
  • A.
    13
    2
  • B. 2
  • C.
    60
    13
  • D. 5
分析□根据切线的性质，得出AD⊥BC，再利用三角形面积即可得出．
解答解：根据题意画出图象，假设以A为圆心与BC相切于点D，
连接AD，∵两直角边分别为5，12，以A为圆心与BC相切，
∴AD⊥BC，
∴AB×AC=AD×BC，
∵AB=5，BC=12，BC=13，
∴AD=
60
13
，
故选：C．
点评此题主要考查了切线的性质定理，根据已知得出AB×AC=AD×BC是解决问题的关键．
在Rt△ABC中，∠A=30°，直角边AC=6cm，以C为圆心，3cm为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（       ）
  • A. 相交
  • B. 相切
  • C. 相离
  • D. 无法确定
分析△根据题意画出相应的图形，然后过C作CD与AB垂直，垂足为D，在直角三角形ACD中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半，由斜边AC的长求出CD的长，即为圆心到直线的距离，与圆C的半径相等，可得圆C与直线AB相切．
解答解：根据题意画出图形，如图所示：

过C作CD⊥AB，交AB于点D，
在Rt△ACD中，AC=6cm，∠A=30°，
∴CD=
1
2
AC=3cm，
又∵圆C的半径为3，
则⊙C与AB的位置关系是相切．
故答案为：相切
点评此题考查了直线与圆的位置关系，以及直角三角形的性质，直线与圆的位置关系有三种，分别为相切，相交，相离，可以利用d与r比较大小来决定，当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当0≤d＜r时，直线与圆相交．
如图，在直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y=-x+
√2
与⊙O的位置关系是（　　）
  • A. 相离
  • B. 相交
  • C. 相切
  • D. 以下三种情形都有可能
分析只需求得圆心到直线的距离，再根据圆心到直线的距离和圆的半径之间的大小关系进行分析．
解答解：圆心O到直线y=-x+
√2
的距离是1，它等于圆的半径1，则直线和圆相切．
故选C．
点评本题考查了直线与圆的位置关系：①当圆心到直线的距离d＞圆的半径r，直线与圆相离；②当圆心到直线的距离d＜圆的半径r，直线与圆相交；③当圆心到直线的距离d=圆的半径r，直线与圆相切．
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，2.4cm长为半径的圆与AB的位置关系是（　　）
  • A. 相切
  • B. 相交
  • C. 相离
  • D. 不能确定
分析☆过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形面积公式求出CD，和⊙C的半径比较即可．
解答
解：过C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB=
√32+42
=5，
由三角形面积公式得：
1
2
×3×4=
1
2
×5×CD，
CD=2.4，
即C到AB的距离等于⊙C的半径长，
∴⊙C和AB的位置关系是相切，
故选A．
点评本题考查了直线与圆的位置关系的应用，注意：直线和圆有三种位置关系：相切、相交、相离．
如图，⊙O的直径为20cm，弦AB=16cm，OD⊥AB，垂足为D．则AB沿射线OD方向平移    cm时可与⊙D相切．
分析根据垂径定理可知，AD=
1
2
AB=8，解Rt△AOD可求OD，利用DE=OE-OD，可求出DE．
解答解：∵OD⊥AB，垂足为D，
∴AD=
1
2
AB=8，
在Rt△AOD中，OD=
√AO2-AD2
=
√102-82
=6，
∴DE=OE-OD=10-6=4，
即：AB沿射线OD方向平移4cm时，可与⊙D相切．
点评本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
如图，已知在直角坐标系中，半径为2的圆的圆心坐标为（3，-3），当该圆向上平移    或    个单位时，它与x轴相切（按从小到大顺序填写答案）．
分析欲求直线和圆有几个公共点，关键是求出圆心到直线的距离d，再与半径r进行比较．
若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
解答设圆的半径为r，圆心到直线的距离d，要使圆与x轴相切，必须d=r；
∵此时d=3，
∴圆向上平移1或5个单位时，它与x轴相切．
点评本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
如图，⊙O的半径为4cm，直线l⊥OA，垂足为O，则直线l沿射线OA方向平移    cm时与⊙O相切．
分析直线l与⊙O相切时，直线到圆心的距离等于圆的半径，因而直线l沿射线OA方向平移4cm时与⊙O相切．
解答∵直线到圆心的距离等于圆的半径，直线l与⊙相切，
∴直线l沿射线OA方向平移4cm时与⊙O相切．
点评本题考查了圆的切线性质，圆心的切线的距离等于圆的半径．
如图，⊙O的圆心O到直线l的距离为3cm，⊙O的半径为1cm，将直线l向右（垂直于l的方向）平移，使l与⊙O相切，则平移的距离为（　　）
  • A. 1cm
  • B. 2cm
  • C. 4cm
  • D. 2cm或4cm
分析直线l向右平移时，会与圆在左边相切，或者右边相切，有两种情况．
解答∵圆心O到直线l的距离为3，半径为1，
∴当直线与圆在左边相切时，平移距离为：3-1=2，
当直线与圆在右边相切时，平移距离为：3+1=4，
故选D．
点评本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
切线性质定理介绍：

