乐学堂-上课

内角平分线的交角介绍：

1. 三角形两条内角平分线的交角等于90度加第三个角的一半；
2. 三角形两条外角平分线的交角等于90度减第三个角的一半。

如图，在△ABC中，点O是∠ABC与∠ACB的角平分线的交点，若∠BAC=80°，则∠BOC=(　　)

A. 130°
B. 100°
C. 65°
D. 50°

分析根据三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的定义可求得∠OBC+∠OCB的度数，从而不难求解．

解答解：∵∠BAC=80°，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∵点O是∠ABC与∠ACB的角平分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB=50°，
∴∠BOC=130°．
故选A．

点评本题主要利用三角形的内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握定理和概念是解题的关键．

如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC=118°，则∠A的大小是 °．

分析先根据三角形内角和定理求出∠1+∠2的度数，再根据角平分线的定义求出∠ABC+∠ACB的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．

解答

解：∵△BOC中，∠BOC=118°，
∴∠1+∠2=180°-118°=62°．
∵BO和CO是△ABC的角平分线，
∴∠ABC+∠ACB=2（∠1+∠2）=2×62°=124°，
在△ABC中，∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-124°=56°．
故答案为：56．

点评本题考查的是角平分线的定义，三角形内角和定理，即三角形的内角和是180°．

如图，在四边形ABCD中，∠COD=100°，∠ADC、∠DCB的平分线相交于点O，则（∠A+∠B）的和是（　　）

A. 160°
B. 180°
C. 200°
D. 260°

分析先根据三角形内角和定理求出∠ODC+∠OCD的度数，再根据角平分线的定义得出∠ADC+∠DCB的度数，然后根据四边形的内角和定理求出（∠A+∠B）的和．

解答解：∵∠COD=100°，
∴∠ODC+∠OCD=80°，
又∵∠ADC、∠DCB的平分线相交于点O，
∴∠ODC=

∠ADC，∠OCD=

∠DCB，
∴∠ADC+∠DCB=160°．
∵∠A+∠B+∠ADC+∠DCB=360°，
∴∠A+∠B=200°．
故选C．

点评本题主要考查了三角形及四边形的内角和定理．用到的知识点：
三角形的内角和等于180°；四边形的内角和等于360°．

△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点I，∠A=60°，则∠BIC= °．

分析由∠A=60°可知∠ABC+∠ACB=120°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，可求∠IBC+∠ICB的度数，再利用三角形内角和定理求∠BIC．

解答

解：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
又∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，
∴∠IBC+∠ICB=

（∠ABC+∠ACB）=60°，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=120°．
故答案为：120°．

点评本题考查了三角形角平分线的性质，内角和定理的应用．根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化是解题的关键．

在△ABC中，I是∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，∠BIC=100°，则∠A的度数是(　　)

A. 20°
B. 50°
C. 65°
D. 80°

分析根据角平分线的定义和三角形内角和等于180°，先求出∠ABC与∠ACB的一半的度数之和，然后求出∠ABC、∠ACB的度数之和，再根据三角形内角和等于180°即可求出∠A的度数．

解答

解：∵∠BIC=100°，
∴

(∠ABC+∠ACB)=180°-100°=80°，
∴∠ABC+∠ACB=80°×2=160°，
在△ABC中，∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-160°=20°．
故选A．

点评本题主要利用三角形的内角和定理求解，熟练掌握定理是解题的关键．

如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（　　）

A. 90°-
1
2
α
B. 90°+
1
2
α
C.
1
2
α
D. 360°-α

分析先求出∠ABC+∠BCD的度数，然后根据角平分线的性质以及三角形的内角和定理求解∠P的度数．

解答∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°-（∠A+∠D）=360°-α，
∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，
∴∠PBC+∠PCB=

（∠ABC+∠BCD）=

（360°-α）=180°-

α，
则∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（180°-

α）=

α．
故选：C．

点评本题考查了多边形的内角和，角平分线的定义，以及三角形的内角和定理，属于基础题．

内外角平分线的交角介绍：

1. 三角形一个内角平分线和一个外角平分线的交角等于第三个角的一半。

如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A=50°，则∠D=(　　)

A. 15°
B. 20°
C. 25°
D. 30°

分析根据角平分线的定义和三角形的外角的性质即可得到∠D=

∠A．

解答

解：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，
∴∠1=

∠ACE，∠2=

∠ABC，
又∠D=∠1-∠2，∠A=∠ACE-∠ABC，
∴∠D=

∠A=25°．
故选C．

点评此题综合考查了三角形的外角的性质以及角平分线定义．

如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A₁，得∠A₁；∠A₁BC和∠A₁CD的平分线交于点A₂，得∠A₂；…∠A₂₀₁₂BC和∠A₂₀₁₂CD的平分线交于点A₂₀₁₃，则∠A₂₀₁₃=______度．

A.
m
2²⁰¹³
B.
3m
2²⁰¹³
C.
m
2²⁰¹⁴
D.
3m
2²⁰¹⁴

分析利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A₁=

∠A，进而可求∠A₁，由于∠A₁=

∠A，∠A₂=

∠A₁=

2²

∠A，…，以此类推可知∠A₂₀₁₃=

2²⁰¹³

∠A=

2²⁰¹³

°．

解答解：∵A₁B平分∠ABC，A₁C平分∠ACD，
∴∠A₁BC=

∠ABC，∠A₁CA=

∠ACD，
∵∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，
即

∠ACD=∠A₁+

∠ABC，
∴∠A₁=

（∠ACD-∠ABC），
∵∠A+∠ABC=∠ACD，
∴∠A=∠ACD-∠ABC，
∴∠A₁=

∠A，
∴∠A₁=

m°，
∵∠A₁=

∠A，∠A₂=

∠A₁=

2²

∠A，
…
以此类推∠A₂₀₁₃=

2²⁰¹³

∠A=

2²⁰¹³

°．
故答案为：

2²⁰¹³

，选A．

点评本题考查了角平分线性质、三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A₁=

∠A，并能找出规律．

已知：如图，在直角坐标系中，点A，B分别是x轴，y轴上的任意两点，BE是∠ABy的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的角平分线交于点C，则∠ACB= °．

