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特殊考题
根号几的估算介绍：

1. 估计一个数的算术平方根在哪两个整数之间；
2. 根号2和根号3的近似值。
近似计算：
（1）
√3
+π（精确到0.01）；
（2）
√5
×
√7
（精确到0.1）．
解答解 （1）
√3
+π≈1.732+3.142=4.874≈4.87．
（2）
√5
×
√7
≈2.24×2.65=5.936≈5.9．
在数轴上作出表示下列各数的点，比较它们的大小，并用"＜"连接它们．
-1，
√2
，-2，-
√2
，|-2
√2
|，5．
解答解

由数轴土各点的位置，得
-2＜-
√2
＜-1＜
√2
＜|-2
√2
|＜5．
把下列各数分类填入图中：
0，1，3，-1，-2，-
1
2
，
1
3
，0.4，-0.25，3.14，π，
√3
，
3√2
，
√64
，-
√10
，-
3√8
，
√2
2
．
（口答）下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？
3.1415926，
√4
，-π，-
3√8
，
√8
，
3√9
，0.·3，
22
7
， 0.1818818881...（两个1之间依次增加一个8）．
把下列各数写成分数形式：
1.5，-5，0.·7，0.2··13，0.31··26，0.7·21·3．
近似计算（精确到0.01）：
（1）
√5
+
√7
；
（2）
1
4
×
√6
-2
√3
．
判断是非：
（1）无限小数都是无理数．
（2）无限不循环小数是无理数．
（3）无理数是带根号的数．
（4）分数是无理数．
比较下列各组数中两个数的大小：
（1）-
√5
，-
√6
；
（2）
√π
，
√3
；
（3）
√3
-1
2
，
1
2
．
在
√9
，
√12
，
√13
，
√16
和
√17
中，介于3和4之间的无理数有    ．
-2
√3
与
√2
之间最小的整数是（　　）
  • A. 0
  • B. -1
  • C. -2
  • D. -3
分析
√2
≈1.414，
√3
≈1.732，从而可得出-2
√3
与
√2
之间的整数，也可得出他们之间的最小整数．
解答解：
√2
≈1.414，-2
√3
≈-3.464，
故-2
√3
与
√2
之间最小的整数是-3．
故选D．
点评此题考查了估算无理数的大小的知识，注意记忆一些常见无理数的大约值，这对我们以后的解题很有帮助．
在-
5
3
，-
√2
，-
√3
，-
π
2
四个数中，最小的数是（　　）
  • A. -
    5
    3
  • B. -
    √2
  • C. -
    √3
  • D. -
    π
    2
分析先把无理数进行估算再比较大小即可判定选择项．
解答解：∵-
5
3
≈-1.67，-
√2
≈-1.41，-
√3
≈-1.73，-
π
2
≈-1.57，
|-1.73|＞|-1.67|＞|-1.57|＞|-1.41|，即|-
√3
|＞|-
5
3
|＞|-
π
2
|＞|-
√2
|，
∴-
√3
最小．
故选C．
点评本题考查了同学们对无理数大小的估算能力及对实数大小进行比较方法的掌握情况，比较简单．
设n为正整数，且n＜
√65
＜n+1，则n的值为（　　）
  • A. 5
  • B. 6
  • C. 7
  • D. 8
分析首先得出
√64
＜
√65
＜
√81
，进而求出
√65
的取值范围，即可得出n的值．
解答∵
√64
＜
√65
＜
√81
，
∴8＜
√65
＜9，
∵n＜
√65
＜n+1，
∴n=8，
故选：D．
点评此题主要考查了估算无理数的大小，得出
√64
＜
√65
＜
√81
是解题关键．
已知：m、n为两个连续的整数，且m＜
√11
＜n，则m+n=    ．
分析先估算出
√11
的范围，得出m、n的值，进而可得出结论．
解答解：∵9＜11＜16，
∴3＜
√11
＜4，
∴m=3，n=4，
∴m+n=3+4=7．
故答案为：7．
点评本题考查的是估算无理数的大小，先根据题意算出
√11
的范围是解答此题的关键．
把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为______．
  • A.
    3√7
    ＜-
    √7
    ＜
    √7
  • B.
    3√7
    ＜
    √7
    ＜-
    √7
  • C.
    √7
    ＜
    3√7
    ＜-
    √7
  • D. -
    √7
    ＜
    3√7
    ＜
    √7
分析先分别得到7的平方根和立方根，然后比较大小．
解答解：7的平方根为-
√7
，
√7
；7的立方根为
3√7
，
所以7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为-
√7
＜
3√7
＜
√7
．
故答案为：-
√7
＜
3√7
＜
√7
，选D．
点评本题考查了实数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．
3√5
，π，-4，0这四个数中，最大的数是    ．
分析先把各式进行化简，再根据比较实数大小的方法进行比较即可．
解答解：∵1＜
3√5
＜2，π≈3.14，-4，0这四个数中，正数大于一切负数，
∴这四个数的大小顺序是π＞
3√5
＞0＞-4，
故答案为：π
点评此题主要考查了实数大小的比较，实数比较大小的法则：正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小．
根号几的精确估算介绍：

