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弧长与扇形面积、综合与实践
弧长介绍：

1. 弧长及弧长公式：弧长等于圆的周长乘以圆心角除以360度。
一滑轮装置如图24-63，滑轮的半径R=1O cm，当重物上升15.7 cm时，问滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度？（假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14）
解答解 设半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转n°，则
nπR
180
=15.7
解方程，得 n=90．
答：滑轮按逆时针方向旋转的角度约为90°．
古希腊埃拉托塞尼曾给出一个估算地球周长（或子午圈长）的简单方法．如图24 - 64，点S和点A分别表示埃及的赛伊尼和亚历山大两地，亚历山大在赛伊尼的北方，两地的经度大致相同，两地的实际距离为5 000希腊里（1希腊里≈158.5 m）．当太阳光线在赛伊尼直射时，同一时刻在亚历山大测量太阳光线偏离直射方向的角为α，实际测得α是7.2°，由此估算出了地球的周长，你能进行计算吗？
解答解 因为太阳光线可看作平行的，所以圆心角∠AOS =α =7.20．
设地球的周长（即⊙O的周长）为C，则
C
⌒AS
=
360°
7.2°
=50，
∴C=50⌒AS=50×5000=250 000（希腊里）≈39 625（ km）．
答：地球的周长约为39 625 km．
已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为（　　）
  • A.
    3π
    4
  • B. 2π
  • C. 3π
  • D. 12π
分析根据弧长公式l=
nπr
180
，代入相应数值进行计算即可．
解答根据弧长公式：l=
45•π•12
180
=3π，
故选：C．
点评此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式l=
nπr
180
．
在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则⌒AB的长等于（　　）
  • A.
    π
    3
  • B.
    π
    2
  • C.
    2π
    3
  • D.
    3π
    2
分析连接OA、OB，求出圆心角∠AOB的度数，代入弧长公式求出即可．
解答解：连接OA、OB，
∵OA=OB=AB=2，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴⌒AB的长为：
60π×2
180
=
2π
3
，
故选：C．
点评本题考查了弧长公式，等边三角形的性质和判定的应用，注意：已知圆的半径是R，弧AB对的圆心角的度数是n°，则弧AB的长=
nπR
180
．
已知一个扇形的半径为12，圆心角为150°，则此扇形的弧长是（　　）
  • A. 5π
  • B. 6π
  • C. 8π
  • D. 10π
分析☆直接利用弧长公式l=
nπr
180
求出即可．
解答此扇形的弧长是：
150π×12
180
=10π．
故选：D．
点评此题主要考查了弧长计算，正确记忆弧长公式是解题关键．
如图，AB是半圆的直径，AB=2，∠B=30°，则⌒BC的长为（　　）
  • A.
    1
    3
    π
  • B.
    2
    3
    π
  • C. π
  • D.
    4
    3
分析首先连接CO，再利用圆周角定理计算出圆心角∠COB的度数，然后利用弧长公式进行计算即可．
解答解：连接CO，
∵AB=2，
∴OB=1，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠B=30°，
∴∠A=60°，
∴∠COB=120°，
∴⌒BC=
120•π•1
180
=
2
3
π，
故选：B．
点评此题主要考查了圆周角定理，以及弧长计算，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
若扇形的圆心角为60°，弧长为2π，则扇形的半径为      ．
分析□利用扇形的弧长公式表示出扇形的弧长，将已知的圆心角及弧长代入，即可求出扇形的半径．
解答解：∵扇形的圆心角为60°，弧长为2π，
∴l=
nπR
180
，即2π=
60π•R
180
，
则扇形的半径R=6．
故答案为：6
点评此题考查了弧长的计算公式，扇形的弧长公式为l=
nπR
180
（n为扇形的圆心角度数，R为扇形的半径），熟练掌握弧长公式是解本题的关键．
一个扇形的半径为8cm，弧长为
16
3
πcm，则扇形的圆心角为      °．
分析设扇形的圆心角为n°，根据弧长公式得到
16
3
π=
n•π•8
180
，然后解方程即可．
解答解：设扇形的圆心角为n°，
根据题意得
16
3
π=
n•π•8
180
，解得n=120，
所以扇形的圆心角为120°．
故答案为120°．
点评本题考查了弧长的计算：l=
nπR
180
(弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R)．
圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为（　　）
  • A. 6
  • B. 9
  • C. 18
  • D. 36
分析☆根据弧长的公式l=
nπr
180
进行计算．
解答设该扇形的半径是r．
根据弧长的公式l=
nπr
180
，
得到：12π=
120πr
180
，
解得 r=18，
故选：C．
点评本题考查了弧长的计算．熟记公式是解题的关键．
扇形的半径是6cm，弧长是2πcm，则此扇形的圆心角为      度．
分析根据弧长公式求解即可．
解答解：∵l=
nπr
180
，
解得：n=
180×2π
π×6
=60．
故答案为：60．
点评本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式l=
nπr
180
．
扇形面积介绍：

1. 扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则：
S扇形=nπR^2/360；
2. S扇形=lR/2（其中l为扇形的弧长）。
如图24 - 66，圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为80 cm，母线为50 cm在一块大铁皮上剪裁时，如何画出这个烟囱帽的侧面展开图？求出该侧面展开图的面积．
解答解 烟囱帽的侧面展开图是扇形，如图24 - 67，设该扇
形的面积为S．
在铁皮上画一个扇形，除需知道扇形半径l外，还需知道扇形圆心角α．由刚学过的弧长计算方法，可得
2πr=
α
360°
•2πl．

∴α= 360°×
r
l
= 360°×
40
50
= 288°．
S =
α
360°
•πl2=
288°
360°
×502π= 2 000π（cm2）．
已知：扇形AOB的半径为12 cm，∠AOB =120°，求⌒AB的长度和扇形AOB的面积．
已知：扇形的圆心角为150°，弧长为20π，求扇形面积．
如图，圆柱形排水管的截面半径OC=0.6m，水面高DC=0.3m，求截面中有水部分的面积．
如图，把圆锥的侧面展开得到扇形，其半径OA=3，圆心角∠AOB=120°，求⌒AB的长．
半径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积为      cm2．
分析直接利用扇形面积公式求出即可．
解答解：半径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积为：
60π×42
360
=
8
3
π(cm2)．
故答案为：
8
3
π．
点评此题主要考查了扇形的面积公式应用，熟练记忆扇形面积公式是解题关键．
一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的半径是      cm．
分析根据扇形的面积公式求出半径，扇形的面积公式=
1
2
lr．
解答根据题意得240π=
1
2
×20πr，
解得r=24．
故答案是24cm．
点评本题主要考查扇形的面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
已知扇形的面积为4π，半径为4，则弧长为      ，圆心角是      °．
分析□根据扇形的弧长公式和面积公式解答．
解答解：设扇形弧长为l，面积为s，圆心角为n，半径为r．
∵
1
2
lr=4π，
∴
1
2
×4×l=4π，
∴l=2π，
∵
nπr2
360
=4π，
∴
nπ42
360
=4π，
∴n=90°，
故答案为2π，90．
点评本题考查了扇形面积的计算，弧长的计算，熟悉扇形的面积公式和弧长公式是解题的关键．
一个扇形所在圆的半径为3cm，扇形的圆心角为120°，则扇形的面积是
      cm2．(结果保留π)
分析☆把相应数值代入s=
nπr2
360
求值即可．
解答解：s=
nπr2
360
=3πcm2．
点评主要考查了扇形面积的求算方法．面积公式有两种：
(1)利用圆心角和半径：s=
nπr2
360
；
(2)利用弧长和半径：s=
1
2
lr．针对具体的题型选择合适的方法．
已知扇形的面积为2π，半径为3，则该扇形的弧长为    (结果保留π)．
分析☆利用扇形的面积公式S扇形=
1
2
lR(其中l为扇形的弧长，R为扇形所在圆的半径)求解即可．
解答解：设扇形的弧长为l，
由题意，得
1
2
l×3=2π，
解得l=
4π
3
．
故答案为
4
3
π．
点评本题主要考查了扇形的面积公式，计算扇形的面积有2个公式：S扇形=
nπR2
360
或S扇形=
1
2
lR(其中n为圆心角的度数，R为扇形所在圆的半径，l为扇形的弧长)，需根据条件灵活选择公式．
已知扇形的面积为
3π
8
，半径为1，则扇形的圆心角为      °．
分析☆根据扇形的面积公式S=
nπr2
360
，得n=
360s
πr2
，计算可得答案．
解答解：根据扇形的面积公式，得
n=
360s
πr2
=135°．
故答案为：135°．
点评此题主要是能够灵活运用扇形的面积公式以及计算能力．解决本题的关键在于对公式的熟练掌握以及灵活运用．
如图，以等腰直角△ABC两锐角顶点A、B为圆心作等圆，⊙A与⊙B恰好外切，若AC=2，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（　　）
  • A.