1. 切线性质定理：
①圆的切线垂直于经过切点的半径；
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；
2. 切线性质的运用：由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系。
如图24 - 45，点P为⊙O上任一点，过点P作直线l与⊙O相切．
解答作法
1. 连接OP．
2. 过点P作直线l⊥OP．
则直线l即为所作．
如图，C为⊙O外一点，CA与⊙O相切，切点为A，AB为⊙O的直径，连接CB．若⊙O的半径为2，∠ABC=60°，则BC=      ．
分析由CA与⊙O相切知∠BAC=90°，运用在RT△BAC中，30°的角对的直角过是斜边的一半求解．
解答∵CA与⊙O相切，切点为A，AB为⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∵∠ABC=60°，⊙O的半径为2，
∴在RT△BAC中，∠C=30°，AB=4，
∴BC=2AB=2×4=8．
故答案为：8．
点评本题考查了切线的性质及含30°角的直角三角形的知识，解题的关键是利用切线的性质得出△BAC是直角三角形．
如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25°，则∠C=      度．
分析连接OD，由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于CD，根据OA=OD，利用等边对等角得到∠A=∠ODA，求出∠ODA的度数，再由∠COD为△AOD外角，求出∠COD度数，即可确定出∠C的度数．
解答解：连接OD，
∵CD与圆O相切，
∴OD⊥DC，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA=25°，
∵∠COD为△AOD的外角，
∴∠COD=50°，
∴∠C=90°-50°=40°．
故答案为：40
点评此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，以及外角性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB的长为8cm，则图中阴影部分的面积为    cm2．
分析设AB于小圆切于点C， 连接OC，OB， 利用垂径定理即可求得BC的长，根据圆环（阴影）的面积 = π•OB2-π•OC2=π（OB2-OC2），以及勾股定理即可求解．
解答解：设AB于小圆切于点C，连接OC，OB．
∵AB于小圆切于点C，
∴OC⊥AB，
∴BC=AC=
1
2
AB=
1
2
×8=4cm．
∵圆环（阴影）的面积=π•OB2-π•OC2=π（OB2-OC2）
又∵直角△OBC中，OB2=OC2+BC2
∴圆环（阴影）的面积=π•OB2-π•OC2=π（OB2-OC2）=π•BC2=16πcm2．
故答案是：16π．
点评此题考查了垂径定理，切线的性质，以及勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，注意到圆环（阴影）的面积=π•OB2-π•OC2=π（OB2-OC2），利用勾股定理把圆的半径之间的关系转化为直角三角形的边的关系．
如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是（　　）
  • A. 30°
  • B. 25°
  • C. 20°
  • D. 15°
分析根据切线的性质求出∠OAC，结合∠C=40°求出∠AOC，根据等腰三角形性质求出∠B=∠BDO，根据三角形外角性质求出即可．
解答∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC=90°，
∵∠C=40°，
∴∠AOC=50°，
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠BDO，
∵∠ABD+∠BDO=∠AOC，
∴∠ABD=25°，
故选：B．
点评本题考查了切线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形性质的应用，解此题的关键是求出∠AOC的度数，题目比较好，难度适中．
如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（　　）
  • A. 20°
  • B. 25°
  • C. 40°
  • D. 50°
分析□连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．
解答如图，连接OA，

∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=25°，
∴∠AOC=50°，
∴∠C=40°．
故选：C．
点评本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点．
如图所示，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB的长，就计算出了圆环的面积，若测量得AB的长为20米，则圆环的面积为（　　）
  • A. 10平方米
  • B. 10π平方米
  • C. 100平方米
  • D. 100π平方米
分析过O作OC⊥AB于C，连OA，根据垂径定理得到AC=BC=10，再根据切线的性质得到AB为小圆的切线，于是有圆环的面积=π•OA2-π•OC2=π（OA2-OC2）=π•AC2，即可圆环的面积．
解答解：过O作OC⊥AB于C，连OA，如图，
∴AC=BC，而AB=20，
∴AC=10，
∵AB与小圆相切，
∴OC为小圆的半径，
∴圆环的面积=π•OA2-π•OC2
=π（OA2-OC2）
=π•AC2
=100π（平方米）．
故选D．
点评本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了切线的性质定理以及勾股定理．
已知⊙O的直径AB的长为4cm，C是⊙O上一点，∠BAC=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，求BP的长．
分析□连接OC，即可求得∠P=30°，从而求得OP的长，根据BP=OP-OB即可求解．
解答详见答案
点评本题主要考查了切线的性质，已知切线时，常用的辅助线是连接圆心与切点，构造直角三角形．
如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，给出下面3个结论：①AD=CD；②BD=BC；③AB=2BC，其中正确结论的个数是（　　）
  • A. 3个
  • B. 2个
  • C. 1个
  • D. 0个
分析□连接OD，CD是⊙O的切线，可得CD⊥OD，由∠A=30°，可以得出∠ABD=60°，△ODB是等边三角形，∠C=∠BDC=30°，再结合在直角三角形中300所对的直角边等于斜边的一半，继而得到结论①②③成立．
解答解：如图，连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OD，
∴∠ODC=90°，
又∵∠A=30°，
∴∠ABD=60°，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠DOB=∠ABD=60°，AB=2OB=2OD=2BD．
∴∠C=∠BDC=30°，
∴BD=BC，②成立；
∴AB=2BC，③成立；
∴∠A=∠C，
∴DA=DC，①成立；
综上所述，①②③均成立，
故答案选：A．
点评本题考查了圆的有关性质的综合应用，在本题中借用切线的性质，求得相应角的度数是解题的关键．
如图，已知∠AOB=30°，P为边OA上一点，且OP=5 cm，若以P为圆心，r为半径的圆与OB相切，则半径r为（　　）
  • A. 5cm
  • B.
    5
    √3
    2
    cm
  • C.
    5
    2
    cm
  • D.
    5
    √3
    3
    cm
分析作PD⊥OB于D．先根据直角三角形的性质求得PD的长，再根据直线和圆相切，则圆的半径等于圆心到直线的距离求解．
解答解：作PD⊥OB于D．
∵在直角三角形POD中，∠AOB=30°，P为边OA上一点，且OP=5 cm，
∴PD=2.5（cm）．
要使直线和圆相切，则r=2.5cm．
故选C．
点评此题综合考查了直角三角形的性质和直线和圆的位置关系与数量之间的联系．
在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点A（-3，0），点B（0，
√3
），点P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O．若将⊙P沿x轴向左平移，平移后得到⊙P′（点P的对应点为点P′），当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的点P′共有（　　）
  • A. 1个
  • B. 2个
  • C. 3个
  • D. 4个
分析在解答本题时要先求出⊙P的半径，继而求得相切时P′点的坐标，根据A（-3，0），可以确定对应的横坐标为整数时对应的数值．
解答解：如图所示，∵点P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O，
∴⊙P的半径是1，
若⊙P与AB相切时，设切点为D，由点A（-3，0），点B（0，
√3
），
∴OA=3，OB=
√3
，由勾股定理得：AB=2
√3
，∠DAM=30°，
设平移后圆与直线AB第一次相切时圆心为M（即对应的P′），
∴MD⊥AB，MD=1，又因为∠DAM=30°，
∴AM=2，M点的坐标为（-1，0），即对应的P′点的坐标为（-1，0），
同理可得圆与直线第二次相切时圆心N的坐标为（-5，0），
所以当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的点P′的横坐标可以是-2，-3，-4共三个．
故选：C．
点评本题考查了圆的切线的性质的综合应用，解答本题的关键在于找到圆与直线相切时对应的圆心的坐标，然后结合A点的坐标求出对应的圆心的横坐标的整数解．
已知，如图，∠AOB=30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，r为半径的⊙M，当⊙M与OA相切时，OM=2cm，则r=    cm．
分析根据直角三角形内，30°的角所对的直角边是斜边的一半可求得r的值．
解答解：当⊙M与OA相切时，MB=r，∠MDO=90°；
∵∠AOB=30°，OM=2cm，
∴r=
1
2
OM=1cm．
点评当圆与直线相切时，根据切线的性质定理，切线垂直于半径，可构成直角三角形，从而解决问题．
如图，直线y=
√3
3
x+
√3
与x轴、y轴分别相交于A，B两点，圆心P的坐标为(1，0)，圆P与y轴相切于点O．若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是(　　)
  • A. 2
  • B. 3
  • C. 4
  • D. 5
分析根据直线与坐标轴的交点，得出A，B的坐标，再利用三角形相似得出圆与直线相切时的坐标，进而得出相交时的坐标．
解答解：∵直线y=
√3
3
x+
√3
与x轴、y轴分别相交于A，B两点，
圆心P的坐标为(1，0)，
∴A点的坐标为：0=
√3
3
x+
√3
，
x=-3，A(-3，0)，
B点的坐标为：(0，
√3
)，
∴AB=2
√3
，
将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相切于C1时，P1C1=1，
根据△AP1C1∽△ABO，
∴
1
√3
=
AP 1
AB
=
AP1
2
√3
，
∴AP1=2，
∴P1的坐标为：(-1，0)，
将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相切于C2时，P2C2=1，
根据△AP2C2∽△ABO，
∴
1
√3
=
AP2
AB
=
AP2
2
√3
，
∴AP2=2，
P2的坐标为：(-5，0)，
从-1到-5，整数点有-2，-3，-4，故横坐标为整数的点P的个数是3个．
故选B．
点评此题主要考查了直线与圆的位置关系，以及相似三角形的判定，题目综合性较强，注意特殊点的求法是解决问题的关键．
切线判定定理介绍：

1. 切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
2. 在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：1）经过半径的外端；2）垂直于这条半径，否则就不是圆的切线；
②切线的判定定理实际上是从“圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切”这个结论直接得出来的。
已知：如图24 - 46，∠ABC =45°，AB是⊙O的直径，AB =AC．