分析先确定∠ABy与∠OAB的关系，∠ABy=∠OAB+90°，再根据角平分线和三角形的外角求得∠ACB的度数．

解答解：∵∠ABy+∠ABO=180°，∠OAB+90°+∠ABO=180°，
∴∠ABy=∠OAB+90°，
∵BE是∠ABy的平分线，AC平分∠OAB，
∴∠ABy=2∠ABE，∠OAB=2∠BAC，
∵∠ABE=∠ACB+∠BAC，∴2∠ABE=2∠BAC+90°，
即2∠ACB+2∠BAC=2∠BAC+90°，∴∠ACB=45°．

点评本题考查了角平分线的性质以及三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

如图，在△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线相交于D，如果∠A=a，那么∠D= ．

分析根据三角形的外角的性质得到∠ACD=

∠A+

∠ABC，根据三角形内角和定理得：∠A+∠ABC+∠ACB=∠DBC+∠D+∠DCB，求得∠D即可．

解答解：由三角形的外角的性质得：
∠ACD=

∠A+

∠ABC，
由三角形内角和定理得：
∠A+∠ABC+∠ACB=∠DBC+∠D+∠DCB=180°，
a+∠ABC+∠ACB=

∠ABC+

∠A+

∠ABC+∠ACB，
∴∠D=

．
故答案为：

．

点评本题综合考查了三角形的内角和及三角形的外角的知识，解题时利用三角形内角和定理列出等式来求解．

如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A₁，∠A₁BC的平分线与∠A₁CD的平分线交于点A₂，…，∠A_n-1BC的平分线与∠A_n-1CD的平分线交于点An．设∠A=θ．则：
（1）∠A₁= ；
（2）∠A_n= ．

分析（1）根据角平分线的定义可得∠A₁BC=

∠ABC，∠A₁CD=

∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，整理即可得解；
（2）与（1）同理求出∠A₂，可以发现后一个角等于前一个角的

，根据此规律即可得解．

解答解：（1）∵A₁B是∠ABC的平分线，A₁C是∠ACD的平分线，
∴∠A₁BC=

∠ABC，∠A₁CD=

∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，
∴

（∠A+∠ABC）=

∠ABC+∠A₁，
∴∠A₁=

∠A，
∵∠A=θ，
∴∠A₁=

；

（2）同理可得∠A₂=

∠A₁=

•

θ=

2²

，
所以∠A_n=

2ⁿ

．
故答案为：（1）

，（2）

2ⁿ

．

点评本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质然后推出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．

如图，在平面直角坐标系，点A、B分别是x轴正半轴、y轴正半轴上的动点，∠OAB的内角平分线与∠OBA的外角平分线所在直线交于点C，则∠ACB的度数为．

分析根据三角形外角的性质知，∠1+∠2=90°+∠3+∠4；又由外角平分线与内角平分线的性质，得∠1=∠2，∠3=∠4；再根据平角的性质知∠1+∠2+∠5=180°；最后在△ACB中，根据三角形的内角和定理来求∠ACB的度数．

解答

解：∵BC是∠OBA的外角平分线，
∴∠1+∠2=∠AOB+∠3+∠4，即∠1+∠2=90°+∠3+∠4，
∠1=∠2；
又∵AC是∠OAB的内角平分线，
∴∠3=∠4；
∴∠1=45°+∠3，
∴∠1-∠3=45°；
在△ACB中，
∠ACB=180°-∠3-∠2-∠5，
又∠1+∠2+∠5=180°，
∴∠ACB=∠1+∠2+∠5-∠3-∠2-∠5=∠1-∠3=45°，即∠ACB=45°；
故答案为：45°．

点评本题主要考查了三角形的外角的性质及坐标与图形的性质．解答的关键是沟通外角和内角的关系．

外角平分线的交角介绍：

1. 了解外角平分线交角的性质，并掌握其推导过程。

如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= °．

分析根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得

∠DAC+

∠ACF=

（∠B+∠B+∠1+∠2）=

227°

；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数．

解答

解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，
∴∠EAC=

∠DAC，∠ECA=

∠ACF；
又∵∠B=47°，∠B+∠1+∠2=180°，
∴

∠DAC+

∠ACF=

（∠B+∠2）+

（∠B+∠1）=

（∠B+∠B+∠1+∠2）=

227°

，
∴∠AEC=180°-（

∠DAC+

∠ACF）=66.5°；
故答案是：66.5．

点评本题考查了三角形内角和定理、三角形外角性质．解题时注意挖掘出隐含在题干中已知条件“三角形内角和是180°”．

如图，在△ABC中，∠B=50°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= °．

分析根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得

∠DAC+

∠ACF=

（∠B+∠B+∠1+∠2）；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数．

解答

解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，
∴∠EAC=

∠DAC，∠ECA=

∠ACF；
又∵∠B=50°，∠B+∠1+∠2=180°，
∴

∠DAC+

∠ACF=

（∠B+∠2）+

（∠B+∠1）=

（∠B+∠B+∠1+∠2）=

50° +180°

=115°，
∴∠AEC=180°-（

∠DAC+

∠ACF）=180°-115°=65°；
故答案为：65．

点评本题考查了三角形内角和定理、三角形外角性质．解题时注意挖掘出隐含在题干中已知条件“三角形内角和是180°”．

三垂直模型介绍：

1. 三垂直全等模型的结论及其应用。

如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件，使得△EAB≌△BCD（　　）

A. ∠EBD=60°
B. ∠E=∠EBA
C. EB=BC
D. AE=CB

分析可以根据全等三角形的不同的判定方法添加不同的条件．

解答解：∵∠A=∠C=90°，AB=CD，
∴若利用“SAS”，可添加AE=CB，
若利用“HL”，可添加EB=BD，
若利用“ASA”或“AAS”，可添加∠EBD=90°，
若添加∠E=∠DBC，可利用“AAS”证明．
综上所述，可添加的条件为AE=CB（或EB=BD或∠EBD=90°或∠E=∠DBC等）．
故答案为：D．

