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特殊考题
含字母的根式化简介绍：

1. 含有字母的二次根式化简：一个数的平方开根号一定等于这个数的绝对值，如果这个数大于等于0，最终结果就是这个数；如果这个数小于0，最终结果就是这个数的相反数。
若2＜a＜3，则
√(2-a)2
-
√(a-3)2
等于（　　）
  • A. 5-2a
  • B. 1-2a
  • C. 2a-1
  • D. 2a-5
分析先根据2＜a＜3给二次根式开方，得到a-2-（3-a），再计算结果就容易了．
解答解：∵2＜a＜3，
∴
√(2-a)2
-
√(a-3)2
=a-2-（3-a）=a-2-3+a=2a-5．
故选D．
点评本题考查了化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
当a＜-3时，化简
√(2a-1)2
+
√(a+3)2
的结果是(　　)
  • A. 3a+2
  • B. -3a-2
  • C. 4-a
  • D. a-4
分析根据条件a＜-3，先判断(2a-1)和(a+3)的符号，再根据二次根式的性质开方，然后合并同类项．
解答解：∵a＜-3，
∴2a-1＜0，
∴a+3＜0，
∴原式=|2a-1|+|a+3|
=1-2a-a-3
=-3a-2．
故选B
点评此题考查了二次根式的化简，涉及绝对值、合并同类项等概念，要特别关注二次根式的性质：
√a2
=|a|=
{
a，a＞0
0，a=0
-a，a＜0
实数a在数轴上的位置如图所示，则
√(a-4)2
+
√(a-11)2
化简后为（　　）
  • A. 7
  • B. -7
  • C. 2a-15
  • D. 无法确定
分析先从实数a在数轴上的位置，得出a的取值范围，然后求出（a-4）和（a-11）的取值范围，再开方化简．
解答解：从实数a在数轴上的位置可得，
5＜a＜10，
所以a-4＞0，
a-11＜0，
则
√(a-4)2
+
√(a-11)2
，
=a-4+11-a，
=7．
故选A．
点评本题主要考查了二次根式的化简，正确理解二次根式的算术平方根等概念．
已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|-
√(a-b)2
的结果为（　　）
  • A. 0
  • B. -2a
  • C. 2b
  • D. -2a-2b
分析由数轴知：a＞0，b＜0，a+b＜0，然后化简|a+b|-(a-b)2即可得出答案．
解答解：由数轴知：a＞0，b＜0，a+b＜0，
∴|a+b|-(a-b)2=-（a+b）-（a-b）
=-a-b-a+b
=-2a，
故选B．
点评本题考查了二次根式的性质与化简即实数与数轴，属于基础题，关键是根据数轴得出a＞0，b＜0，a+b＜0．
如果
√(x-2)2
=2-x，那么x取值范围是（　　）
  • A. x≤2
  • B. x＜2
  • C. x≥2
  • D. x＞2
分析根据二次根式的被开方数是一个≥0的数，可得不等式，解即可．
解答解：∵
√(x-2)2
=2-x，
∴x-2≤0，
解得x≤2．
故选A．
点评本题考查了二次根式的化简与性质．解题的关键是要注意被开方数的取值范围．
若
√(x-7)2
=7-x，则x的取值范围是（　　）
  • A. x≥7
  • B. x≤7
  • C. x＞7
  • D. x＜7
分析利用一个数的算术平方根为非负数，列不等式求解．
解答解：∵
√(x-7)2
=7-x，根据一个数的算术平方根为非负数，
∴x-7≤0，
解得x≤7．
故选B．
点评注意：算术平方根都是非负数，这是解答此题的关键．注意：不可忽略x=7，因为x=7时，x-7=7-x．
若a≤1，则
√(1-a)3
化简后为（　　）
  • A. (a-1)
    √a-1
  • B. (1-a)
    √1-a
  • C. (a-1)
    √1-a
  • D. (1-a)
    √a-1
分析先根据a≤0判断出1-a的符号，再把二次根式进行化简即可．
解答解：∵a≤1，
∴1-a≥0，
∴原式=（1-a）
√1-a
．
故选B．
点评本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的基本性质是解答此题的关键．
已知b＞0，化简
√-a3b
的结果是(　　)
  • A. a
    √ab
  • B. -a
    √ab
  • C. -a
    √-ab
  • D. a
    √-ab
分析首先根据二次根式有意义的条件，判断a≤0，再根据二次根式的性质进行化简．
解答解：∵b＞0，-a3b≥0，
∴a≤0．
∴原式=-a
√-ab
．
故选C．
点评此题考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的性质．
不改变根式的大小把a
√-
1
a
中根号外的因式移到根号内的是（　　）
  • A.
    √-a
  • B. -
    √a
  • C. -
    √-a
  • D.
    √a
分析根据二次根式有意义的条件得到a＜0，则原式=-（-a）•
√-
1
a
，然后根据二次根式的性质得到原式=-
√(-a)2×(-
1
a
)
，再约分即可．
解答解：∵-
1
a
＞0，
∴a＜0，
∴原式=-（-a）•
√-
1
a

