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特殊考点
看图象判断abc介绍:

1. 二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小;
2. 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置;
3. 常数项c决定抛物线与y轴交点;
4. 判别式决定抛物线与x轴交点个数。
如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是x=1,下列结论正确的是(  )
  • A. b2>4ac
  • B. ac>0
  • C. a-b+c>0
  • D. 4a+2b+c<0
分析根据抛物线与x轴有两个交点有b2-4ac>0可对A进行判断;由抛物线开口向下得a<0,由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c>0,则可对B进行判断;根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为(-1,0),所以a-b+c=0,则可对C选项进行判断;由于x=2时,函数值大于0,则有4a+2b+c>0,于是可对D选项进行判断.
解答∵抛物线与x轴有两个交点,
∴b
2-4ac>0,即b2>4ac,所以A选项正确;
∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,
∴c>0,
∴ac<0,所以B选项错误;
∵抛物线过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是x=1,
∴抛物线与x轴的另一个交点为(-1,0),
∴a-b+c=0,所以C选项错误;
∵当x=2时,y>0,
∴4a+2b+c>0,所以D选项错误.
故选:A.
点评本题考查了二次函数的图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线,当a>0,抛物线开口向上;对称轴为直线x=-
b
2a
;抛物线与y轴的交点坐标为(0,c);当b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点;当b2-4ac=0,抛物线与x轴有一个交点;当b2-4ac<0,抛物线与x轴没有交点.
已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图,其中正确的是(  )
  • A.
  • B.
  • C.
  • D.
分析本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负,再与一次函数和反比例函数的图象相比较看是否一致.逐一排除.
解答A、由二次函数的图象可知a<0,此时直线y=ax+b经过二、四象限,故A可排除;
B、二次函数的图象可知a<0,对称轴在y轴的右侧,可知a、b异号,b>0,此时直线y=ax+b经过一、二、四象限,故B可排除;
C、二次函数的图象可知a>0,此时直线y=ax+b经过一、三,故C可排除;
正确的只有D.
故选:D.
点评此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象,应该识记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限,以及熟练掌握二次函数的有关性质:开口方向、对称轴、顶点坐标等.
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论正确的是(  )
  • A. a<0,b<0,c>0,b2-4ac>0
  • B. a>0,b<0,c>0,b2-4ac<0
  • C. a<0,b>0,c<0,b2-4ac>0
  • D. a<0,b>0,c>0,b2-4ac>0
分析由抛物线的开口方向判断a与0的关系,再结合抛物线的对称轴与y轴的关系判断b与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,根据抛物线与x轴交点的个数判断b2-4ac与0的关系.
解答解:∵抛物线的开口向下,
∴a<0,
∵对称轴在y轴右边,
∴a,b异号即b>0,
∵抛物线与y轴的交点在正半轴,
∴c>0,
∵抛物线与x轴有2个交点,
∴b
2-4ac>0.
故选D.
点评二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定:
(1)a由抛物线开口方向确定:开口方向向上,则a>0;否则a<0.
(2)b由对称轴和a的符号确定:由对称轴公式x=
-
b
2a
判断符号.
(3)c由抛物线与y轴的交点确定:交点在y轴正半轴,则c>0;否则c<0.
(4)b
2-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定:2个交点,b2-4ac>0;1个交点,b2-4ac=0;没有交点,b2-4ac<0.
二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+c的图象不经过第______象限.
  • A.
  • B.
  • C.
  • D.
分析由抛物线的对称轴在y轴右侧,得到a与b异号,根据抛物线开口向下得到a小于0,故b大于0,再利用抛物线与y轴交点在y轴正半轴,得到c大于0,利用一次函数的性质即可判断出一次函数y=bx+c不经过的象限.
解答根据图象得:a<0,b>0,c>0,
故一次函数y=bx+c的图象不经过第四象限.
故答案为:D.
点评此题考查了二次函数图象与系数的关系,以及一次函数图象与系数的关系,熟练掌握一次、二次函数的图象与性质是解本题的关键.
如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是过点(1,0)且平行于y轴的直线,若点P(4,0)在该抛物线上,则4a-2b+c的值为    
分析依据抛物线的对称性求得与x轴的另一个交点,代入解析式即可.
解答解:设抛物线与x轴的另一个交点是Q,
∵抛物线的对称轴是过点(1,0),与x轴的一个交点是P(4,0),
∴与x轴的另一个交点Q(-2,0),
把(-2,0)代入解析式得:0=4a-2b+c,
∴4a-2b+c=0,
故答案为:0.
点评本题考查了抛物线的对称性,知道与x轴的一个交点和对称轴,能够表示出与x轴的另一个交点,求得另一个交点坐标是本题的关键.
如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点B坐标(-1,0),下面的四个结论:①OA=3;②a+b+c<0;③ac>0;④b2-4ac>0.其中正确的结论是(  )
  • A. ①④
  • B. ①③
  • C. ②④
  • D. ①②
分析根据点B坐标和对称轴求出A的坐标,即可判断①;由图象可知:当x=1时,y>0,把x=1代入二次函数的解析式,即可判断②;抛物线的开口向下,与y轴的交点在y轴的正半轴上,得出a<0,c>0,即可判断③;根据抛物线与x轴有两个交点,即可判断④.
解答解:∵点B坐标(-1,0),对称轴是直线x=1,
∴A的坐标是(3,0),
∴OA=3,∴①正确;
∵由图象可知:当x=1时,y>0,
∴把x=1代入二次函数的解析式得:y=a+b+c>0,∴②错误;
∵抛物线的开口向下,与y轴的交点在y轴的正半轴上,
∴a<0,c>0,
∴ac<0,∴③错误;
∵抛物线与x轴有两个交点,
∴b2-4ac>0,∴④正确;
故选A.
点评本题考查了二次函数图象与系数的关系的应用,主要考查学生的观察图象的能力和理解能力,是一道比较容易出错的题目,但题型比较好.
如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是直线x=1,且经过点P(3,0),则a-b+c的值为(  )
  • A. 0
  • B. -1
  • C. 1
  • D. 2
分析由“对称轴是直线x=1,且经过点P(3,0)”可知抛物线与x轴的另一个交点是(-1,0),代入抛物线方程即可解得.
解答解:因为对称轴x=1且经过点P(3,0)
所以抛物线与x轴的另一个交点是(-1,0)
代入抛物线解析式y=ax
2+bx+c中,得a-b+c=0.
故选A.
点评巧妙利用了抛物线的对称性.
已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,现有下列结论:
①b2-4ac>0;②a>0;③b>0;④c>0;⑤9a+3b+c<0.
则其中结论正确的个数是(  )
  • A. 2个
  • B. 3个
  • C. 4个
  • D. 5个
分析由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据抛物线与x轴交点及x=1时二次函数的值的情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
解答解:①根据图示知,二次函数与x轴有两个交点,所以△=b2-4ac>0;故①正确;
②根据图示知,该函数图象的开口向上,
∴a>0;
故②正确;
③又对称轴x=-
b
2a
=1,
b
2a
<0,
∴b<0;
故本选项错误;
④该函数图象交于y轴的负半轴,
∴c<0;
故本选项错误;
⑤根据抛物线的对称轴方程可知:(-1,0)关于对称轴的对称点是(3,0);
当x=-1时,y<0,所以当x=3时,也有y<0,即9a+3b+c<0;故⑤正确.
所以①②⑤三项正确.
故选B.
点评本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a与b的关系,以及二次函数与方程之间的转换.
图象分析大杂烩介绍:

1. 利用代数变形分析含参函数图象的参数关系:这类问题,一定要先写出对称轴满足的关系,以及特殊式,然后再进行消元等代数变形;
2. 看到am^2+bm,就要想到am^2+bm就加一个c,这就是x=m时的函数值。
如图,二次函y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,对称轴为直线x=
1
2
,且经过点(2,0),下列说法:①abc<0;②a+b=0;③4a+2b+c<0;④若(-2,y1),(
5
2
,y2)是抛物线上的两点,则y1<y2,其中说法正确的是(  )
  • A. ①②④
  • B. ③④
  • C. ①③④
  • D. ①②
分析①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号;
②根据对称轴求出b=-a;
③把x=2代入函数关系式,结合图象判断函数值与0的大小关系;
④求出点(-2,y
1)关于直线x=
1
2
的对称点的坐标,根据对称轴即可判断y1和y2的大小.
解答①∵二次函数的图象开口向下,
∴a<0,
∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点,
∴c>0,
∵对称轴是直线x=
1
2

∴-
b
2a
=
1
2

∴b=-a>0,
∴abc<0.
故①正确;

②∵由①中知b=-a,
∴a+b=0,
故②正确;

③把x=2代入y=ax
2+bx+c得:y=4a+2b+c,
∵抛物线经过点(2,0),
∴当x=2时,y=0,即4a+2b+c=0.
故③错误;

④∵(-2,y
1)关于直线x=
1
2
的对称点的坐标是(3,y1),
又∵当x>
1
2
时,y随x的增大而减小,
5
2
<3,
∴y
1<y2
故④正确;
综上所述,正确的结论是①②④.
故选:A.
点评本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用,注意:当a>0时,二次函数的图象开口向上,当a<0时,二次函数的图象开口向下.
二次函数y=ax2+bx+c图象如图,下列正确的个数为(  )
①bc>0;
②2a-3c<0;
③2a+b>0;
④ax
2+bx+c=0有两个解x1,x2,当x1>x2时,x1>0,x2<0;
⑤a+b+c>0;
⑥当x>1时,y随x增大而减小.
  • A. 2
  • B. 3
  • C. 4
  • D. 5
分析根据抛物线开口向上可得a>0,结合对称轴在y轴右侧得出b<0,根据抛物线与y轴的交点在负半轴可得c<0,再根据有理数乘法法则判断①;再由不等式的性质判断②;根据对称轴为直线x=1判断③;根据图象与x轴的两个交点分别在原点的左右两侧判断④;由x=1时,y<0判断⑤;根据二次函数的增减性判断⑥.
解答①∵抛物线开口向上,
∴a>0,
∵对称轴在y轴右侧,
∴a,b异号即b<0,
∵抛物线与y轴的交点在负半轴,
∴c<0,
∴bc>0,故①正确;
②∵a>0,c<0,
∴2a-3c>0,故②错误;
③∵对称轴x=-
b
2a
<1,a>0,
∴-b<2a,
∴2a+b>0,故③正确;
④由图形可知二次函数y=ax
2+bx+c与x轴的两个交点分别在原点的左右两侧,
即方程ax
2+bx+c=0有两个解x1,x2,当x1>x2时,x1>0,x2<0,故④正确;
⑤由图形可知x=1时,y=a+b+c<0,故⑤错误;
⑥∵a>0,对称轴x=1,
∴当x>1时,y随x增大而增大,故⑥错误.
综上所述,正确的结论是①③④,共3个.
故选:B.
点评主要考查图象与二次函数系数之间的关系,二次函数的性质,会利用对称轴的范围求2a与b的关系,以及二次函数与方程之间的转换.
如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列4个结论:
①abc<0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④b
2-4ac>0
其中正确结论的有(  )
  • A. ①②③
  • B. ①②④
  • C. ①③④
  • D. ②③④
分析由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点得出c的值,然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=-1时,x=2时二次函数的值的情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
解答由二次函数的图象开口向上可得a>0,根据二次函数的图象与y轴交于正半轴知:c>0,由对称轴直线x=2,可得出b与a异号,即b<0,则abc<0,故①正确;
把x=-1代入y=ax
2+bx+c得:y=a-b+c,由函数图象可以看出当x=-1时,二次函数的值为正,即a+b+c>0,则b<a+c,故②选项正确;
把x=2代入y=ax
2+bx+c得:y=4a+2b+c,由函数图象可以看出当x=2时,二次函数的值为负,即4a+2b+c<0,故③选项错误;
由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax
2+bx+c=0的根的判别式b2-4ac>0,故④D选项正确;
故选:B.
点评本题考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系,二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用.会利用特殊值代入法求得特殊的式子,如:y=a+b+c,y=4a+2b+c,然后根据图象判断其值.
已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(1,1)和(-1,0).下列结论:
①a-b+c=0;
②b
2>4ac;
③当a<0时,抛物线与x轴必有一个交点在点(1,0)的右侧;
④抛物线的对称轴为x=-
1
4a