点评本题主要考查了全等三角形的判定，开放型题目，根据不同的三角形全等的判定方法可以选择添加的条件也不相同．

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是经过A点的一条直线，且B、C在AE的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，CE=2，BD=6，则DE的长为．

分析求出∠ADB=∠AEC，∠DBA=∠CAE，根据AAS证△ABD≌△CAE，推出BD=AE，AD=CE求出AE和AD即可．

解答解：∵BD⊥AE，CE⊥AE，∠BAC=90°，
∴∠ADB=∠AEC=∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAE=90°，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ABD和△CAE中

{	∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠AEC AB=AC

，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵CE=2，BD=6，
∴AE=6，AD=2，
∴DE=AE-AD=4，
故答案为：4．

点评本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形，关键是求出AE=BD，CE=AD．

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE= cm．

分析根据直角三角形的两锐角互余的性质求出∠ECF=∠B，然后利用“角边角”证明△ABC和△FCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=EF，再根据AE=AC-CE，代入数据计算即可得解．

解答解：∵∠ACB=90°，
∴∠ECF+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠ECF=∠B（等角的余角相等），
在△FCE和△ABC中，

{	∠ECF=∠B EC=BC ∠ACB=∠FEC=90°

，
∴△ABC≌△FEC（ASA），
∴AC=EF，
∵AE=AC-CE，BC=2cm，EF=5cm，
∴AE=5-2=3cm．
故答案为：3．

点评本题考查了全等三角形的判定与性质，根据直角三角形的性质证明得到∠ECF=∠B是解题的关键．

如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为．

分析根据正方形的性质、直角三角形两个锐角互余以及等量代换可以证得△AFB≌△DEA；然后由全等三角形的对应边相等推知AF=DE、BF=AE，所以EF=AF+AE=13．

解答解：∵ABCD是正方形（已知），
∴AB=AD，∠BAD=90°；
又∵∠FAB+∠FBA=∠FAB+∠EAD=90°，
∴∠FBA=∠EAD（等量代换）；
∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，
∴在Rt△AFB和Rt△DEA中，
∵

{	∠AFB=∠DEA=90° ∠FBA=∠EAD AB=DA

，
∴△AFB≌△DEA（AAS），
∴AF=DE=8，BF=AE=5（全等三角形的对应边相等），
∴EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13．
故答案为：13．

点评本题考查了全等三角形的判定．实际上，此题就是将EF的长度转化为与已知长度的线段DE和BF数量关系．

如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于D，AD=5cm，DE=2cm，则BE的长为 cm．

分析根据题中给出的条件易证△ACD≌△CBE，根据全等三角形对应边相等的性质可得AD=CE，CD=BE，即可求得CD的长，即可解题．

解答解：∵∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ACD和△CBE中，

{	∠ADC=∠CEB=90° ∠BCE=∠CAD AC=BC

，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴BE=CD=CE-DE=AD-DE=3cm，
故答案为 3．

点评本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ACD≌△CBE是解题的关键．

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若AE=5cm，则AC= cm．

分析根据直角三角形的两锐角互余的性质求出∠ECF=∠B，然后利用"角边角"证明△ABC和△FCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=EF，再根据AE=AC-CE，代入数据计算即可得解．

解答解：∵∠ACB=90°，
∴∠ECF+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠ECF=∠B（等角的余角相等），
在△FCE和△ABC中，

{	∠ECF=∠B EC=BC ∠ACB=∠FEC=90°

，
∴△ABC≌△FEC（ASA），
∴AC=EF，
∵AC=AE+CE，BC=2cm，AE=5cm，
∴AE=5+2=7cm．
故答案为：7．

点评本题考查了全等三角形的判定与性质，根据直角三角形的性质证明得到∠ECF=∠B是解题的关键．

到三点距离相等的点介绍：

1. 掌握到三边距离相等的点的性质。

如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在(　　)

A. △ABC的三条中线的交点
B. △ABC三边的中垂线的交点
C. △ABC三条高所在直线的交点
D. △ABC三条角平分线的交点

分析由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．

解答解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．
故选D．

点评本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

如图是三条两两相交的笔直公路，现要修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，这个加油站的位置个数为（）

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

分析根据角平分线性质，同时加油站的位置到三条路距离相等，从而得到三角形内心一个位置，外心三个位置．

解答解：由三角形有一内心，3个旁心，

∵内心和旁心都是角平分线的交点
∴由角平分线性质知内心和旁心心到角两边的距离相等．
如图所示点D为一个外心，点D到AC和AB的距离相等．
故选D．

点评本题考查角平分线性质，从而联系到三角形内心，和三角形的外心．

三角形中其交点到三边距离相等的是（　　）

A. 三个角的平分线
B. 三条高线
C. 三条中线
D. 三条边的垂直平分线

分析由角平分线的性质可得：三角形中其交点到三边距离相等的是三个角的平分线．即可求得答案．

解答解：三角形中其交点到三边距离相等的是三个角的平分线．
故选A．

点评此题考查了角平分线的性质．此题比较简单，注意掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

为了加快灾后重建的步伐，我市某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（　　）

A. 仅有一处
B. 有四处
C. 有七处
D. 有无数处

分析利用角平分线性质定理：角的平分线上的点，到这个角的两边的距离相等．又要求砂石场建在三条公路围成的一块平地上，所以是三个内角平分线的交点一个，外角的平分线的交点三个．

解答解：满足条件的点有一个，
三角形内部：三个内角平分线交点一个．
三角形外部，外角的角平分线三个（不合题意）．
故选A．

点评此题考查学生对角平分线的性质的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握角平分线性质定理．

角平分线+平行介绍：

1. 平行线与角平分线组合出等腰模型；
2. 平行线与等腰组合出角平分线模型。

如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为(　　)