=-
√(-a)2×(-
1
a
)

=-
√-a
．
故选C．
点评本题考查了二次根式的性质与化简：
√a2
=|a|．
化简：x
√-
1
x
的结果是（　　）
  • A.
    √x
  • B.
    √-x
  • C. -
    √x
  • D. -
    √-x
分析根据二次根式的性质由题意可知x＜0，我们在变形时要注意原式的结果应该是个负数，然后根据二次根式的性质化简而得出结果．
解答解：原式=x
√
1
-x

=x
1
√-x

=x
√-x
-x

=-
√-x

故选：D．
点评本题考查了二次根式的性质与二次根式的化简，关键要把握住二次根式成立的条件．
化简
√4x2-4x+1
-(
√2x-3
)2得（　　）
  • A. 2
  • B. -4x+4
  • C. -2
  • D. 4x-4
分析原式可化为
√(2x-1)2
+(
√2x-3
)2，可得2x-3＞0，由于2x-1＞2x-3，所以2x-1＞0，再进行开方运算即可
解答解：原式=
√(2x-1)2
-（2x-3）=2x-1-2x+3=2．
故选A．
点评主要考查了根据二次根式的意义化简．二次根式
√a2
规律总结：当a≥0时，
√a2
=a；当a＜0时，
√a2
=-a．
二次根式（
√a
）2=a，（a≥0）．
化简
√x2-6x+9
+
√x2+2x+1
(-1＜x＜3)=      ．
分析由-1＜x＜3得知x-3＜0，x+1＞0，根据
√a2
=|a|去根号．
解答解：当-1＜x＜3时，
x-3＜0，x+1＞0，
故
√x2-6x+9
+
√x2+2x+1
=3-x+x+1=4．
点评本题主要考查二次根式的化简，比较简单．
被开方数的非负性介绍：

1. 二次根式内的式子的非负性：二次根式内的式子一定是非负性，很多时候利用这一定可以确定未知数的范围。
已知x、y为实数，且y=
√x2-9
-
√9-x2
+4，则x-y=      ．
分析根据一对相反数同时为二次根式的被开方数，那么被开方数为0可得x可能的值，进而得到y的值，相减即可．
解答解：由题意得x2-9=0，
解得x=±3，
∴y=4，
∴x-y=-1或-7．
故答案为-1或-7．
点评考查二次根式有意义的相关计算；得到x可能的值是解决本题的关键；用到的知识点为：一对相反数同时为二次根式的被开方数，那么被开方数为0．
已知y=
√2x-5
+
√5-2x
-3，则2xy的值为(　　)
  • A. -15
  • B. 15
  • C. -
    15
    2
  • D.
    15
    2
分析首先根据二次根式有意义的条件求出x的值，然后代入式子求出y的值，最后求出2xy的值．
解答解：要使有意义，则
{
2x-5≥0
5-2x≥0
，
解得x=
5
2
，
故y=-3，
∴2xy=2×
5
2
×(-3)=-15．
故选A．
点评本题主要考查二次根式有意义的条件，解答本题的关键是求出x和y的值，本题难度一般．
已知m为任意实数，且满足|2008-m|+
√m-2009
=m，则m-20082的值是（　　）
  • A. 2008
  • B. 2009
  • C. 2010
  • D. 无法确定
分析二次根式的被开方数是非负数．
解答解：根据题意，得
m-2009≥0，
即m≥2009，
∴由|2008-m|+
√m-2009
=m，得
m-2008+
√m-2009
=m，即
√m-2009
=2008，
两边平方，得
m-2009=20082，
∴m-20082=2009．
故选B．
点评考查了二次根式的意义和性质．概念：式子
√a
（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
若实数m满足|4-m|+
√m-7
=m，则m=      ．
分析先根据二次根式有意义得m-7≥0，即m≥7，再根据绝对值的性质得到m-4+
√m-7
=m，即
√m-7
=4，再求m的值即可．
解答解：根据题意，得
m-7≥0，
即m≥7，
∴由|4-m|+
√m-7
=m，
得m-4+
√m-7
=m，即
√m-7
=4，
两边平方，得
m-7=42，
∴m=23．
故答案为：23．
点评考查了二次根式的意义和性质以及绝对值的性质．概念：式子
√a
（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
条件有理化介绍：

