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利用三角形全等测距离介绍：

1. 理解利用三角形全等测距离的原理；
2. 能够设计利用三角形全等测距离的方案。

如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A、B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出A、B间的距离．设计一个方案，测出
A、B间的距离，理由是．(用SSS、ASA、AAS、SAS填空)

分析根据全等三角形，进行设计方案．

解答

如图，BO=CO，AO=DO，∠AOB=∠DOC，所以△ABO≌△DCO(SAS)，也就是AB=DC．

点评考察全等三角形判定．

如图，将两根等长钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点
O自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于容器内径A′B′，理由是．(用SSS、ASA、AAS、SAS填空)

分析根据全等三角形，进行设计方案．

解答如图，BO=B’O，AO=A’O，∠AOB=∠A’OB’，所以△ABO≌△A’B’O(SAS)，也就是AB=A’B’．

点评考察全等三角形判定．

还原残缺三角形的原理介绍：

1. 利用三角形全等的判定，解决三角形碎片还原残缺三角形的实际问题。

如图，某同学把一块三角形状的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是带③去，依据是三角形的全等判定（　　）

A. SAS
B. ASA
C. SSS
D. AAS

分析根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形．

解答解：根据三角形全等的判定方法，根据角边角可确定一个全等三角形，
只有第三块玻璃包括了两角和它们的夹边，只有带③去才能配一块完全一样的玻璃，是符合题意的．
故选：B．

点评本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时要根据已知条件进行选择应用．

小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块，如图①②③，他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，你认为应带（　　）

A. ①
B. ②
C. ③
D. ①和②

分析根据全等三角形的判定方法解答即可．

解答解：带③去可以利用“角边角”得到全等的三角形．
故选C．

点评本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．

待处理介绍：

全等三角形判定的技巧：
1. 全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件；
2. 在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形。

如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是(　　)

A. ∠A=∠C
B. AD=CB
C. DF=BE
D. AD∥BC

分析首先推出AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．

解答解：∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
A、∵在△ADF和△CBE中

∴△ADF≌△CBE(ASA)，正确，故本选项错误；
B、根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项正确；
C、∵在△ADF和△CBE中

∴△ADF≌△CBE(SAS)，正确，故本选项错误；
D、∵AD∥BC，
∴∠A=∠C，
∵在△ADF和△CBE中

∴△ADF≌△CBE(ASA)，正确，故本选项错误；
故选B．

点评本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．

如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF(　　)

A. AC∥DF
B. ∠A=∠D
C. AC=DF
D. ∠ACB=∠F

分析根据全等三角形的判定定理，即可得出答．

解答∵AB=DE，∠B=∠DEF，
∴添加AC∥DF，得出∠ACB=∠F，即可证明△ABC≌△DEF，故A、D都正确；
当添加∠A=∠D时，根据ASA，也可证明△ABC≌△DEF，故B正确；
但添加AC=DF时，没有SSA定理，不能证明△ABC≌△DEF，故C不正确；
故选：C．

点评本题考查了全等三角形的判定定理，证明三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，还有直角三角形的HL定理．

如图，AB=AC，D，E分别是AB，AC上的点，下列条件中不能证明△ABE≌△ACD的是(　　)

A. AE=AD
B. CE=BD
C. BE=CD
D. ∠B=∠C

分析欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．

解答∵AB=AC，∠A为公共角，
A、如添加AE=AD，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
B、如添CE=BD，可证明AE=AD，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
C、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件；
D、如添∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；
故选C．

点评此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（　　）

A. ∠BCA=∠F
B. ∠B=∠E
C. BC∥EF
D. ∠A=∠EDF

分析全等三角形的判定方法SAS是指有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形全等，已知AB=DE，BC=EF，其两边的夹角是∠B和∠E，只要求出∠B=∠E即可．

解答解：A、根据AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
B、∵在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），故本选项正确；
C、∵BC∥EF，
∴∠BCA=∠F，根据AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
D、根据AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误．
故选B．

点评本题考查了对平行线的性质和全等三角形的判定的应用，注意：有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形才全等，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．

多次证明全等介绍：

1. 需要证明多次全等类问题的方法和技巧。

如图（1），已知两个全等三角形的直角顶点及一条直角边重合．将△ACB绕点C按顺时针方向旋转到△A′CB′的位置，其中A′C交直线AD于点E，A′B′分别交直线AD、AC于点F、G，则在图（2）中，全等三角形共有（　　）