其中结论正确的个数有(  )
  • A. 4个
  • B. 3个
  • C. 2个
  • D. 1个
分析将点(-1,0)代入y=ax2+bx+c,即可判断①正确;
将点(1,1)代入y=ax
2+bx+c,得a+b+c=1,又由①得a-b+c=0,两式相加,得a+c=
1
2
,两式相减,得b=
1
2
.由b2-4ac=
1
4
-4a(
1
2
-a)=
1
4
-2a+4a2=(2a-
1
2
2,当a=
1
4
时,b2-4ac=0,即可判断②错误;
③由b
2-4ac=(2a-
1
2
2>0,得出抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点,设另一个交点的横坐标为x,根据一元二次方程根与系数的关系可得-1•x=
c
a
=
1
2a
-1,即x=1-
1
2a
,再由a<0得出x>1,即可判断③正确;
④根据抛物线的对称轴公式为x=-
b
2a
,即可判断④正确.
解答解:①∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(-1,0),∴a-b+c=0,故①正确;
②∵抛物线y=ax
2+bx+c(a≠0)经过点(1,1),∴a+b+c=1,又a-b+c=0,
两式相加,得2(a+c)=1,a+c=
1
2

两式相减,得2b=1,b=
1
2

∵b
2-4ac=
1
4
-4a(
1
2
-a)=
1
4
-2a+4a2=(2a-
1
2
2
当2a-
1
2
=0,即a=
1
4
时,b2-4ac=0,故②错误;
③当a<0时,∵b
2-4ac=(2a-
1
2
2>0,
∴抛物线y=ax
2+bx+c与x轴有两个交点,设另一个交点的横坐标为x,
则-1•x=
c
a
=
1
2
-a
a
=
1
2a
-1,即x=1-
1
2a

∵a<0,∴-
1
2a
>0,
∴x=1-
1
2a
>1,
即抛物线与x轴必有一个交点在点(1,0)的右侧,故③正确;
④抛物线的对称轴为x=-
b
2a
=-
1
4a
,故④正确.
故选:B.
点评本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,二次函数图象与系数的关系,二次函数与一元二次方程的关系,一元二次方程根与系数的关系及二次函数的性质,不等式的性质,难度适中.
已知二次函数的y=ax2+bx+c(a≠0)图象如图所示,有下列5个结论:
①abc<0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④2c<3b;⑤a+b<m(am+b)(m≠1的实数),其中正确结论的序号有(  )
  • A. ②③
  • B. ①④⑤
  • C. ③④⑤
  • D. ①③④
分析由抛物线的开口方向判断a的符号,由抛物线与y轴的交点判断c的符号,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
解答解:①由图象可知:a<0,b>0,c>0,abc<0,故此选项正确;
②当x=-1时,y=a-b+c<0,即b>a+c,错误;
③由对称知,当x=2时,函数值大于0,即y=4a+2b+c>0,故此选项正确;
④当x=3时函数值小于0,y=9a+3b+c<0,且x=-
b
2a
=1,
即a=-
b
2
,代入得9(-
b
2
)+3b+c<0,得2c<3b,故此选项正确;
⑤当x=1时,y的值最大.此时,y=a+b+c,
而当x=m时,y=am2+bm+c,
所以a+b+c>am2+bm+c,
故a+b>am2+bm,即a+b>m(am+b),故此选项错误.
故①③④正确.
故答案为:①③④.
点评此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系,二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定.
已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论错误的是(  )
  • A. abc>0
  • B. 3a>2b
  • C. m(am+b)≤a-b(m为任意实数)
  • D. 4a-2b+c<0
分析根据函数图象可得各系数的关系:a<0,c>0,根据对称轴x=-
b
2a
=-1<0,则b<0,再利用图象与x轴交点右侧小于1,则得出图象与坐标轴左侧交点一定小于-2,可知,4a-2b+c>0,再结合图象判断各选项.
解答解:A.由函数图象可得各系数的关系:a<0,c>0,对称轴x=-
b
2a
=-1<0,则b<0,
故abc>0,故此选项正确,但不符合题意;
B.∵x=-
b
2a
=-1,
∴b=2a,
∴2b=4a,
∵a<0,b<0,
∴3a>2b,故此选项正确,但不符合题意;
C.∵b=2a,代入m(am+b)-(a-b)得:
∴m(am+2a)-(a-2a),
=am
2+2am+a,
=a(m+1)
2
∵a<0,
∴a(m+1)
2≤0,
∴m(am+b)-(a-b)≤0,
即m(am+b)≤a-b,故此选项正确,但不符合题意;
D.当x=-2代入y=ax
2+bx+c,得出y=4a-2b+c,
利用图象与x轴交点右侧小于1,则得出图象与坐标轴左侧交点一定小于-2,
故y=4a-2b+c>0,故此选项错误,符合题意;
故选:D.
点评此题主要考查了二次函数图象与系数的关系,同学们应注意,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,当a<0时,抛物线向下开口,当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右,以及利用对称轴得出a,b的关系是解题关键.
二次函数图象的平移1介绍:

1. 由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所以只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式。
在同一平面内,下列函数的图象不可能由函数y=2x2+1的图象通过平移得到的函数是(  )
  • A. y=2(x+1)2-1
  • B. y=2x2+3
  • C. y=-2x2-1
  • D. y=2x2-2
分析根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状可知二次项系数不变,然后确定答案即可.
解答解:∵y=-2x2-1的二次项系数是-2,与y=2x2+1的二次项系数互为相反数,
∴y=-2x
2-1不可能由y=2x2+1平移得到,
其它选项的二次项系数都是2,可以由y=2x
2+1的图象通过平移得到.
故选C.
点评本题考查了二次函数图象与几何变换,通过二次项系数的不同确定求解更加简便.
在同一平面内下列4个函数;①y=2(x+1)2-1;②y=2x2+3;③y=-2x2-1;④y=
1
2
x2-1的图象不可能由函数y=2x2+1的图象通过平移变换得到的函数是(      )
  • A. ①③④
  • B. ①②③
  • C. ③④
  • D. ②③
分析找到二次项的系数不是2的函数即可.
解答二次项的系数不是2的函数有③④.
故答案为C.
点评本题考查二次函数的变换问题.用到的知识点为:二次函数的平移,不改变二次函数的比例系数.
在同一平面直角坐标系内,将函数y=2x2+4x-3的图象向右平移2个单位,再向下平移1个单位得到图象的顶点坐标是(  )
  • A. (-3,-6)
  • B. (1,-4)
  • C. (1,-6)
  • D. (-3,-4)
分析根据函数图象向右平移减,向下平移减,可得目标函数图象,再根据顶点坐标公式,可得答案.
解答函数y=2x2+4x-3的图象向右平移2个单位,再向下平移1个单位得到图象y=2(x-2)2+4(x-2)-3-1,
即y=2(x-1)
2-6,
顶点坐标是(1,-6),
故选:C.
点评本题考查了二次函数图象与几何变换,利用了图象的平移规律:上加下减,左加右减.
在平面直角坐标系中,若将抛物线y=2x2-4x+3先向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是(  )
  • A. (-2,3)
  • B. (-1,4)
  • C. (1,4)
  • D. (4,3)
分析先把抛物线y=2x2-4x+3化为顶点式的形式,再根据函数图象平移的法则求出向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度所得抛物线的解析式,求出其顶点坐标即可.
解答解:∵抛物线y=2x2-4x+3化为y=2(x-1)2+1,
∴函数图象向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度所得抛物线的解析式为:y=y=2(x-1-3)
2+1+2,即y=2(x-4)2+3,
∴其顶点坐标为:(4,3).
故选D.
点评本题考查的是二次函数的图象与几何变换,先把原抛物线的解析式化为顶点式的形式是解答此题的关键.
二次函数图象的平移2介绍:

1. 平移二次函数图象的关键是要搞清楚平移后的二次函数图象的顶点。
平面直角坐标系中,将抛物线y=2(x-2011)(x-2012)-4平移,使其与x轴交于两点,且此两点的距离为1个单位,则平移方式为(  )
  • A. 向下平移2个单位
  • B. 向下平移4个单位
  • C. 向上平移2个单位
  • D. 向上平移4个单位
分析根据方程2(x-2011)(x-2012)=0的解之间距离1个单位,然后向上平移即可得解.
解答解:∵2(x-2011)(x-2012)=0的解是x1=2011,x2=2012,2011与2012相差1,
∴抛物线y=2(x-2011)(x-2012)-4平移为抛物线y=2(x-2011)(x-2012)即可,
∴抛物线向上平移4个单位.
故选D.
点评本题考查了二次函数图象与几何变换,仔细观察2011与2012相差1是解题的关键.
平面直角坐标系中,若平移二次函数y=(x-2012)(x-2013)+4的图象,使其与x轴交于两点,且此两点的距离为1个单位,则平移方式为(  )
  • A. 向上平移4个单位
  • B. 向下平移4个单位
  • C. 向左平移4个单位
  • D. 向右平移4个单位
分析由平移规律可知将二次函数y=(x-2012)(x-2013)+4的图象向下平移4个单位得y=(x-2012)(x-2013),此时抛物线与x轴的两个交点的距离为1个单位.
解答解:二次函数y=(x-2012)(x-2013)+4的图象向下平移4个单位得y=(x-2012)(x-2013),
属于交点式,与x轴交于两点(2012,0)、(2013,0),两点的距离为1,符合题意,
故选B.
点评主要考查了函数图象的平移,抛物线与坐标轴的交点坐标的求法,要求熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减.并用规律求函数解析式.会利用方程求抛物线与坐标轴的交点.
已知二次函数y=ax2+bx-3的图象经过点A(2,-3),B(-1,0).要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点,应把图象沿y轴向上平移    个单位.
分析利用顶点坐标公式可求出图象沿y轴向上平移的单位.
解答解:由已知,有
{
4a+2b-3=-3
a-b-3=0
,即
{
4a+2b=0
a-b=3
,解得
{
a=1
b=-2