    π
    4
  • B.
    π
    2
  • C.
    √2
    π
    2
  • D.
    √2
    π
分析根据直角三角形的两锐角互余，即可得到∠A+∠B=90°，再由⊙A与⊙B恰好外切且是等圆，根据扇形的面积公式即可求解．
解答解：∵AC=2，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=2
√2
，
∵⊙A与⊙B恰好外切且是等圆，
∴两个扇形（即阴影部分）的面积之和=
∠AπR2
360
+
∠BπR2
360
=
(∠A+∠B)πR2
360
=
1
4
πR2=
π
2
．
故选B．
点评本题考查了扇形的面积计算及相切两圆的性质，解答本题的关键是得出两扇形面积之和的表达式，难度一般．
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，两等圆⊙A，⊙B外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为    ．
分析根据题意，可得阴影部分的面积等于圆心角为90°的扇形的面积．
解答解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴扇形的半径为5，
∴阴影部分的面积=
90π52
360
=
25
4
π．
点评解决本题的关键是把两个阴影部分的面积整理为一个规则扇形的面积．
圆锥介绍：

1. 圆锥的相关概念：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线；连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高；圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长；
2. 与圆锥有关的计算。
圆锥的母线长为4，底面半径为2，则此圆锥的侧面积是(　　)
  • A. 6π
  • B. 8π
  • C. 12π
  • D. 16π
分析根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
解答解：此圆锥的侧面积=
1
2
•4•2π•2=8π．
故选：B．
点评本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
底面半径为4，高为3的圆锥的侧面积是(　　)
  • A. 12π
  • B. 15π
  • C. 20π
  • D. 36π
分析首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．
解答∵圆锥的底面半径为4，高为3，
∴母线长为5，
∴圆锥的侧面积为：πrl=π×4×5=20π，
故选：C．
点评本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的侧面积为（　　）
  • A. 2πcm2
  • B. 4πcm2
  • C. 8πcm2
  • D. 16πcm2
分析俯视图为圆的只有圆锥，圆柱，球，根据主视图和左视图都是三角形可得到此几何体为圆锥，那么侧面积=底面周长×母线长÷2．
解答此几何体为圆锥；
∵半径为1，圆锥母线长为4，
∴侧面积=2πrR÷2=2π×1×4÷2=4π；
故选：B．
点评本题考查了圆锥的计算，该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和高是解本题的关键；本题体现了数形结合的数学思想，注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形．
已知圆锥的母线长为3，底面的半径为2，则圆锥的侧面积是（　　）
  • A. 4π
  • B. 6π
  • C. 10π
  • D. 12π
分析根据锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算即可．
解答圆锥的侧面积=
1
2
•2π•2•3=6π．
故选：B．
点评本题考查了圆锥的计算：锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
如图，某同学用一扇形纸板为一个玩偶制作一个圆锥形帽子，已知扇形半径OA=13cm，扇形的弧长为10πcm，那么这个圆锥形帽子的高是______cm．（不考虑接缝）
  • A. 5
  • B. 12
  • C. 13
  • D. 14
分析首先求得圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．
解答解：先求底面圆的半径，即2πr=10π，r=5cm，
∵扇形的半径13cm，
∴圆锥的高=
√132-52
=12cm．
故选：B．
点评此题主要考查圆锥的侧面展开图和勾股定理的应用，牢记有关公式是解答本题的关键，难度不大．
一个立体图形的三视图如图，根据图中数据求得这个立体图形的侧面积为（　　）
  • A. 12π
  • B. 15π
  • C. 18π
  • D. 24π
分析从主视图以及左视图都为一个三角形，俯视图为一个圆形看，可以确定这个几何体为一个圆锥，由三视图可知圆锥的底面半径为3，高为4，故母线长为5，据此可以求得其侧面积．
解答由三视图可知圆锥的底面半径为3，高为4，所以母线长为5，
所以侧面积为πrl=3×5π=15π，
故选：B．
点评本题主要考查了由三视图确定几何体和求圆锥的侧面积．牢记公式是解题的关键，难度不大．
········ THE END ········
弧长与扇形面积、综合与实践
下一节：
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弧长
1
一滑轮装置如图24-63，滑轮的半径R=1O cm，当重物上升15.7 cm时，问滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度？（假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14）
2
古希腊埃拉托塞尼曾给出一个估算地球周长（或子午圈长）的简单方法．如图24 - 64，点S和点A分别表示埃及的赛伊尼和亚历山大两地，亚历山大在赛伊尼的北方，两地的经度大致相同，两地的实际距离为5 000希腊里（1希腊里≈158.5 m）．当太阳光线在赛伊尼直射时，同一时刻在亚历山大测量太阳光线偏离直射方向的角为α，实际测得α是7.2°，由此估算出了地球的周长，你能进行计算吗？
3
已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为（　　）
  • A.