1. 条件有理化就是通过代数变形，把条件中根式去掉的过程。利用条件有理化可以把复杂问题简单化，从而解决问题。
已知x-1=
√3
，代数式（x+1）2-4（x+1）+5=    ．
分析若将（x+1）看作一个整体，那么所求的代数式正好是个完全平方式，可按公式将所求代数式进行化简，然后再代值求解．
解答解：原式=（x+1-2）2+1
=（x-1）2+1，
当x-1=
√3
时，
原式=(
√3
)2+1=4．
点评在做此类化简求值问题时，应首先考虑将所求代数式化简，再代值计算．
已知：a=
√3
+1，则a2-2a+2013=    ．
分析首先得出a-1的值，进而利用配方法求出代数式的值即可．
解答解：∵a=
√3
+1，
∴a-1=
√3

∴a2-2a+2013
=（a-1）2+2012
=（
√3
）2+2012
=2015．
点评此题主要考查了配方法的应用，根据已知正确将原式变形得出完全平方公式是解题关键．
复合二次根式化简介绍：

1. 复合二次根式的化简的原理就是完全平方公式：把根号内的式子配成一个式子的平方，这样就能开出来了。
已知正整数a、b满足
√9-
√72
=
√a
-
√b
，那么a-b=（　　）
  • A. 2
  • B. 3
  • C. 4
  • D. 5
分析根据正整数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．
解答解：
将
√9-
√72
=
√a
-
√b
两边平方可得：
9-
√72
=a+b-2
√ab

因为a、b都是正整数，所以可得：
a+b=9，ab=18，
解得：a=6，b=3，
所以a-b=3．
点评本题主要考查二次根式的性质，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平方公式．
化简
√9-
√77
+
√9+
√77
=      ．
分析设
√9-
√77
+
√9+
√77
=k（k≥0），利用完全平方公式和平方差公式计算出k2的值，从而计算出k的值．
解答解：设
√9-
√77
+
√9+
√77
=k（k≥0），
则k2=9-
√77
+9+
√77
+2
√81-77

=18+2
√4

=22，
∴k=
√22
．
故答案为
√22
．
点评本题考查了二次根式的化简，在化简时要注意完全平方公式和平方差公的运用．
已知正整数a、b满足
√3-2
√2
=
√a
-
√b
那么a-b=    ．
分析根据正整数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．
解答解：
将
√3-2
√2
=
√a
-
√b
两边平方可得：
3-2
√2
=a+b-2
√ab

因为a、b都是正整数，所以可得：
a+b=3，ab=2，
解得：a=2，b=1，
所以a-b=1．
点评本题主要考查二次根式的性质，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平方公式．
√6-
√35
+
√6+
√35
的值为（　　）
  • A.
    √7
    +
    √5
  • B.
    √14
  • C.
    1
    2
    (
    √7
    -
    √5
    )
  • D. 1
分析本题可通过先求出
√6-
√35
+
√6+
√35
的平方值，然后再进行开方即可求出答案．
解答解：设y=
√6-
√35
+
√6+
√35

y2=（6-
√35
）+（6+
√35
）+2
√(6-
√35
)(6+
√35
)