∴所求的二次函数的解析式为y=x
2-2x-3.

∵-
b
2a
=1,
4ac-b2
4a
=-4.
∴顶点坐标为(1,-4).
∵二次函数的图象与x轴只有一个交点,
∴应把图象沿y轴向上平移4个单位.
点评考查利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.二次函数的图象与x轴只有一个交点,即顶点的纵坐标为0.
已知二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数).把该函数的图象沿y轴向下平移    个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点.
分析先化成顶点式,根据顶点坐标和平移的性质得出即可.
解答解:y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3,
把函数y=(x-m)
2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到函数y=(x-m)2的图象,它的顶点坐标是(m,0),
因此,这个函数的图象与x轴只有一个公共点,
所以,把函数y=x
2-2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点.
点评本题考查了二次函数和x轴的交点问题,平移的性质,二次函数的图象与几何变换的应用,主要考查学生的理解能力和计算能力,题目比较好,有一定的难度.
二次函数图象的变换介绍:

二次函数图象的变换只要搞清楚两点:
1. 变换后开口方向方向是否变化,不变a就不变,改变a就变成相反数;
2. 变换后顶点位置。
把二次函数y=(x-1)2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为    
分析根据顶点式解析式求出原二次函数的顶点坐标,然后根据关于中心对称的点的横坐标与纵坐标互为相反数求出旋转后的二次函数的顶点坐标,最后根据旋转变换只改变图形的位置,不改变图形的形状写出解析式即可.
解答解:二次函数y=(x-1)2+2顶点坐标为(1,2),
绕原点旋转180°后得到的二次函数图象的顶点坐标为(-1,-2),
所以,旋转后的新函数图象的解析式为y=-(x+1)
2-2.
故答案为:y=-(x+1)
2-2.
点评本题考查了二次函数图象与几何变换,利用点的变换解决函数图象的变换,求出变换后的顶点坐标是解题的关键.
将抛物线y=2x2-12x+16绕它的顶点旋转180°,所得抛物线的解析式是(  )
  • A. y=-2x2-12x+16
  • B. y=-2x2+12x-16
  • C. y=-2x2+12x-19
  • D. y=-2x2+12x-20
分析先将原抛物线解析式化为顶点式,将其绕顶点旋转180°后,开口大小和顶点坐标都没有变化,变化的只是开口方向,可据此得出所求的结论.
解答解:y=2x2-12x+16=2(x2-6x+8)=2(x-3)2-2,
将原抛物线绕顶点旋转180°后,得:y=-2(x-3)2-2=-2x2+12x-20;
故选D.
点评此题考查了二次函数图象的旋转变换,在绕抛物线顶点旋转过程中,二次函数的开口大小和顶点坐标都没有变化.
将抛物线C:y=x2+3x-10,将抛物线C平移到C′.若两条抛物线C,C′关于直线x=1对称,则下列平移方法中正确的是(  )
  • A. 将抛物线C向右平移
    5
    2
    个单位
  • B. 将抛物线C向右平移3个单位
  • C. 将抛物线C向右平移5个单位
  • D. 将抛物线C向右平移6个单位
分析主要是找一个点,经过平移后这个点与直线x=1对称.抛物线C与y轴的交点为A(0,-10),与A点以对称轴对称的点是B(-3,-10).若将抛物线C平移到C′,就是要将B点平移后以对称轴x=1与A点对称.则B点平移后坐标应为(2,-10).因此将抛物线C向右平移5个单位.
解答解:∵抛物线C:y=x2+3x-10=(x+
3
2
)2-
49
4