A. 6
B. 7
C. 8
D. 9

分析由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，然后即可求得结论．

解答∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，
∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，
∴BM=ME，EN=CN，
∴MN=ME+EN，
即MN=BM+CN．
∵BM+CN=9
∴MN=9，
故选D．

点评此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题关键是证明△BMO△CNO是等腰三角形．

如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分线与∠BCD的平分线的交点E恰在AB上．若AD=7cm，BC=8cm，则AB的长度是 cm．

分析由角平分线的性质与平行线的性质，易证得△ADE与△BEC是等腰三角形，即AE=AD，BE=BC，又由AD=7cm，BC=8cm，则可求得AB的长度．

解答

解：∵∠ADC的平分线与∠BCD的平分线的交点E恰在AB上，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵AB∥DC，
∴∠2=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠5，∠4=∠6，
∴AE=AD，BE=BC，
∵AD=7cm，BC=8cm，
∴AB=AE+BE=AD+BC=7+8=15（cm）．
故答案为：15．

点评此题考查了梯形的性质，平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度不大，注意有平行线与角平分线出现，一般会有等腰三角形出现．

等边三角形类弦图模型介绍：

1. 等边三角形中的旋转类全等。

如图，E、F分别是等边三角形ABC的边AB、AC上的点，且BE=AF，CE、BF交于点P．
(1)求证：CE=BF；
(2)求∠BPC的度数．

分析*(1)欲证明CE=BF，只需证得△BCE≌△ABF；
(2)利用(1)中的全等三角形的性质得到∠BCE=∠ABF，则由图示知∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，所以根据三角形内角和定理求得∠BPC=120°．

解答(1)证明：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB，∠A=∠EBC=60°，
∴在△BCE与△ABF中，

{	BC=AB ∠A=∠EBC BE=AF

，
∴△BCE≌△ABF(SAS)，
∴CE=BF；
(2)解：∵由(1)知△BCE≌△ABF，
∴∠BCE=∠ABF，
∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，
∴∠BPC=180°-60°=120°．
即：∠BPC=120°．

点评本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

如图：△ABC是等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1，则AD的长是（　　）

A. 7
B. 6
C. 5
D. 4

分析由已知条件，先证明△ABE≌△CAD得∠BPQ=60°，可得BP=2PQ=6，AD=BE．则易求．

解答解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°；
又∵AE=CD，
在△ABE和△CAD中，

{	AB=CA ∠BAE=∠ACD AE=CD

，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；
∴BE=AD，∠CAD=∠ABE；
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；
∵BQ⊥AD，
∴∠AQB=90°，则∠PBQ=90°-60°=30°；
∵PQ=3，
∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6；
又∵PE=1，
∴AD=BE=BP+PE=7．
故选A．

点评本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及含30°的角的直角三角形的性质；巧妙借助三角形全等和直角三角形中30°的性质求解是正确解答本题的关键．

如图所示，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，则∠DFC的度数为（　　）

A. 60°
B. 45°
C. 40°
D. 30°

分析因为△ABC为等边三角形，所以∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC=AC，根据SAS易证△ABD≌△CAE，则∠BAD=∠ACE，再根据三角形内角和定理求得∠DFC的度数．

解答∵△ABC为等边三角形
∴∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°
∴AB=BC=AC
在△ABD和△CAE中
BD=AE，∠ABD=∠CAE，AB=AC
∴△ABD≌△CAE
∴∠BAD=∠ACE
又∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=60°
∴∠ACE+∠DAC=60°
∵∠ACE+∠DAC+∠AFC=180°
∴∠AFC=120°
∵∠AFC+∠DFC=180°
∴∠DFC=60°．
故选A．

点评本题考查了全等三角形的判定、等边三角形性质、三角形内角和定理及外角性质，综合性强，考查学生综合运用数学知识的能力．

如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则

= ．

分析首先根据题意推出△CAE≌△BCD，可知∠DCB=∠CAE，因此∠AFG=∠CAF+∠ACF=∠ACF+∠DCB=60°，所以∠FAG=30°，即可推出结论．

解答解：∵AD=BE，
∴CE=BD，
∵等边三角形ABC，
∴△CAE≌△DCB，
∴∠DCB=∠CAE，
∴∠AFG=∠CAF+∠ACF=∠ACF+∠DCB=60°，
∵AG⊥CD，
∴∠FAG=30°，
∴FG：AF=

．
故答案为

．

点评本题主要考查全等三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的性质，解题的关键在于根据题意推出△CAE≌△DCB和∠AFG=∠CAF+∠ACF=∠ACF+∠DCB=60°．

等腰共顶点模型介绍：

1. 等腰三角形共顶角顶点模型。

如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE．求证：AE∥BC．

分析根据等边三角形性质推出BC=AC，CD=CE，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°，求出∠BCD=∠ACE，根据SAS证△ACE≌△BCD，推出∠EAC=∠DBC=∠ACB，根据平行线的判定推出即可．

解答证明：∵△ABC和△DEC是等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCA-∠DCA=∠ECD-∠DCA，
即∠BCD=∠ACE，
∵在△ACE和△BCD中

{	AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD

，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴∠EAC=∠B=60°=∠ACB，
∴AE∥BC．

点评本题考查了等边三角形性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，关键是求出△ACE≌△BCD，主要考查学生的推理能力．

如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是
（　　）

A. △ACE≌△BCD
B. △BGC≌△AFC
C. △DCG≌△ECF
D. △ADB≌△CEA

分析首先根据角间的位置及大小关系证明∠BCD=∠ACE，再根据边角边定理，证明△BCE≌△ACD；由△BCE≌△ACD可得到∠DBC=∠CAE，再加上条件AC=BC，∠ACB=∠ACD=60°，可证出△BGC≌△AFC，再根据△BCD≌△ACE，可得∠CDB=∠CEA，再加上条件CE=CD，∠ACD=∠DCE=60°，又可证出△DCG≌△ECF，利用排除法可得到答案．

解答解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCA+∠ACD=∠ECD+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
∴在△BCD和△ACE中