求证：AC是⊙O的切线．
证明 ∵AB =AC，∠ABC=45°，
∴∠ACB= ∠ABC=45°．
∴∠BAC= 180°-∠ABC-∠ACB =90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴AC是⊙O的切线．
如图24 - 47，点P为⊙O外一点，过点P作直线与⊙O相切．
解答作法
1. 连接OP．
2. 以OP为直径作圆，设此圆交⊙O于点A，B．
3. 连接PA，PB．
则直线PA，PB即为所作．
如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，EF⊥AC，垂足为F．求证：直线EF是⊙O的切线．
分析☆连接OE，DE，由AB=AC，可得∠C=∠B，继而可得∠CEF+∠OEB=90°，由切线的判定定理即可得出结论．
解答解：方法一：
连接OE，DE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
又∵OB=OE，
∴∠ABC=∠OEB，
∵∠FEC+∠C=90°，
∴∠FEC+∠OEB=90°，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O半径，
∴直线EF是⊙O的切线．

方法二：连接OE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
又∵OB=OE，
∴∠ABC=∠OEB，
∴∠C=∠OEB，
∴EO∥AC，
∵∠AFE=90°，
∴∠OEF=90°，
∴直线EF是⊙O的切线．
点评本题考查了切线的判定、圆周角定理及等腰三角形的性质，关键是作出辅助线，利用等角代换得出∠OEF为直角，难度一般．
如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论正确的个数是(　　)
①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA=
1
2
AC；④DE是⊙O的切线．
  • A. 1个
  • B. 2个
  • C. 3个
  • D. 4个
分析根据圆周角定理和切线的判定，采用排除法，逐条分析判断．
解答解：∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，故①正确；

连接DO，
∵点D是BC的中点，
∴CD=BD，
∴△ACD≌△ABD(SAS)，
∴AC=AB，∠C=∠B，
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，OD∥AC，
∴∠ODE=∠CED，
∴ED是圆O的切线，故④正确；

由弦切角定理知，∠EDA=∠B，故②正确；

∵点O是AB的中点，故③正确，
故选D．
点评本题利用了平行线的判定，弦切角定理，全等三角形的判定和性质，切线的概念，中点的性质求解．
如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是(　　)
  • A. DE=DO
  • B. AB=AC
  • C. CD=DB
  • D. AC∥OD
分析根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线．
根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线．
根据AC∥OD，AC⊥DE，得到∠EDO=90°，可以证明DE是⊙O的切线．
解答解：当AB=AC时，如图：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴CD=BD，
∵AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
所以B正确．
当CD=BD时，AO=BO，∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC
∵DE⊥AC
∴DE⊥OD
∴DE是⊙O的切线．
所以C正确．
当AC∥OD时，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD．
∴DE是⊙O的切线．
所以D正确．
故选A．
点评本题考查的是切线的判断，利用条件判断DE是⊙O的切线，确定正确选项．
如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA=
1
2
AC；④DE是⊙O的切线，正确的个数是(　　)
  • A. 1 个
  • B. 2个
  • C. 3 个
  • D. 4个
分析根据直径所对的圆周角是直角推出∠ADB即可判断①；求出OD∥AC，推出DE⊥OD，得出DE是圆O的切线即可判断④；根据线段垂直平分线推出AC=AB，即可判断③，根据切线的性质即可判断②．
解答解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°=∠ADC，
即AD⊥BC，①正确；
连接OD，
∵D为BC中点，
∴BD=DC，
∵OA=OB，
∴DO∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线，∴④正确；
∴∠ODA+∠EDA=90°，
∵∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°，
∴∠EDA=∠ODB，
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB，
∴∠EDA=∠B，∴②正确；
∵D为BC中点，AD⊥BC，
∴AC=AB，
∵OA=OB=
1
2
AB，
∴OA=
1
2
AC，∴③正确．
故选D．
点评本题考查了切线的判定，线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点，主要考查学生的推理能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
切线长定理介绍：

1. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角；
2. 切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；
②全等关系三对；
③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到。
如图24 - 53，在△ABC中，∠B =43°，∠C=61°，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数．
解答解 连接IB，IC．
因为点I是△ABC的内心，所以IB，IC分别是∠B、∠C的平分线．
在△IBC中，有
∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）
=180°-
1
2
（∠B+∠C）
=180°-
1
2
（43°+61°）
=128°．
已知：如图24 - 49，四边形ABCD的边AB，BC，CD ，DA和⊙O分别相切于点E，F，G，H．
求证：AB+ CD=DA+ BC．
解答证明：∵AB，BC， CD，DA都与⊙O相切，E，F，G，H是切点，
∴AE= AH，BE= BF，CG=CF，DG=DH．
∴ AE + BE + CG + DG = AH + BF + CF + DH，
即 AB + CD = DA +BC．
⊙O的圆心到直线l的距离为5 cm，直线l与⊙O有唯一公共点，问⊙O的半径r是多少厘米？
已知：⊙O的半径是30 cm，点P与圆心0的距离是60 cm，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，求∠APB的大小与PA的长．
在△ABC中，AB =AC =4 cm，以点A为圆心、2 cm为半径的圆与BC相切，求∠BAC的度数．
在△ABC中，∠C =90°，a=3，b=4，以点C为圆心，下列r为半径的圆与A占有怎样的位置关系，为什么？
（1）r=2；　　（2）r=2.4；　　（3）r=2.8．
如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，直线OP交⊙O于Q，D两点，交AB于点C．