∴抛物线对称轴为x=-
3
2

∴抛物线与y轴的交点为A(0,-10).
则与A点以对称轴对称的点是B(-3,-10).
若将抛物线C平移到C′,并且C,C′关于直线x=1对称,就是要将B点平移后以对称轴x=1与A点对称.
则B点平移后坐标应为(2,-10).
因此将抛物线C向右平移5个单位.
故选C.
点评主要考查了函数图象的平移,抛物线与坐标轴的交点坐标的求法,要求熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减.
抛物线y=x2+1绕原点旋转180°后的解析式为(  )
  • A. y=x2-1
  • B. y=-x2-1
  • C. y=-x2+1
  • D. y=-(x+1)2
分析解决本题的关键是找到所求抛物线解析式中的两个点,这两个点是原抛物线解析式上的绕原点旋转180°的点.
解答解:在抛物线y=x2+1上找两点(1,2),(0,1),它们绕原点旋转180°后为(-1,-2),(0,-1),可设新函数的解析式为y=ax2+b,则a+b=-2,b=-1.解得a=-1.∴新抛物线的解析式为:y=-x2-1.
故选B.
点评旋转后抛物线的基本形式不会改变.
将二次函数y=x2-2x-1的图象绕坐标原点O旋转180°,则旋转后的图象对应的解析式为(  )
  • A. y=x2+2x+3
  • B. y=-x2-2x+1
  • C. y=x2-2x-1
  • D. y=-x2+2x-3
分析把函数解析式整理成顶点式形式并写出顶点坐标,再根据中心对称写出旋转后的抛物线的顶点坐标,然后利用顶点式解析式写出即可.
解答解:∵y=x2-2x-1=(x-1)2-2,
∴二次函数的顶点坐标为(1,-2),
∴绕原点旋转180°后的抛物线顶点坐标为(-1,2),
∴所得函数解析式为y=-(x+1)
2+2=-x2-2x+1,
即y=-x
2-2x+1.
故选:B.
点评本题考查了二次函数图象与几何变换,此类题目,利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便,要注意旋转后抛物线开口方向向下.
在平面直角坐标系中,先将抛物线y=x2+2x-8关于y轴作轴对称变换,再将所得的抛物线关于x轴作轴对称变换,那么经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为(  )
  • A. y=-x2-2x-8
  • B. y=-x2-2x+8
  • C. y=-x2+2x-8
  • D. y=-x2+2x+8
分析若抛物线关于y轴作轴对称变换,则图象上所有的点纵坐标不变横坐标互为相反数;若抛物线关于x轴作轴对称变换,则图象上所有的点横坐标不变纵坐标互为相反数,据此即可解答.
解答解:抛物线y=x2+2x-8关于y轴作轴对称变换,
则所得抛物线为y=(-x)2+2(-x)-8=x2-2x-8;
抛物线y=x2-2x-8关于x轴作轴对称变换,
则所得抛物线为-y=x2-2x-8,
即y=-x2+2x+8.
故选D.
点评此题考查了抛物线的轴对称变换,解题的关键是找到对称轴,并熟知关于x轴、y轴的对称点的坐标特征.
二次函数特定范围内的最值介绍:

1. 求特定范围内二次函数的最值。
函数y=x2-6x+8(0≤x≤4)的最大值与最小值分别为        
分析已知函数y=x2-6x+8的标准式,将其化为顶点式为y=(x-3)2-1,考虑0≤x≤4,即可求解此题.
解答解:将标准式化为两点式为y=(x-3)2-1,0≤x≤4,
∵开口向,上,
∴当x=0时,y
max=8;
当x=3时,有最小值:y
min=-1.
故答案为:8,-1.
点评此题主要考查了二次函数最值,求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法.此题要注意x的取值范围,在0≤x≤4范围内求解.
已知二次函数y=x2-2x-1,当-2≤x≤6时,y的最大值和最小值是(  )
  • A. 23,7
  • B. 23,-2
  • C. 7,-2
  • D. 0,-2
分析找到对称轴,根据距离对称轴的距离可判断y的大小.
解答解:y=x2-2x+1-2=(x-1)2-2,
对称轴为x=1,
当x=6时,y
最大值=62-2×6-1=23;
y
最小值=-2.
故选B.
点评本题考查了二次函数的最值,找到对称轴是解题的关键.
二次函数最值之解析式含参介绍:

1. 讨论对称轴与x的范围的关系求最值。
已知二次函数y=x2+(m-1)x+1,当x>1时,y随x的增大而增大,而m的取值范围是(  )
  • A. m=-1
  • B. m=3
  • C. m≤-1
  • D. m≥-1
分析根据二次函数的性质,利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解.
解答解:抛物线的对称轴为直线x=-
m-1
2

∵当x>1时,y的值随x值的增大而增大,
∴-
m-1
2
≤1,
解得m≥-1.
故选D.
点评本题考查了二次函数的性质,主要利用了二次函数的增减性,熟记性质并列出不等式是解题的关键.
已知y=-x(x+3-a)+1是关于x的二次函数,当x的取值范围在1≤x≤5时,y在x=1时取得最大值,则实数a的取值范围是(  )
  • A. a=9
  • B. a=5
  • C. a≤9
  • D. a≤5
分析由于二次函数的顶点坐标不能确定,故应分对称轴不在[1,5]和对称轴在[1,5]内两种情况进行解答.
解答解:解:第一种情况:
当二次函数的对称轴不在1≤x≤5内时,此时,对称轴一定在1≤x≤5的左边,函数方能在这个区域取得最大值,
x=
a-3
2
<1,即a<5,
第二种情况:
当对称轴在1≤x≤5内时,对称轴一定是在顶点处取得最大值,即对称轴为x=1,
a-3
2
=1,即a=5
综合上所述a≤5.
故选D.
点评本题考查了二次函数的最值确定与自变量x的取值范围的关系,难度较大.
当-2≤x≤1时,二次函数y=-(x-m)2+m2+1有最大值4,则实数m的值为(  )
  • A. -
    7
    4
  • B.
    3
    或-
    3
  • C. 2或-
    3
  • D. 2或
    3
    或-
    7
    4
分析根据对称轴的位置,分三种情况讨论求解即可.
解答二次函数的对称轴为直线x=m,
①m<-2时,x=-2时二次函数有最大值,
此时-(-2-m)
2+m2+1=4,
解得m=-
7
4
,与m<-2矛盾,故m值不存在;
②当-2≤m≤1时,x=m时,二次函数有最大值,
此时,m
2+1=4,
解得m=-
3
,m=
3
(舍去);
③当m>1时,x=1时二次函数有最大值,
此时,-(1-m)
2+m2+1=4,
解得m=2,
综上所述,m的值为2或-
3