{	BC=AC ∠ACE=∠ CD=CE

BCD，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
故A成立，
∴∠DBC=∠CAE，
∵∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠ACD=60°，
在△BGC和△AFC中

{	∠CAE=∠CBD AC=BC ∠ACB=∠ACD=60°

，
∴△BGC≌△AFC，
故B成立，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CDB=∠CEA，
在△DCG和△ECF中

{	∠CDB=∠CEA CE=CD ∠ACD=∠DCE=60°

，
∴△DCG≌△ECF，
故C成立，
故选：D．

点评此题主要考查了三角形全等的判定以及等边三角形的性质，解决问题的关键是根据已知条件找到可证三角形全等的条件．

如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，且A、B、D三点共线．下列结论：①AE=CD；②BF=BG；③HB平分∠AHD；④∠AHC=60°，⑤△BFG是等边三角形；⑥FG∥AD．其中正确的有（　　）

A. 3个
B. 4个
C. 5个
D. 6个

分析由题中条件可得△ABE≌△CBD，得出对应边、对应角相等，进而得出△BGD≌△BFE，△ABF≌△CBG，再由边角关系即可求解题中结论是否正确，进而可得出结论．

解答解：∵△ABC与△BDE为等边三角形，
∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠ABE=∠CBD，
即AB=BC，BD=BE，∠ABE=∠CBD
∴△ABE≌△CBD，
∴AE=CD，∠BDC=∠AEB，
①正确；
又∵∠DBG=∠FBE=60°，
∴△BGD≌△BFE，
∴BG=BF，∠BFG=∠BGF=60°，
②正确；
∴△BFG是等边三角形，⑤正确；
∴FG∥AD，⑥正确；
∵BF=BG，AB=BC，∠ABF=∠CBG=60°，
∴△ABF≌△CBG，
∴∠BAF=∠BCG，
∴∠CAF+∠ACB+∠BCD=∠CAF+∠ACB+∠BAF=60°+60°=120°，
∴∠AHC=60°，④正确；
∵△ABE≌△CBD，
∴这两个三角形对应边的高相等，
∴B到AE的距离=B到CD的距离
∴B在∠AHD的平分线上，
∴BH平分∠GHF，③正确
∴题中①②③④⑤⑥都正确．
故选D．

点评本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、角平分线的判定．

如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．
恒成立的结论有（　　）

A. ①②③
B. ①③⑤
C. ②③④
D. ①②③⑤

分析由已知条件运用等边三角形的性质得到三角形全等，进而得到更多结论，然后对各个结论进行验证，从而确定最后的答案．

解答解：①∵正△ABC和正△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∵∠ACD=∠ACB+∠BCD，∠BCE=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，（故①正确）；

②又∵CD=CE，∠DCP=∠ECQ=60°，∠ADC=∠BEC，
∴△CDP≌△CEQ（ASA）．

∴CP=CQ，
∴∠CPQ=∠CQP=60°，
∴∠QPC=∠BCA，
∴PQ∥AE，（故②正确）；

③∵△CDP≌△CEQ，
∴DP=QE，
∵△ADC≌△BEC
∴AD=BE，
∴AD-DP=BE-QE，
∴AP=BQ，（故③正确）；

④∵DE＞QE，且DP=QE，
∴DE＞DP，（故④错误）；

⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，（故⑤正确）．
∴正确的有：①②③⑤．
故答案为：D．

点评本题考查等边三角形的性质及全等三角形的判定等知识点；得到三角形全等是正确解答本题的关键．

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．
试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．

分析数量关系为：BE=EC，位置关系是：BE⊥EC；利用等腰直角三角形的性质，即可证得：△EAB≌△EDC即可证明．

解答数量关系为：BE=EC，位置关系是：BE⊥EC．
证明：∵△AED是直角三角形，∠AED=90°，且有一个锐角是45°，
∴∠EAD=∠EDA=45°，

∴AE=DE，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=45°+90°=135°，
∠EDC=∠ADC-∠EDA=180°-45°=135°，
∴∠EAB=∠EDC，
∵D是AC的中点，
∴AD=CD=

AC，
∵AC=2AB，
∴AB=AD=DC，
∵在△EAB和△EDC中

{	AE=DE ∠EAB=∠EDC AB=DC

，
∴△EAB≌△EDC（SAS），
∴EB=EC，且∠AEB=∠DEC，
∴∠BEC=∠DEC+∠BED=∠AEB+∠BED=∠AED=90°，
∴BE⊥EC．

点评本题主要考查了全等三角形的判定与应用，证明线段相等的问题一般的解决方法是转化为证明三角形全等．

已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°．
其中结论正确的个数是（　　）

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

分析①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE，本选项正确；
②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；
③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；
④利用周角减去两个直角可得答案．

解答解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，

{	AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，本选项正确；
②∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；
③∵∠ABD+∠DBC=45°，
∴∠ACE+∠DBC=45°，
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
则BD⊥CE，本选项正确；
④∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAE+∠DAC=360°-90°-90°=180°，故此选项正确，
故选：D．

点评此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．

角平分线对称性之作垂线介绍：

1. “角平分线的辅助线之作垂线”的技巧及应用。

已知：如图，△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB=10，BC=8，CA=6，则点O到三边AB、AC和BC的距离分别等于（　　）

A. 2、2、2
B. 3、3、3
C. 4、4、4
D. 2、3、5

分析由角平分线的性质易得OE=OF=OD，AE=AF，CE=CD，BD=BF，设OE=OF=OD=x，则CE=CD=x，BD=BF=8-x，AF=AE=6-x，所以6-x+8-x=10，解答即可．

解答

解：
连结OB，
∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，
∴OE=OF=OD，
又∵OB是公共边，
∴Rt△BOF≌Rt△BOD（HL），
∴BD=BF，
同理，AE=AF，CE=CD，
∵∠C=90°，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，OD=OE，
∴OECD是正方形，
设OE=OF=OD=x，则CE=CD=x，BD=BF=8-x，AF=AE=6-x，
∴BF+FA=AB=10，即6-x+8-x=10，
解得x=2．
则OE=OF=OD=2．
故选A．