（1）写出图中所有的垂直关系；
（2）写出图中所有的全等三角形．
在△ABC中，∠A =80°，点I是内心，求∠BIC的度数．
如图，AB与⊙O相切于点C，OA =OB．⊙O的直径为8 cm，AB =6 cm，求OA的长．
已知：PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，∠APB=60°，点C是⊙O上异于A，B的任意一点，求∠ACB的大小．
在△ABC中，∠C=90°，BC =3，AC =4，求这个三角形的内切圆半径．
已知：如图，点P在∠BAC的平分线上，PD⊥AB，垂足为D．
求证：以点P为圆心、PD为半径的圆与∠BAC两边相切．
在一块周长为12 cm、面积为6 cm2的三角形材料中作一个内切圆，问这个圆的半径是多少厘米？
如图，直线AB过⊙O上的点C，且OA =OB．CA= CB．
求证：直线AB是⊙O的切线．
已知：如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD= OB，点C在圆上，∠CAB= 30°
求证：DC是⊙O的切线．
1. 在透明纸上画出图24 -48（1），设PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点．沿直线OP将图形折叠，有什么发现？

2．学生证明自己的发现，
如图24-48（2），连接OA，OB．下面如何证明？
___
___
___
___
∴PA =PB . ∠APO = ∠BPO．
有一块三角形材料，如何从中剪下一个面积最大的圆？
（1）如果最大圆存在，它与三角形的各边应有怎样的位置关系？
 如图24 - 50，⊙O按其位置与三角形的边是否相切分四种情形：图24-50（1）的⊙O与三边都不相切，图24 - 50（2）的⊙O只与一边相切，图24 - 50（3）的⊙O与两边相切，图24 - 50（4）的⊙O与三边都相切．
图24-50（1）（2）（3）中的圆面积都不是最大的（试一试，可作出一个面积更大的圆来），由此猜想：
要使剪下的圆面积最大，这个圆应与三角形的三边都相切，如图24 -50（4）．
（2）求作一个圆，使它和已知三角形的各边都相切．
如图24-51，如果半径为r的⊙I与△ABC的三边都相切，那么其圆心，应与△ABC的三边距离相等，都等于半径r，所以圆心I应是三角形的三条角平分线的交点．
如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P=46°，则∠BAC=    度．
分析由PA、PB是圆O的切线，根据切线长定理得到PA=PB，即三角形APB为等腰三角形，由顶角的度数，利用三角形的内角和定理求出底角的度数，再由AP为圆O的切线，得到OA与AP垂直，根据垂直的定义得到∠OAP为直角，再由∠OAP-∠PAB即可求出∠BAC的度数．
解答解：∵PA，PB是⊙O是切线，
∴PA=PB，又∠P=46°，
∴∠PAB=∠PBA=
180°-46°
2
=67°，
又PA是⊙O是切线，AO为半径，
∴OA⊥AP，
∴∠OAP=90°，
∴∠BAC=∠OAP-∠PAB=90°-67°=23°．
故答案为：23
点评此题考查了切线的性质，切线长定理，等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=50°，则∠BAC=    °．
分析由PA，PB分别为圆O的切线，根据切线长定理得到PA=PB，再利用等边对等角得到一对角相等，由顶角∠P的度数，求出底角∠PAB的度数，又AC为圆O的直径，根据切线的性质得到PA与AC垂直，可得出∠PAC为直角，用∠PAC-∠PAB即可求出∠BAC的度数．
解答解：∵PA，PB分别切⊙O于A，B点，AC是⊙O的直径，
∴∠PAC=90°，PA=PB，
又∵∠P=50°，
∴∠PAB=∠PBA=
180°-50°
2
=65°，
∴∠BAC=∠PAC-∠PAB=90°-65°=25°．
点评此题考查了切线的性质，切线长定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
如图，直尺、三角尺都和圆O相切，AB=8cm．则圆O的直径为(　　)
  • A. 14
    √2
    cm
  • B. 16
    √3
    cm
  • C. 14
    √3
    cm
  • D. 16
    √2
    cm
分析☆连接OE、OA、OB，根据切线长定理和切线性质求出∠OBA=90°，∠OAE=∠OAB=
1
2
∠BAC，求出∠BAC，求出∠OAB和∠BOA，求出OA，根据勾股定理求出OB即可．
解答解：连接OE、OA、OB，
∵AC、AB都是⊙O的切线，切点分别是E、B，
∴∠OBA=90°，∠OAE=∠OAB=
1
2
∠BAC，
∵∠CAD=60°，
∴∠BAC=120°，
∴∠OAB=
1
2
×120°=60°，
∴∠BOA=30°，
∴OA=2AB=16cm，
由勾股定理得：OB=
√OA2-AB2
=
√162-82
=8
√3
(cm)，
即⊙O的半径是8
√3
cm，
∴⊙O的直径是16
√3
cm，
答：圆O的直径是16
√3
cm．
点评本题考查了勾股定理，切线性质，切线长定理，含30度角的直角三角形等知识点的应用，关键是求出∠OBA和∠OAB的度数，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，已知⊙O的半径为2，∠P=60°，则弦AB的长为（      ）
  • A. 2
    √3
  • B. 3
    √2
  • C. 2
    √2
  • D. 2
    √5
分析连接AO，并延长交圆于C，连接BC，PA、PB是QO的切线，由切线长定理知PA=PB；又∠P=60°，则等腰三角形APB是等边三角形，则有∠ABP=60°；所以∠PAB=∠C=60°，AC是直径；由直径对的圆周角是直角得∠ABC=90°，则在Rt△ABC中，有∠CAB=30°，进而可知AB的长．
解答解：连接AO，并延长交圆于C，连接BC，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，
又∵∠P=60°，
∴∠PAB=60°；
又∵AC是圆的直径，
∴CA⊥PA，∠ABC=90°，
∴∠CAB=30°，
而AC=4，
∴在Rt△ABC中，cos30°=
AB
AC
，
∴AB=4×
√3
2=2
√3
．
故答案为：2
√3
．
点评本题利用了切线长定理，等边三角形的判定和性质，弦切角定理，直角三角形的性质，正弦的概念求解．注意本题的解法不唯一．
如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为(　　)
  • A. 5
  • B. 7
  • C. 8
  • D. 10
分析☆由切线长定理可得PA=PB，CA=CE，DE=DB，由于△PCD的周长=PC+CE+ED+PD，所以△PCD的周=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA，故可求得三角形的周长．
解答解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，
∴PA=PB，
同理可得：CA=CE，DE=DB．
∵△PCD的周长=PC+CE+ED+PD，
∴△PCD的周长=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA，
∴△PCD的周长=10，
故选D．
点评本题考查了切线的性质以及切线长定理的运用．
如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PA=10cm，C是劣弧AB上的点(不与点A、B重合)，过点C的切线分别交PA、PB于点E、F．则△PEF的周长为(　　)
  • A. 10cm
  • B. 15cm
  • C. 20cm
  • D. 25cm
分析根据切线长定理由PA、PB分别切⊙O于A、B得到PB=PA=10cm，由于过点C的切线分别交PA、PB于点E、F，再根据切线长定理得到EA=EC，FC=FB，然后三角形周长的定义得到△PEF的周长=PE+EF+PF=PE+EC+FC+PF，用等线段代换后得到三角形PEF的周长等于PA+PB．
解答解：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴PB=PA=10cm，
∵EA与EC为⊙的切线，
∴EA=EC，
同理得到FC=FB，
∴△PEF的周长=PE+EF+PF=PE+EC+FC+PF
=PE+EA+FB+PF
=PA+PB
=10+10
=20(cm)．
故选C．
点评本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB=10，BC=7，CD=8，则AD的长度为（　　）
  • A. 8
  • B. 9
  • C. 10
  • D. 11
分析根据圆外切四边形的性质对边和相等进而得出AD的长．
解答解：∵⊙O内切于四边形ABCD，
∴AD+BC=AB+CD，
∵AB=10，BC=7，CD=8，
∴AD+7=10+8，
解得：AD=11．
故选：D．