故选:C.
点评本题考查了二次函数的最值问题,难点在于分情况讨论.
已知二次函数y=ax2+4ax+a2-1,当-4≤x≤1时,y的最大值为5,则实数a的值为(      )
  • A. 2-
    10
  • B. 2-
    10
    或2
  • C. 2-
    10
    或1
  • D. 2
分析先求出二次函数的对称轴解析式,再分a>0与a<0时两种情况,根据二次函数的性质列式解答即可.
解答解:二次函数的对称轴为直线x=-
4a
2a
=-2,
①a>0时,在-4≤x≤1范围内,当x=1时,取得最大值,
a×1
2+4a×1+a2-1=5,
整理得,a
2+5a-6=0,
解得a
1=1,a2=-6(舍去),
②a<0时,当x=-2时,取得最大值,
a×(-2)
2+4a×(-2)+a2-1=5,
整理得,a
2-4a-6=0,
解得a
1=2-
10
,a2=2+
10
(舍去),
所以实数a的值为2-
10
或1.
故答案为:2-
10
或1,选C.
点评本题考查了二次函数的最值问题,根据二次函数的性质,要注意分a>0与a<0两种情况讨论求解.
直线与抛物线的交点介绍:

1. 求直线与抛物线的交点只要联立直线方程和抛物线方程,消去y,然后解出含x的一元二次方程即可。
直线y=x+2与抛物线y=x2+2x的交点坐标是(      )
  • A. (-1,3),(2,0)
  • B. (-1,3),(-2,0)
  • C. (1,3),(2,0)
  • D. (1,3),(-2,0)
分析本题可联立两函数的解析式,所得方程组的解,即为两函数的交点坐标.
解答解:联立两函数的解析式有:
{
y=x+2
y=x2+2x
,解方程组,得
{
x=1
y=3
{
x=-2
y=0

则直线y=x+2与抛物线y=x
2+2x的交点坐标是(1,3),(-2,0).
点评本题主要考查了函数图象交点的求法,函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解.
直线y=3x-3与抛物线y=x2-x+1的交点的个数是(  )
  • A. 0个
  • B. 1个
  • C. 2个
  • D. 不能确定
分析根据直线与二次函数交点的求法得出一元二次方程的解,即可得出交点个数.
解答解:∵直线y=3x-3与抛物线y=x2-x+1的交点求法是:
3x-3=x
2-x+1,
∴x
2-4x+4=0,
∴x
1=x2=2,
∴直线y=3x-3与抛物线y=x
2-x+1的交点的个数是1个.
故选B.
点评此题主要考查了一元二次方程的性质,根据题意得出一元二次方程的解的个数是解决问题的关键.
直线y=2x+2与抛物线y=x2+3x的交点坐标为(      )
  • A. (-2,-2),(-1,4)
  • B. (-2,-2),(1,4)
  • C. (2,-2),(1,4)
  • D. (2,-2),(-1,4)
分析先把直线与抛物线的解析式联立即可得出x的值,进而得出y的值.
解答解:∵由题意得
{
y=2x+2
y=x2+3x

解得
{
x=-2
y=-2
{
x=1
y=4

∴直线y=2x+2与抛物线y=x
2+3x的交点坐标为(-2,-2),(1,4).
故答案为:(-2,-2),(1,4).
点评本题考查的是二次函数的性质,根据题意得出关于x、y的方程组是解答此题的关键.
直线y=
5
2
x-2与抛物线y=x2-
1
2
x的交点个数是(  )
  • A. 0个
  • B. 1个
  • C. 2个
  • D. 互相重合的两个
分析根据直线与二次函数交点的求法得出一元二次方程的解,即可得出交点个数.
解答解:直线y=
5
2
x-2与抛物线y=x2-
1
2
x的交点求法是:
5
2
x-2=x2-
1
2
x,
∴x
2-3x+2=0,
∴x
1=1,x2=2,
∴直线y=
5
2
x-2与抛物线y=x2-
1
2
x的个数是2个.
故选C.
点评此题主要考查了一元二次方程的性质,根据题意得出一元二次方程的解的个数是解决问题的关键.
看图写范围介绍:

1. 利用函数的观点解形如ax^2+bx+c>kx+m的不等式:只要看图观察相应的范围就好。
已知函数y1=x2与函数y2=-
1
2
x+3的图象大致如图.若y1<y2,则自变量x的取值范围是(  )
  • A. -
    3
    2
    <x<2
  • B. x>2或x<-
    3
    2
  • C. -2<x<
    3
    2
  • D. x<-2或x>
    3
    2
分析首先求出两个函数图象交点的横坐标,再观察图象得出结果.
解答解:由y1=y2,即x2=
-
1
2
x+3,
解得:x
1=-2,x2=
3
2