1. 精确估算一个数的平方根。
下列整数中，与
√30
最接近的是（　　）
  • A. 4
  • B. 5
  • C. 6
  • D. 7
分析根据5＜
√30
＜6，25与30的距离小于36与30的距离，可得答案．
解答∵52=25，62=36，
∴5＜
√30
＜6，25与30的距离小于36与30的距离，
∴与
√30
最接近的是5．
故选：B．
点评本题考查了估算无理数的大小，两个被开方数的差小，算术平方根的差也小是解题关键．
对于
√5678
的值，下列关系式哪一个正确(　　)
  • A. 55＜
    √5678
    ＜60
  • B. 65＜
    √5678
    ＜70
  • C. 75＜
    √5678
    ＜80
  • D. 85＜
    √5678
    ＜90
分析应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围．
解答∵752=5625，802=6400，
∴5625＜5678＜6400．
故选C．
点评此题主要考查了估算无理数的能力，现实生活中经常需要估算，估算是我们应具备的数学能力．
如图，M、N、P、Q是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示
√7
的点是（       ）．
  • A. M
  • B. N
  • C. P
  • D. Q
分析先估算出
√7
的取值范围，再找出符合条件的点即可．
解答∵4＜7＜9，
∴2＜
√7
＜3，
∴
√7
在2与3之间，且更靠近3．
故答案为：C．
点评本题考查的是的是估算无理数的大小，熟知用有理数逼近无理数，求无理数的近似值是解答此题的关键．
估计
√2012
+1的值是（　　）
  • A. 在42和43之间
  • B. 在43和44之间
  • C. 在44和45之间
  • D. 在45和46之间
分析分别求出42、43、44、45的平方，得出
√2012
在44和45之间，即可求出答案．
解答解：∵
√1936
=44，
√2025
=45，
∴44＜
√2012
＜45，
∴44+1＜
√2012
+1＜45+1，
∴45＜
√2012
+1＜46，
即
√2012
+1在45和46之间，
故选D．
点评本题考查了估算无理数的大小，关键是确定
√2012
的范围．
实数的整数部分和小数部分介绍：

1. 掌握确定一个实数的整数部分和小数部分的方法。
设5-
√5
的整数部分是a，小数部分是b，则a-b的值为（　　）
  • A. 1+
    √5
  • B. -1+
    √5
  • C. -1-
    √5
  • D. 1-
    √5
分析首先对
√5
估算出大小，从而求出其整数部分a，再进一步表示出其小数部分b，然后将其代入所求的代数式求值．
解答解：∵4＜5＜9，
∴2＜
√5
＜3，
∴-3＜-
√5
＜-2．
∴2＜5-
√5
＜3．
∴a=2，
b=5-
√5
-2=3-
√5
，
∴a-b=2-3+
√5
=-1+
√5
．
故选B．
点评此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算无理数的值，再根据不等式的性质进行计算．现实生活中经常需要估算，估算是我们应具备的数学能力．
若3+
√5
的小数部分为a，3-
√5
的小数部分为b，则a+b的值为(　　)
  • A. 0
  • B. 1
  • C. -1
  • D. 2
分析运用有理数逼近无理数，求无理数的近似值求解．
解答解：∵2＜
√5
＜3，
∴5＜3+
√5
＜6，0＜3-
√5
＜1
∴a=3+
√5
-5=
√5
-2．b=3-
√5
，
∴a+b=
√5
-2+3-
√5
=1，
故选：B．
点评本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
恰好开出一个整数介绍：