点评此题主要考查了圆外切四边形的性质，得出对边和直接关系是解题关键．
如图，若△ABC的三边长分别为AB=9，BC=5，CA=6，△ABC的内切圆⊙O切AB、BC、AC于D、E、F，则AF的长为(　　)
  • A. 5
  • B. 10
  • C. 7.5
  • D. 4
分析☆由切线长定理，可知：AF=AD，CF=CE，BE=BD，用未知数设AF的长，然后表示出BD、CF的长，即可表示出BE、CE的长，根据BE+CE=5，可求出AF的长．
解答设AF=x，根据切线长定理得AD=x，BD=BE=9-x，CE=CF=CA-AF=6-x，
则有9-x+6-x=5，解得x=5，即AF的长为5．
故选A．
点评此题主要是运用了切线长定理，用已知数和未知数表示所有的切线长，再进一步列方程求解．
········ THE END ········
直线与圆的位置关系、三角形的内切圆
下一节：
正多边形与圆
· 正多边形与圆
· 正多边形的性质
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直线和圆的位置关系
1
如图24 - 43，Rt△ABC的斜边AB= 10 cm，∠A =30°．
（1）以点C为圆心作圆，当半径为多少时，AB与⊙C相切？
（2）以点C为圆心、半径r分别为4 cm和5 cm作两个圆，这两个圆与斜边AB分别有怎样的位置关系？
2
⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
  • A. 相切
  • B. 相交
  • C. 相离
  • D. 不能确定
3
△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，以点B为圆心、6cm为半径作⊙B，则边AC所在的直线与⊙B的位置关系是（      ）
  • A. 相交
  • B. 相切
  • C. 相离
  • D. 无法确定
4
坐标平面上有两圆O1、O2，其圆心坐标均为(3，-7)．若圆O1与x轴相切，圆O2与y轴相切，则圆O1与圆O2的周长比（　　）
  • A. 3：7
  • B. 7：3
  • C. 9：49
  • D. 49：9
5
直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（　　）
  • A. r＜6
  • B. r=6
  • C. r＞6
  • D. r≥6
6
如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是（      ）
  • A. 相交
  • B. 相切
  • C. 相离
  • D. 无法确定
7
在平面直角坐标系中，以点(2，1)为圆心，1为半径的圆，必与（　　）
  • A. x轴相交
  • B. y轴相交
  • C. x轴相切
  • D. y轴相切
8
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=4cm．以点C为圆心，以3cm长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（　　）
  • A. 相离
  • B. 相交
  • C. 相切
  • D. 不确定
9
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，则直线y=x+
√2
与以O点为圆心，1为半径的圆的位置关系为．
  • A. 相交
  • B. 相切
  • C. 相离
  • D. 无法确定
10
已知在Rt△ABC中，∠A=90°，两直角边分别为5、12，以A为圆心与BC相切的圆半径是（　　）
  • A.
    13
    2
  • B. 2
  • C.
    60
    13
  • D. 5
11
在Rt△ABC中，∠A=30°，直角边AC=6cm，以C为圆心，3cm为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（       ）
  • A. 相交
  • B. 相切
  • C. 相离
  • D. 无法确定
12
如图，在直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y=-x+
√2
与⊙O的位置关系是（　　）
  • A. 相离
  • B. 相交
  • C. 相切
  • D. 以下三种情形都有可能
13
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，2.4cm长为半径的圆与AB的位置关系是（　　）
  • A. 相切
  • B. 相交
  • C. 相离
  • D. 不能确定
14
如图，⊙O的直径为20cm，弦AB=16cm，OD⊥AB，垂足为D．则AB沿射线OD方向平移    cm时可与⊙D相切．
15
如图，已知在直角坐标系中，半径为2的圆的圆心坐标为（3，-3），当该圆向上平移    或    个单位时，它与x轴相切（按从小到大顺序填写答案）．
16
如图，⊙O的半径为4cm，直线l⊥OA，垂足为O，则直线l沿射线OA方向平移    cm时与⊙O相切．
17
如图，⊙O的圆心O到直线l的距离为3cm，⊙O的半径为1cm，将直线l向右（垂直于l的方向）平移，使l与⊙O相切，则平移的距离为（　　）
  • A. 1cm
  • B. 2cm
  • C. 4cm
  • D. 2cm或4cm
18
切线性质定理
19
如图24 - 45，点P为⊙O上任一点，过点P作直线l与⊙O相切．
20
如图，C为⊙O外一点，CA与⊙O相切，切点为A，AB为⊙O的直径，连接CB．若⊙O的半径为2，∠ABC=60°，则BC=      ．
21
如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25°，则∠C=      度．
22
如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB的长为8cm，则图中阴影部分的面积为    cm2．
23
如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是（　　）
  • A. 30°
  • B. 25°
  • C. 20°
  • D. 15°
24
如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（　　）
  • A. 20°
  • B. 25°
  • C. 40°
  • D. 50°
25
如图所示，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB的长，就计算出了圆环的面积，若测量得AB的长为20米，则圆环的面积为（　　）
  • A. 10平方米
  • B. 10π平方米
  • C. 100平方米
  • D. 100π平方米
26
已知⊙O的直径AB的长为4cm，C是⊙O上一点，∠BAC=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，求BP的长．
27
如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，给出下面3个结论：①AD=CD；②BD=BC；③AB=2BC，其中正确结论的个数是（　　）
  • A. 3个
  • B. 2个
  • C. 1个
  • D. 0个
28
如图，已知∠AOB=30°，P为边OA上一点，且OP=5 cm，若以P为圆心，r为半径的圆与OB相切，则半径r为（　　）
  • A. 5cm
  • B.
    5
    √3
    2
    cm
  • C.
    5
    2
    cm
  • D.
    5
    √3
    3
    cm
29
在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点A（-3，0），点B（0，
√3
），点P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O．若将⊙P沿x轴向左平移，平移后得到⊙P′（点P的对应点为点P′），当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的点P′共有（　　）
  • A. 1个
  • B. 2个
  • C. 3个
  • D. 4个
30
已知，如图，∠AOB=30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，r为半径的⊙M，当⊙M与OA相切时，OM=2cm，则r=    cm．
31
如图，直线y=
√3
3
x+
√3
与x轴、y轴分别相交于A，B两点，圆心P的坐标为(1，0)，圆P与y轴相切于点O．若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是(　　)
  • A. 2
  • B. 3
  • C. 4
  • D. 5
32
切线判定定理
33
已知：如图24 - 46，∠ABC =45°，AB是⊙O的直径，AB =AC．