点评此题综合考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质和正方形的判定等知识点，设未知数，并用未知数表示各边是关键．

如图，△ABC的三边AB、BC、AC的长分别为20、30、40，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S_△OAB：S_△OBC：S_△OAC=（　　）

A. 1：1：1
B. 6：4：3
C. 2：3：4
D. 4：3：2

分析由角平分线的性质可得，点O到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB、BC、CA的高相等，利用面积公式即可求解．

解答

解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵O是三角形三条角平分线的交点，
∴OD=OE=OF，
∵AB=20，BC=30，AC=40，
∴S_△OAB：S_△OBC：S_△OAC=2：3：4．
故答案为：2：3：4．

点评此题主要考查角平分线的性质和三角形面积的求法，难度不大，作辅助线很关键．

如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为．

分析根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE=2，PE=PN=2，即可得出答案．

解答

解：过点P作MN⊥AD，
∵AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E，
∴AP⊥BP，PN⊥BC，
∴PM=PE=2，PE=PN=2，
∴MN=2+2=4．
故答案为：4．

点评此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质，根据题意作出辅助线是解决问题的关键．

如图，AB∥CD，O为∠BAC，∠ACD平分线的交点，OE⊥AC交AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于．

分析要求二者的距离，首先要作出二者的距离，过点O作FG⊥AB，可以得到FG⊥CD，根据角平分线的性质可得，OE=OF=OG，即可求得AB与CD之间的距离．

解答

解：过点O作FG⊥AB，
∵AB∥CD，
∴∠BFG+∠FGD=180°，
∵∠BFG=90°，
∴∠FGD=90°，
∴FG⊥CD，
∴FG就是AB与CD之间的距离．
∵O为∠BAC，∠ACD平分线的交点，OE⊥AC交AC于E，
∴OE=OF=OG（角平分线上的点，到角两边距离相等），
∴AB与CD之间的距离等于2•OE=4．
故答案为：4．

点评本题主要考查角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，作出AB与CD之间的距离是正确解决本题的关键．

已知：如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=36°，则∠EAB的度数是 °．

分析过点E作EF⊥AD于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE=EF，再求出BE=EF，根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上可得AE是∠BAD的平分线，然后求出∠AED=90°，再根据同角的余角相等求出∠EAB=∠CED，从而得解．

解答

解：如图，过点E作EF⊥AD于F，
∵DE平分∠ADC，∠C=90°，
∴CE=EF，
∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∴EF=BE，
又∵∠B=90°，
∴AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE+∠ADE=

（360°-90°×2）=90°，
∴∠AED=180°-90°=90°，
∵∠CED+∠AEB=180°-90°=90°，
∠EAB+∠AEB=90°，
∴∠EAB=∠CED=36°．
故答案为：36．

点评本题考查了角平分线的性质与角平分线的判定，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．

如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为（　　）

A. 8
B. 12
C. 4
D. 6

分析过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF和Rt△DGH全等，根据全等三角形的面积相等可得S_△EDF=S_△GDH，设面积为S，然后根据S_△ADF=S_△ADH列出方程求解即可．

解答

解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，

{	DE=DG DF=DH

，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴S_△EDF=S_△GDH，设面积为S，
同理Rt△ADF≌Rt△ADH，
∴S_△ADF=S_△ADH，
即38+S=50-S，
解得S=6．
故选D．

点评本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键．

在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，如图，则∠EAB= 度．

分析过点E作AD的垂线，垂足为F，根据∠DFE=∠C=90°，DE平分∠ADC，可证△DCE≌△DFE，可得∠DEC=∠DEF，EC=EF，又已知EC=EB，可得EF=EB，且∠B=∠EFA=90°，可证△AFE≌△ABE，可知∠FEA=∠BEA，又∠DEC+∠DEF+∠FEA+∠BEA=180°，从而可得∠AED=90°再利用互余关系证明∠EAB=∠CED．

解答

解：过点E作AD的垂线，垂足为F，
∵∠DFE=∠C=90°，DE平分∠ADC，DE=DE，
∴△DCE≌△DFE（AAS），
∴∠DEC=∠DEF，EC=EF，
又∵EC=EB，则EF=EB，且∠B=∠EFA=90°，AE=AE，
∴△AFE≌△ABE（HL），
∴∠FEA=∠BEA，
又∵∠DEC+∠DEF+∠FEA+∠BEA=180°，
∴∠AED=90°，
∴∠CED+∠BEA=90°，
又∠EAB+∠BEA=90°，
∴∠EAB=∠CED=35°．

点评本题考查了角平分线在证明三角形全等中的运用．关键是根据题意，明确图形中的全等三角形，得出互余角，相等的角．

如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和40，则△EDF的面积为（　　）

A. 2.5
B. 5
C. 10
D. 20

分析过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，再利用“HL”证明Rt△DEF和Rt△DGH全等，根据全等三角形的面积相等可得S_△DEF=S_△DGH，然后列式求解即可．

解答

解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，

{	DE=DG DF=DH

，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴S_△DEF=S_△DGH，
∵△ADG和△AED的面积分别为50和40，
∴△EDF的面积=

×（50-40）=5．
故选B．

点评本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．

角平分线对称性之翻折介绍：

1. “角平分线的辅助线之截取相等线段构造全等”的技巧及应用。

如图，△ABC中，AD平分∠BAC，若AB+BD=AC，则∠B：∠C= ：．

分析如图，在AC上截取AE=AB，连接DE，可以证明△ABD≌△AED，然后利用全等三角形的性质和已知条件可以证明△DEC是等腰三角形，接着利用等腰三角形的性质即可求解．

解答

解：如图，在AC上截取AE=AB，连接DE．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAD，
在△ABD与△AED中，