1. 已知一个整数与字母的乘积能被开尽，求字母的最小整数值。
已知n是一个正整数，
√135n
是整数，则n的最小值是（　　）
  • A. 3
  • B. 5
  • C. 15
  • D. 25
分析先将
√135n
中能开方的因数开方，然后再判断n的最小正整数值．
解答解：∵
√135n
=3
√15n
，若
√135n
是整数，则
√15n
也是整数；
∴n的最小正整数值是15；故选C．
点评解答此题的关键是能够正确的对
√135n
进行开方化简．
若
√75n
是整数，则正整数n的最小值是（　　）
  • A. 2
  • B. 3
  • C. 4
  • D. 5
分析先把75分解，然后根据二次根式的性质解答．
解答解：∵75=25×3，
∴
√75n
是整数的正整数n的最小值是3．
故选：B．
点评本题考查了二次根式的定义，把75分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键．
········ THE END ········
特殊考题
下一节：
不等式及其基本性质
· 不等式及其基本性质
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根号几的估算
1
近似计算：
（1）
√3
+π（精确到0.01）；
（2）
√5
×
√7
（精确到0.1）．
2
在数轴上作出表示下列各数的点，比较它们的大小，并用"＜"连接它们．
-1，
√2
，-2，-
√2
，|-2
√2
|，5．
3
把下列各数分类填入图中：
0，1，3，-1，-2，-
1
2
，
1
3
，0.4，-0.25，3.14，π，
√3
，
3√2
，
√64
，-
√10
，-
3√8
，
√2
2
．
4
（口答）下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？
3.1415926，
√4
，-π，-
3√8
，
√8
，
3√9
，0.·3，
22
7
， 0.1818818881...（两个1之间依次增加一个8）．
5
把下列各数写成分数形式：
1.5，-5，0.·7，0.2··13，0.31··26，0.7·21·3．
6
近似计算（精确到0.01）：
（1）
√5
+
√7
；
（2）
1
4
×
√6
-2
√3
．
7
判断是非：
（1）无限小数都是无理数．
（2）无限不循环小数是无理数．
（3）无理数是带根号的数．
（4）分数是无理数．
8
比较下列各组数中两个数的大小：
（1）-
√5
，-
√6
；
（2）
√π
，
√3
；
（3）
√3
-1
2
，
1
2
．
9
在
√9
，
√12
，
√13
，
√16
和
√17
中，介于3和4之间的无理数有    ．
10
-2
√3
与
√2
之间最小的整数是（　　）
  • A. 0
  • B. -1
  • C. -2
  • D. -3
11
在-
5
3
，-
√2
，-
√3
，-
π
2
四个数中，最小的数是（　　）
  • A. -
    5
    3
  • B. -
    √2
  • C. -
    √3
  • D. -
    π
    2
12
设n为正整数，且n＜
√65
＜n+1，则n的值为（　　）
  • A. 5
  • B. 6
  • C. 7
  • D. 8
13
已知：m、n为两个连续的整数，且m＜
√11
＜n，则m+n=    ．
14
把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为______．
  • A.
    3√7
    ＜-
    √7
    ＜
    √7
  • B.
    3√7
    ＜
    √7
    ＜-
    √7
  • C.
    √7
    ＜
    3√7
    ＜-
    √7
  • D. -
    √7
    ＜
    3√7
    ＜
    √7
15
3√5
，π，-4，0这四个数中，最大的数是    ．
16
根号几的精确估算
17
下列整数中，与
√30
最接近的是（　　）
  • A. 4
  • B. 5
  • C. 6
  • D. 7
18
对于
√5678
的值，下列关系式哪一个正确(　　)
  • A. 55＜
    √5678
    ＜60
  • B. 65＜
    √5678
    ＜70
  • C. 75＜
    √5678
    ＜80
  • D. 85＜
    √5678
    ＜90
19
如图，M、N、P、Q是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示
√7
的点是（       ）．
  • A. M
  • B. N
  • C. P
  • D. Q
20
估计
√2012
+1的值是（　　）
  • A. 在42和43之间
  • B. 在43和44之间
  • C. 在44和45之间
  • D. 在45和46之间
21
实数的整数部分和小数部分
22
设5-
√5
的整数部分是a，小数部分是b，则a-b的值为（　　）
  • A. 1+
    √5
  • B. -1+
    √5
  • C. -1-
    √5
  • D. 1-
    √5
23
若3+
√5
的小数部分为a，3-
√5
的小数部分为b，则a+b的值为(　　)
  • A. 0
  • B. 1
  • C. -1
  • D. 2
24
恰好开出一个整数
25
已知n是一个正整数，
√135n
是整数，则n的最小值是（　　）
  • A. 3
  • B. 5
  • C. 15
  • D. 25
26
若
√75n
是整数，则正整数n的最小值是（　　）
  • A. 2
  • B. 3
  • C. 4
  • D. 5
27
········ THE END ········
特殊考题
下一节：
不等式及其基本性质
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