A. 5对
B. 4对
C. 3对
D. 2对

分析根据三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

解答旋转后的图中，全等的三角形有：△B′CG≌△DCE，△A′B′C≌△ADC，△AGF≌△A′EF，
△ACE≌△A′CG，共4对．
故选：B．

点评本题考查图形的旋转和三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，难度不大．

如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（　　）

A. 1对
B. 2对
C. 3对
D. 4对

分析首先证明△ABC≌△ADC，根据全等三角形的性质可得∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，再证明△ABO≌△ADO，△BOC≌△DOC．

解答解：∵在△ABC和△ADC中

{	AB=AD BC=DC AC=AC

，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，
∵在△ABO和△ADO中

{	AB=AD ∠BAO=∠DAO AO=AO

，
∴△ABO≌△ADO（SAS），
∵在△BOC和△DOC中

{	BC=DC ∠BCO=∠DCO CO=CO

，
∴△BOC≌△DOC（SAS），
故选：C．

点评考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，结论：①EM=FN；②CD=DN；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM．其中正确的有（　　）

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

分析根据已知的条件，可由AAS判定△AEB≌△AFC，进而可根据全等三角形得出的结论来判断各选项是否正确．

解答解：∵

{	∠E=∠F=90° ∠B=∠C AE=AF

，
∴△AEB≌△AFC（AAS）；
∴∠EAN=∠FAM，
∴∠EAN-∠MAN=∠FAM-∠MAN，即∠EAM=∠FAN；（故③正确）
又∵∠E=∠F=90°，AE=AF，
∴△EAM≌△FAN（ASA）；
∴EM=FN；（故①正确）
由△AEB≌△AFC知：∠C=∠B，AC=AB；
又∵∠CAB=∠BAC，
∴△ACN≌△ABM；（故④正确）
由于条件不足，无法证得②CD=DN；故正确的结论有：①③④；
故选C．

点评此题主要考查的是全等三角形的判定和性质，做题时要从最容易，最简单的开始，由易到难．

如图，∠1=∠2，∠B=∠C，结论中不正确的是（　　）

A. △DAB≌△DAC
B. △DEA≌△DFA
C. CD=DE
D. ∠AED=∠AFD

分析根据条件可以得出△DAB≌△DAC，△DEA≌△DFA，由全等三角形的性质可以得出∠AED=∠AFD，DE=DF，从而得出结论．

解答解：在△DAB和△DAC中

{	∠1=∠2 ∠B=∠C AD=AD

，
∴△DAB≌△DAC（AAS），
∴AB=AC．
在△ABF和△ACE中

{	∠BAC=∠CAB AB=AC ∠B=∠C

，
∴△ABF≌△ACE（ASA）
∴AF=AE．
在△DEA和△DFA中

{	AE=AF ∠1=∠2 AD=AD

∴△DEA≌△DFA（SAS），
∴∠AED=∠AFD，DE=DF．
∴C不正确．
故选C．

点评本题考查了运用AAS，ASA，SAS证明三角形全等的应用，全等三角形的性质的应用，解答时应用全等三角形的性质求解是关键．

待处理介绍：

1. 图中有全等要先证全等，再利用全等的边角关系。

如图，点A，E，B，D在同一直线上，AE=DB，AC=DF，AC∥DF．则BC与EF的位置关系为（　　）

A. BC∥EF
B. BC⊥EF
C. BC与EF相交但不垂直
D. 以上都不正确

分析点A、E、B、D在同一直线上，AE=DB，AC=DF，AC∥DF，易证△ABC≌△DEF，可得BC∥EF．

解答解：BC∥EF．理由如下：
∵AE=DB（已知）
∴AE+EB=DB+BE（等式的性质）
∴AB=DE
又∵AC∥DF（已知）
∴∠A=∠D（两直线平行，内错角相等）
在△ABC和△DEF中

{	AB=DE(已证) ∠A=∠D(已证) AC=DF(已知)

∴△ABC≌△DEF（SAS）
∴∠ABC=∠DEF（全等三角形的对应角相等）
∴BC∥EF（内错角相等，两直线平行）．
故答案为A．

点评此题考查了全等三角形的判定、性质和平行线的判定等知识．

如图，已知点E、C在线段BF上，BE=CF，AB∥DE，AB=DE．则下列说法正确的是（　　）

A. BC∥EF
B. AC∥DF
C. AB∥DF
D. 以上都不正确

分析首先由BE=CF可以得到BC=EF，然后利用边角边证明△ABC≌△DEF，最后利用全等三角形的性质和平行线的判定即可解决问题．

解答证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC即BC=EF，
∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
在△ABC和△DEF中，