=12+2=14，
∵y＞0，∴y=
√14
．
故选B．
点评本题考查二次根式的化简求值，对于有根号的式子，可先求出其平方值，然后再进行开方即可求出答案．
········ THE END ········
特殊考题
下一节：
一元二次方程
· 一元二次方程
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含字母的根式化简
1
若2＜a＜3，则
√(2-a)2
-
√(a-3)2
等于（　　）
  • A. 5-2a
  • B. 1-2a
  • C. 2a-1
  • D. 2a-5
2
当a＜-3时，化简
√(2a-1)2
+
√(a+3)2
的结果是(　　)
  • A. 3a+2
  • B. -3a-2
  • C. 4-a
  • D. a-4
3
实数a在数轴上的位置如图所示，则
√(a-4)2
+
√(a-11)2
化简后为（　　）
  • A. 7
  • B. -7
  • C. 2a-15
  • D. 无法确定
4
已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|-
√(a-b)2
的结果为（　　）
  • A. 0
  • B. -2a
  • C. 2b
  • D. -2a-2b
5
如果
√(x-2)2
=2-x，那么x取值范围是（　　）
  • A. x≤2
  • B. x＜2
  • C. x≥2
  • D. x＞2
6
若
√(x-7)2
=7-x，则x的取值范围是（　　）
  • A. x≥7
  • B. x≤7
  • C. x＞7
  • D. x＜7
7
若a≤1，则
√(1-a)3
化简后为（　　）
  • A. (a-1)
    √a-1
  • B. (1-a)
    √1-a
  • C. (a-1)
    √1-a
  • D. (1-a)
    √a-1
8
已知b＞0，化简
√-a3b
的结果是(　　)
  • A. a
    √ab
  • B. -a
    √ab
  • C. -a
    √-ab
  • D. a
    √-ab
9
不改变根式的大小把a
√-
1
a
中根号外的因式移到根号内的是（　　）
  • A.
    √-a
  • B. -
    √a
  • C. -
    √-a
  • D.
    √a
10
化简：x
√-
1
x
的结果是（　　）
  • A.
    √x
  • B.
    √-x
  • C. -
    √x
  • D. -
    √-x
11
化简
√4x2-4x+1
-(
√2x-3
)2得（　　）
  • A. 2
  • B. -4x+4
  • C. -2
  • D. 4x-4
12
化简
√x2-6x+9
+
√x2+2x+1
(-1＜x＜3)=      ．
13
被开方数的非负性
14
已知x、y为实数，且y=
√x2-9
-
√9-x2
+4，则x-y=      ．
15
已知y=
√2x-5
+
√5-2x
-3，则2xy的值为(　　)
  • A. -15
  • B. 15
  • C. -
    15
    2
  • D.
    15
    2
16
已知m为任意实数，且满足|2008-m|+
√m-2009
=m，则m-20082的值是（　　）
  • A. 2008
  • B. 2009
  • C. 2010
  • D. 无法确定
17
若实数m满足|4-m|+
√m-7
=m，则m=      ．
18
条件有理化
19
已知x-1=
√3
，代数式（x+1）2-4（x+1）+5=    ．
20
已知：a=
√3
+1，则a2-2a+2013=    ．
21
复合二次根式化简
22
已知正整数a、b满足
√9-
√72
=
√a
-
√b
，那么a-b=（　　）
  • A. 2
  • B. 3
  • C. 4
  • D. 5
23
化简
√9-
√77
+
√9+
√77
=      ．
24
已知正整数a、b满足
√3-2
√2
=
√a
-
√b
那么a-b=    ．
25
√6-
√35
+
√6+
√35
的值为（　　）
  • A.
    √7
    +
    √5
  • B.
    √14
  • C.
    1
    2
    (
    √7
    -
    √5
    )
  • D. 1
26
········ THE END ········
特殊考题
下一节：
一元二次方程
· 一元二次方程
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