{	AB=AE ∠BAD=∠EAD AD=AD

，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠B=∠AED，DE=BD，
而AB+BD=AC=AE+CE，
∴DE=CE，
∴∠EDC=∠C，
而∠AED=∠C+∠EDC，
∴∠C=∠B-∠C，
∴∠C=

∠B，
∴∠B：∠C=2：1．

点评此题主要考查了全等三角形的性质与判定，也考查了角平分线的性质，解题的关键是根据已知条件构造全等三角形，一般可以利用角平分线构造全等三角形解决问题．

如图，在四边形ABCD中，AB>AD，给出下列三个论断：
①对角线AC平分∠BAD；
②CD=BC；
③∠D+∠B=180°．
在上述三个论断中，若以其中两个论断作为条件，另外一个论断作结论，则可以得出____个正确的命题．

A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

分析共有：①②作为条件，③作为结论，
①③作为条件，②作为结论，
②③作为条件，①作为结论，3种情况，都是真命题．

解答解：过点C作CE⊥AB，CF⊥AD，垂足为E、F，若①②作为条件，③作为结论:可以证明△CBE与△CDF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠CDF，再根据平角定义得到∠B+∠D=180°，所以③作为结论是正确的命题；
若①③作为条件，②作为结论：与前一种情况的思路相反，可以根据条件证明△CBE与△CDF全等，再根据全等三角形对应边相等得到CD=BC，所以②作为结论是正确的命题；
若②③作为条件，①作为结论：先证明∠B=∠CDF，再根据“角角边”证明△CBE与△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=CF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上可得AC平分∠BAD，所以①作为结论是正确命题；
3种情况，都是真命题，
故可以写出3个正确的命题；
故答案为3，选D．

点评本题考查了全等三角形的判定与性质，以及条件的排列与组合，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键，是开放型题目．

角平分线对称性之顺延介绍：

1. “角平分线的辅助线之顺延构造等腰”的技巧及应用。

如图，△ABC的面积为1cm²，AP垂直∠ABC的平分线BP于P，则△PBC的面积为（　　）

A. 0.4 cm²
B. 0.5 cm²
C. 0.6 cm²
D. 0.7 cm²

分析延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△EBP，又知△APC和△EPC等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可求出三角形PBC的面积．

解答

解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∠ABP=∠EBP，
又知BP=BP，∠APB=∠EPB=90°，
∴△ABP≌△EBP，
∴S_△ABP=S_△EBP，AP=PE，
∴△APC和△EPC等底同高，
∴S_△APC=S_△EPC，
∴S_△PBC=S_△EBP+S_△EPC=

S_△ABC=0.5cm²，
故选B．

点评本题主要考查面积及等积变换的知识点．证明出三角形PBC的面积和原三角形的面积之间的数量关系是解题的难点．

如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=8，BC=5，则BD的长为．

分析延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE=AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC=EC，AE=BE=2BD，根据AC=8，BC=5，即可推出BD的长度．

解答

解：延长BD与AC交于点E，
∵∠A=∠ABD，
∴BE=AE，
∵BD⊥CD，
∴BE⊥CD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ECD，
∴∠EBC=∠BEC，
∴△BEC为等腰三角形，
∴BC=EC，
∵BE⊥CD，
∴2BD=BE，
∵AC=8，BC=5，
∴EC=5，
∴AE=AC-EC=8-5=3，
∴BE=3，
∴BD=1.5．

点评本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．

如图，已知S_△ABC=8m²，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S_△ADC= m²．

分析延长BD交AC于点E，则可知△ABE为等腰三角形，则S_△ABD=S_△AED，S_△BDC=S_△EDC，可得出S_△ADC=

S_△ABC．

解答解：如图，延长BD交AC于点E，

∵AD平分∠BAC，AD⊥BD，
∴∠BAD=∠EAD，∠ADB=∠ADE，
在△ABD和△AED中，

{	∠BAD=∠EAD AD=AD ∠ADB=∠ADE

，
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴BD=ED，
∴S_△ABD=S_△AED，S_△BDC=S_△EDC，
∴S_△ABD+S_△BDC=S_△AED+S_△EDC=S_△ADC，
∴S_△ADC═

S_△ABC=

×8=4（m²），
故答案为：4．

点评本题主要考查等腰三角形的判定和性质，由BD=ED得到S_△ABD=S_△AED，S_△BDC=S_△EDC是解题的关键．

如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=5，BC=3，则BD的长为．

分析延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE=AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC=EC，AE=BE=2BD，根据AC=5，BC=3，即可推出BD的长度．

解答解：延长BD与AC交于点E，
∵∠A=∠ABD，
∴BE=AE，
∵BD⊥CD，

∴BE⊥CD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ECD，
∴∠EBC=∠BEC，
∴△BEC为等腰三角形，
∴BC=EC，
∵BE⊥CD，
∴2BD=BE，
∵AC=5，BC=3，
∴EC=3，
∴AE=AC-EC=5-3=2，
∴BE=2，
∴BD=1．
故答案为：1．

点评本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．

利用等腰构造旋转全等介绍：

1. “辅助线的作法之截长补短”的技巧及应用。

已知，如图，BD是△ABC的角平分线，AB=AC，若BC=BA+CD，则∠A= °．

分析在BC上截取CF=CD，连结DF，证△ABD≌△FBD，推出∠A=∠DFB，推出2∠A-∠C=180°，根据三角形内角和定理得到∠A+2∠C=180°，解方程组即可求出答案．

解答解：在BC上截取CF=CD，连结DF．

∵BC=BA+CD，
∴BF=BA，
∵∠ABD=∠FBD，BD=BD，
∴△ABD≌△FBD，
∴∠A=∠DFB，
∵CD=CF，
∴∠CDF=∠CFD，
∴∠C+2∠DFC=180°，
∵∠A+∠DFC=180°，
∴2∠A-∠C=180°，
∵∠A+2∠C=180°，
解得：∠A=108°，
答：∠A的度数是108°．