{	AB=DE ∠B=∠DEF BC=EF

，
∴△ABC≌△DEF（SAS）
∴∠ACB=∠F，
∴AC∥DF．
故选B．

点评本题主要考查了全等三角形的性质与判定，同时也考查了平行线的判定．

三垂直模型介绍：

1. 三垂直全等模型的结论及其应用。

如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件，使得△EAB≌△BCD（　　）

A. ∠EBD=60°
B. ∠E=∠EBA
C. EB=BC
D. AE=CB

分析可以根据全等三角形的不同的判定方法添加不同的条件．

解答解：∵∠A=∠C=90°，AB=CD，
∴若利用“SAS”，可添加AE=CB，
若利用“HL”，可添加EB=BD，
若利用“ASA”或“AAS”，可添加∠EBD=90°，
若添加∠E=∠DBC，可利用“AAS”证明．
综上所述，可添加的条件为AE=CB（或EB=BD或∠EBD=90°或∠E=∠DBC等）．
故答案为：D．

点评本题主要考查了全等三角形的判定，开放型题目，根据不同的三角形全等的判定方法可以选择添加的条件也不相同．

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是经过A点的一条直线，且B、C在AE的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，CE=2，BD=6，则DE的长为．

分析求出∠ADB=∠AEC，∠DBA=∠CAE，根据AAS证△ABD≌△CAE，推出BD=AE，AD=CE求出AE和AD即可．

解答解：∵BD⊥AE，CE⊥AE，∠BAC=90°，
∴∠ADB=∠AEC=∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAE=90°，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ABD和△CAE中

{	∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠AEC AB=AC

，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵CE=2，BD=6，
∴AE=6，AD=2，
∴DE=AE-AD=4，
故答案为：4．

点评本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形，关键是求出AE=BD，CE=AD．

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE= cm．

分析根据直角三角形的两锐角互余的性质求出∠ECF=∠B，然后利用“角边角”证明△ABC和△FCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=EF，再根据AE=AC-CE，代入数据计算即可得解．

解答解：∵∠ACB=90°，
∴∠ECF+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠ECF=∠B（等角的余角相等），
在△FCE和△ABC中，

{	∠ECF=∠B EC=BC ∠ACB=∠FEC=90°

，
∴△ABC≌△FEC（ASA），
∴AC=EF，
∵AE=AC-CE，BC=2cm，EF=5cm，
∴AE=5-2=3cm．
故答案为：3．

点评本题考查了全等三角形的判定与性质，根据直角三角形的性质证明得到∠ECF=∠B是解题的关键．

如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为．

分析根据正方形的性质、直角三角形两个锐角互余以及等量代换可以证得△AFB≌△DEA；然后由全等三角形的对应边相等推知AF=DE、BF=AE，所以EF=AF+AE=13．

解答解：∵ABCD是正方形（已知），
∴AB=AD，∠BAD=90°；
又∵∠FAB+∠FBA=∠FAB+∠EAD=90°，
∴∠FBA=∠EAD（等量代换）；
∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，
∴在Rt△AFB和Rt△DEA中，
∵

{	∠AFB=∠DEA=90° ∠FBA=∠EAD AB=DA

，
∴△AFB≌△DEA（AAS），
∴AF=DE=8，BF=AE=5（全等三角形的对应边相等），
∴EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13．
故答案为：13．

点评本题考查了全等三角形的判定．实际上，此题就是将EF的长度转化为与已知长度的线段DE和BF数量关系．

如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于D，AD=5cm，DE=2cm，则BE的长为 cm．

分析根据题中给出的条件易证△ACD≌△CBE，根据全等三角形对应边相等的性质可得AD=CE，CD=BE，即可求得CD的长，即可解题．

解答解：∵∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ACD和△CBE中，

{	∠ADC=∠CEB=90° ∠BCE=∠CAD AC=BC

，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴BE=CD=CE-DE=AD-DE=3cm，
故答案为 3．

点评本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ACD≌△CBE是解题的关键．

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若AE=5cm，则AC= cm．

分析根据直角三角形的两锐角互余的性质求出∠ECF=∠B，然后利用"角边角"证明△ABC和△FCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=EF，再根据AE=AC-CE，代入数据计算即可得解．

解答解：∵∠ACB=90°，
∴∠ECF+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠ECF=∠B（等角的余角相等），
在△FCE和△ABC中，

{	∠ECF=∠B EC=BC ∠ACB=∠FEC=90°

，
∴△ABC≌△FEC（ASA），
∴AC=EF，
∵AC=AE+CE，BC=2cm，AE=5cm，
∴AE=5+2=7cm．
故答案为：7．

点评本题考查了全等三角形的判定与性质，根据直角三角形的性质证明得到∠ECF=∠B是解题的关键．

········ THE END ········

特殊考点

轴对称

· 轴对称

· 垂直平分线

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A. SAS
B. ASA
C. SSS
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