求证：AC是⊙O的切线．
证明 ∵AB =AC，∠ABC=45°，
∴∠ACB= ∠ABC=45°．
∴∠BAC= 180°-∠ABC-∠ACB =90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴AC是⊙O的切线．
34
如图24 - 47，点P为⊙O外一点，过点P作直线与⊙O相切．
35
如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，EF⊥AC，垂足为F．求证：直线EF是⊙O的切线．
36
如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论正确的个数是(　　)
①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA=
1
2
AC；④DE是⊙O的切线．
  • A. 1个
  • B. 2个
  • C. 3个
  • D. 4个
37
如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是(　　)
  • A. DE=DO
  • B. AB=AC
  • C. CD=DB
  • D. AC∥OD
38
如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA=
1
2
AC；④DE是⊙O的切线，正确的个数是(　　)
  • A. 1 个
  • B. 2个
  • C. 3 个
  • D. 4个
39
切线长定理
40
如图24 - 53，在△ABC中，∠B =43°，∠C=61°，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数．
41
已知：如图24 - 49，四边形ABCD的边AB，BC，CD ，DA和⊙O分别相切于点E，F，G，H．
求证：AB+ CD=DA+ BC．
42
⊙O的圆心到直线l的距离为5 cm，直线l与⊙O有唯一公共点，问⊙O的半径r是多少厘米？
43
已知：⊙O的半径是30 cm，点P与圆心0的距离是60 cm，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，求∠APB的大小与PA的长．
44
在△ABC中，AB =AC =4 cm，以点A为圆心、2 cm为半径的圆与BC相切，求∠BAC的度数．
45
在△ABC中，∠C =90°，a=3，b=4，以点C为圆心，下列r为半径的圆与A占有怎样的位置关系，为什么？
（1）r=2；　　（2）r=2.4；　　（3）r=2.8．
46
如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，直线OP交⊙O于Q，D两点，交AB于点C．