点评本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．

已知，如图，BD是△ABC的角平分线，AB=AC，
若BC=AB+AD，则∠A= °．

分析在BC上截取BE=BA，连结DE，证△ABD≌△EBD，推出AD=DE=CE，∠A=∠DEB，证出∠A=2∠C，因为∠C=∠B，根据三角形内角和定理求出即可．

解答解：答：∠A=90°．理由如下：

在BC上截取BE=BA，连结DE．
∵BC=AB+AD，
∴CE=AD，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠EBD，
∵AB=BE，BD=BD，
∴△ABD≌△EBD，
∴AD=DE=CE，∠A=∠DEB，
∴∠C=∠EDC，
∴∠A=∠DEB=∠C+∠EDC=2∠C，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴4∠C=180°，
∴∠C=45°，∠A=2∠C=90°，
即∠A=90°．

点评本题主要考查与三角形有关的性质和定理．

········ THE END ········

特殊考题

二次根式

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内角平分线的交角

如图，在△ABC中，点O是∠ABC与∠ACB的角平分线的交点，若∠BAC=80°，则∠BOC=(　　)

A. 130°
B. 100°
C. 65°
D. 50°

如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC=118°，则∠A的大小是 °．

如图，在四边形ABCD中，∠COD=100°，∠ADC、∠DCB的平分线相交于点O，则（∠A+∠B）的和是（　　）

A. 160°
B. 180°
C. 200°
D. 260°

△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点I，∠A=60°，则∠BIC= °．

在△ABC中，I是∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，∠BIC=100°，则∠A的度数是(　　)

A. 20°
B. 50°
C. 65°
D. 80°

如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（　　）

A. 90°-
1
2
α
B. 90°+
1
2
α
C.
1
2
α
D. 360°-α

内外角平分线的交角

如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A=50°，则∠D=(　　)

A. 15°
B. 20°
C. 25°
D. 30°

A.
m
2²⁰¹³
B.
3m
2²⁰¹³
C.
m
2²⁰¹⁴
D.
3m
2²⁰¹⁴

已知：如图，在直角坐标系中，点A，B分别是x轴，y轴上的任意两点，BE是∠ABy的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的角平分线交于点C，则∠ACB= °．

如图，在△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线相交于D，如果∠A=a，那么∠D= ．

如图，在平面直角坐标系，点A、B分别是x轴正半轴、y轴正半轴上的动点，∠OAB的内角平分线与∠OBA的外角平分线所在直线交于点C，则∠ACB的度数为．

外角平分线的交角

如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= °．

如图，在△ABC中，∠B=50°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= °．

三垂直模型

如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件，使得△EAB≌△BCD（　　）

A. ∠EBD=60°
B. ∠E=∠EBA
C. EB=BC
D. AE=CB

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是经过A点的一条直线，且B、C在AE的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，CE=2，BD=6，则DE的长为．

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE= cm．

如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为．

如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于D，AD=5cm，DE=2cm，则BE的长为 cm．

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若AE=5cm，则AC= cm．

到三点距离相等的点

如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在(　　)

A. △ABC的三条中线的交点
B. △ABC三边的中垂线的交点
C. △ABC三条高所在直线的交点
D. △ABC三条角平分线的交点

如图是三条两两相交的笔直公路，现要修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，这个加油站的位置个数为（）

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

三角形中其交点到三边距离相等的是（　　）

A. 三个角的平分线
B. 三条高线
C. 三条中线
D. 三条边的垂直平分线

A. 仅有一处
B. 有四处
C. 有七处
D. 有无数处

角平分线+平行

如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为(　　)

A. 6
B. 7
C. 8
D. 9

如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分线与∠BCD的平分线的交点E恰在AB上．若AD=7cm，BC=8cm，则AB的长度是 cm．

等边三角形类弦图模型

如图，E、F分别是等边三角形ABC的边AB、AC上的点，且BE=AF，CE、BF交于点P．
(1)求证：CE=BF；
(2)求∠BPC的度数．

如图：△ABC是等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1，则AD的长是（　　）

A. 7
B. 6
C. 5
D. 4

如图所示，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，则∠DFC的度数为（　　）

A. 60°
B. 45°
C. 40°
D. 30°

如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则

= ．

等腰共顶点模型

如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE．求证：AE∥BC．

如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是
（　　）

A. △ACE≌△BCD
B. △BGC≌△AFC
C. △DCG≌△ECF
D. △ADB≌△CEA

A. 3个
B. 4个
C. 5个
D. 6个

A. ①②③
B. ①③⑤
C. ②③④
D. ①②③⑤

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

角平分线对称性之作垂线

A. 2、2、2
B. 3、3、3
C. 4、4、4
D. 2、3、5

如图，△ABC的三边AB、BC、AC的长分别为20、30、40，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S_△OAB：S_△OBC：S_△OAC=（　　）

A. 1：1：1
B. 6：4：3
C. 2：3：4
D. 4：3：2

如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为．

如图，AB∥CD，O为∠BAC，∠ACD平分线的交点，OE⊥AC交AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于．

已知：如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=36°，则∠EAB的度数是 °．

如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为（　　）

A. 8
B. 12
C. 4
D. 6

在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，如图，则∠EAB= 度．

如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和40，则△EDF的面积为（　　）

A. 2.5
B. 5
C. 10
D. 20

角平分线对称性之翻折

如图，△ABC中，AD平分∠BAC，若AB+BD=AC，则∠B：∠C= ：．

A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

角平分线对称性之顺延

如图，△ABC的面积为1cm²，AP垂直∠ABC的平分线BP于P，则△PBC的面积为（　　）

A. 0.4 cm²
B. 0.5 cm²
C. 0.6 cm²
D. 0.7 cm²

如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=8，BC=5，则BD的长为．

如图，已知S_△ABC=8m²，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S_△ADC= m²．

如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=5，BC=3，则BD的长为．

利用等腰构造旋转全等

已知，如图，BD是△ABC的角平分线，AB=AC，若BC=BA+CD，则∠A= °．

已知，如图，BD是△ABC的角平分线，AB=AC，
若BC=AB+AD，则∠A= °．

········ THE END ········

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