由图象可知,若y
1<y2,则自变量x的取值范围是-2<x<
3
2

故选:C.
点评此题重点考查数形结合思想,由图象得到一元二次方程再回到图象,问题才得以解答.
如图,一次函数y1=kx+n(k≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象相交于A(-1,5)、B(9,2)两点,则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为(  )
  • A. -1≤x≤9
  • B. -1≤x<9
  • C. -1<x≤9
  • D. x≤-1或x≥9
分析先观察图象确定抛物线y2=ax2+bx+c(a≠0)和一次函数y1=kx+n(k≠0)的交点的横坐标,即可求出y1≥y2时,x的取值范围.
解答解:由图形可以看出:抛物线y2=ax2+bx+c(a≠0)和一次函数y1=kx+n(k≠0)的交点的横坐标分别为-1,9,
当y1≥y2时,x的取值范围正好在两交点之内,即-1≤x≤9.
故选A.
点评本题考查了二次函数与不等式(组),此类题可采用“数形结合”的思想进行解答,这也是速解习题常用的方法.
抛物线与直线的垂直距离介绍:

1. 抛物线与直线的交点与抛物线上点构成三角形的面积最值问题。
如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2.若P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,当点P运动到某一位置,△ACE的最大面积为    
分析因为抛物线与x轴相交,所以可令y=0,解出A、B的坐标.再根据C点在抛物线上,C点的横坐标为2,代入抛物线中即可得出C点的坐标.再根据两点式方程即可解出AC的函数表达式;根据P点在AC上可设出P点的坐标.E点坐标可根据已知的抛物线求得.因为PE都在垂直于x轴的直线上,所以两点之间的距离为|xA-xC|列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案.
解答解:令y=0,y=x2-2x-3=0,
解得x1=-1或x2=3,
将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3,
得y=-3,
∴C(2,-3);
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1.
设P点的横坐标为x(-1≤x≤2),
则P、E的坐标分别为P(x,-x-1),E(x,x2-2x-3),
∵P点在E点的上方,PE=(-x-1)-(x2-2x-3)=-x2+x+2,
∴S△ACE=
1
2
PE×|xA-xC|=
1
2
(-x2+x+2)×3=-
3
2
x2+
3
2
x+3,
∴S△ACE=-
3
2
(x-
1
2
)2+
27
8

当x=
1
2
时,S△ACE最大为
27
8
点评本题主要考查了二次函数的综合题,涉及到了待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的判定、二次函数的性质等重要知识点,综合性强,解答本题的关键是要求学生掌握分类讨论,数形结合的数学思想方法,此题有一定的难度.
已知二次函数y=x2与一次函数y=2x+1相交于A、B两点,点C是线段AB上一动点,点D是抛物线上一动点,且CD平行于y轴,在移动过程中CD最大值为    
分析CD的最大值即为点C的纵坐标减去点D的纵坐标,据此列出CD的表达式,为关于x的二次函数,求出二次函数的最大值即可.
解答解:根据题意得,CD=2x+1-x2=-x2+2x+1=-(x2-2x+1-1)+1=-(x2-2x+1)+2=-(x-1)2+2,
可见函数最大值为2.
故答案为2.
点评本题考查了二次函数与一次函数的关系,将求CD的最大值转化为求关于x的二次函数的最大值是解题的关键.
定价问题介绍:

1. 利用二次函数解决利润问题:在商品经营活动中,经常会遇到求最大利润,最大销量等问题。解此类题的关键是通过题意,确定出二次函数的解析式,然后确定其最大值。
某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次,第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件,每件利润6元.每提高一个档次,每件利润增加2元,但一天产量减少5件.
(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数,且1≤x≤10),求出y关于x的函数关系式;
(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元,求该产品的质量档次.
分析(1)每件的利润为6+2(x-1),生产件数为95-5(x-1),则y=[6+2(x-1)][95-5(x-1)];
(2)由题意可令y=1120,求出x的实际值即可.
解答(1)∵第一档次的产品一天能生产95件,每件利润6元,每提高一个档次,每件利润加2元,但一天生产量减少5件.
∴第x档次,提高的档次是x-1档.
∴y=[6+2(x-1)][95-5(x-1)],
即y=-10x
2+180x+400(其中x是正整数,且1≤x≤10);

(2)由题意可得:-10x
2+180x+400=1120
整理得:x
2-18x+72=0
解得:x
1=6,x2=12(舍去).
答:该产品的质量档次为第6档.
点评本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答,我们首先要吃透题意,确定变量,建立函数模型,然后结合实际选择最优方案.其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值),也就是说二次函数的最值不一定在x=
-
b
2a
时取得.
某种品牌的服装进价为每件150元,当售价为每件210元时,每天可卖出20件,现需降价处理,且经市场调查:每件服装每降价2元,每天可多卖出1件.在确保盈利的前提下,若设每件服装降价x元,每天售出服装的利润为y元,则y与x的函数关系式为(  )
  • A. y=-
    1
    2
    x2+10x+1200(0<x<60)
  • B. y=-
    1
    2
    x2-10x+1250(0<x<60)
  • C. y=-
    1
    2
    x2+10x+1250(0<x<60)
  • D. y=-
    1
    2
    x2+10x+1250(x≤60)
分析设每件服装降价x元,那么每件利润为(210-150-x),所以可以卖出(20+
x
2
)件,然后根据盈利为y元即可列出函数关系式解决问题.
解答解:设每件服装降价x元,每天售出服装的利润为y元,由题意得:
y=(210-150-x)(20+
x
2
),
=-
1
2
x2+10x+1200(0<x<60).
故选:A.
点评此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式,表示出销量与每件服装的利润是解决问题的关键.
········ THE END ········
特殊考点
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