（1）写出图中所有的垂直关系；
（2）写出图中所有的全等三角形．
47
在△ABC中，∠A =80°，点I是内心，求∠BIC的度数．
48
如图，AB与⊙O相切于点C，OA =OB．⊙O的直径为8 cm，AB =6 cm，求OA的长．
49
已知：PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，∠APB=60°，点C是⊙O上异于A，B的任意一点，求∠ACB的大小．
50
在△ABC中，∠C=90°，BC =3，AC =4，求这个三角形的内切圆半径．
51
已知：如图，点P在∠BAC的平分线上，PD⊥AB，垂足为D．
求证：以点P为圆心、PD为半径的圆与∠BAC两边相切．
52
在一块周长为12 cm、面积为6 cm2的三角形材料中作一个内切圆，问这个圆的半径是多少厘米？
53
如图，直线AB过⊙O上的点C，且OA =OB．CA= CB．
求证：直线AB是⊙O的切线．
54
已知：如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD= OB，点C在圆上，∠CAB= 30°
求证：DC是⊙O的切线．
55
1. 在透明纸上画出图24 -48（1），设PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点．沿直线OP将图形折叠，有什么发现？

2．学生证明自己的发现，
如图24-48（2），连接OA，OB．下面如何证明？
___
___
___
___
∴PA =PB . ∠APO = ∠BPO．
56
有一块三角形材料，如何从中剪下一个面积最大的圆？
（1）如果最大圆存在，它与三角形的各边应有怎样的位置关系？
 如图24 - 50，⊙O按其位置与三角形的边是否相切分四种情形：图24-50（1）的⊙O与三边都不相切，图24 - 50（2）的⊙O只与一边相切，图24 - 50（3）的⊙O与两边相切，图24 - 50（4）的⊙O与三边都相切．
图24-50（1）（2）（3）中的圆面积都不是最大的（试一试，可作出一个面积更大的圆来），由此猜想：
要使剪下的圆面积最大，这个圆应与三角形的三边都相切，如图24 -50（4）．
（2）求作一个圆，使它和已知三角形的各边都相切．
如图24-51，如果半径为r的⊙I与△ABC的三边都相切，那么其圆心，应与△ABC的三边距离相等，都等于半径r，所以圆心I应是三角形的三条角平分线的交点．
57
如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P=46°，则∠BAC=    度．
58
如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=50°，则∠BAC=    °．
59
如图，直尺、三角尺都和圆O相切，AB=8cm．则圆O的直径为(　　)
  • A. 14
    √2
    cm
  • B. 16
    √3
    cm
  • C. 14
    √3
    cm
  • D. 16
    √2
    cm
60
如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，已知⊙O的半径为2，∠P=60°，则弦AB的长为（      ）
  • A. 2
    √3
  • B. 3
    √2
  • C. 2
    √2
  • D. 2
    √5
61
如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为(　　)
  • A. 5
  • B. 7
  • C. 8
  • D. 10
62
如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PA=10cm，C是劣弧AB上的点(不与点A、B重合)，过点C的切线分别交PA、PB于点E、F．则△PEF的周长为(　　)
  • A. 10cm
  • B. 15cm
  • C. 20cm
  • D. 25cm
63
如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB=10，BC=7，CD=8，则AD的长度为（　　）
  • A. 8
  • B. 9
  • C. 10
  • D. 11
64
如图，若△ABC的三边长分别为AB=9，BC=5，CA=6，△ABC的内切圆⊙O切AB、BC、AC于D、E、F，则AF的长为(　　)
  • A. 5
  • B. 10
  • C. 7.5
  • D. 4
65
········ THE END ········
直线与圆的位置关系、三角形的内切圆
下一节：
正多边形与圆
· 正多边形与圆
· 正多边形的性质
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