    3π
    4
  • B. 2π
  • C. 3π
  • D. 12π
4
在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则⌒AB的长等于（　　）
  • A.
    π
    3
  • B.
    π
    2
  • C.
    2π
    3
  • D.
    3π
    2
5
已知一个扇形的半径为12，圆心角为150°，则此扇形的弧长是（　　）
  • A. 5π
  • B. 6π
  • C. 8π
  • D. 10π
6
如图，AB是半圆的直径，AB=2，∠B=30°，则⌒BC的长为（　　）
  • A.
    1
    3
    π
  • B.
    2
    3
    π
  • C. π
  • D.
    4
    3
7
若扇形的圆心角为60°，弧长为2π，则扇形的半径为      ．
8
一个扇形的半径为8cm，弧长为
16
3
πcm，则扇形的圆心角为      °．
9
圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为（　　）
  • A. 6
  • B. 9
  • C. 18
  • D. 36
10
扇形的半径是6cm，弧长是2πcm，则此扇形的圆心角为      度．
11
扇形面积
12
如图24 - 66，圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为80 cm，母线为50 cm在一块大铁皮上剪裁时，如何画出这个烟囱帽的侧面展开图？求出该侧面展开图的面积．
13
已知：扇形AOB的半径为12 cm，∠AOB =120°，求⌒AB的长度和扇形AOB的面积．
14
已知：扇形的圆心角为150°，弧长为20π，求扇形面积．
15
如图，圆柱形排水管的截面半径OC=0.6m，水面高DC=0.3m，求截面中有水部分的面积．
16
如图，把圆锥的侧面展开得到扇形，其半径OA=3，圆心角∠AOB=120°，求⌒AB的长．
17
半径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积为      cm2．
18
一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的半径是      cm．
19
已知扇形的面积为4π，半径为4，则弧长为      ，圆心角是      °．
20
一个扇形所在圆的半径为3cm，扇形的圆心角为120°，则扇形的面积是
      cm2．(结果保留π)
21
已知扇形的面积为2π，半径为3，则该扇形的弧长为    (结果保留π)．
22
已知扇形的面积为
3π
8
，半径为1，则扇形的圆心角为      °．
23
如图，以等腰直角△ABC两锐角顶点A、B为圆心作等圆，⊙A与⊙B恰好外切，若AC=2，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（　　）
  • A.
    π
    4
  • B.
    π
    2
  • C.
    √2
    π
    2
  • D.
    √2
    π
24
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，两等圆⊙A，⊙B外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为    ．
25
圆锥
26
圆锥的母线长为4，底面半径为2，则此圆锥的侧面积是(　　)
  • A. 6π
  • B. 8π
  • C. 12π
  • D. 16π
27
底面半径为4，高为3的圆锥的侧面积是(　　)
  • A. 12π
  • B. 15π
  • C. 20π
  • D. 36π
28
一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的侧面积为（　　）
  • A. 2πcm2
  • B. 4πcm2
  • C. 8πcm2
  • D. 16πcm2
29
已知圆锥的母线长为3，底面的半径为2，则圆锥的侧面积是（　　）
  • A. 4π
  • B. 6π
  • C. 10π
  • D. 12π
30
如图，某同学用一扇形纸板为一个玩偶制作一个圆锥形帽子，已知扇形半径OA=13cm，扇形的弧长为10πcm，那么这个圆锥形帽子的高是______cm．（不考虑接缝）
  • A. 5
  • B. 12
  • C. 13
  • D. 14
31
一个立体图形的三视图如图，根据图中数据求得这个立体图形的侧面积为（　　）
  • A. 12π
  • B. 15π
  • C. 18π
  • D. 24π
32
········ THE END ········
弧长与扇形面积、综合与实践
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特殊考题
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