乐学堂-上课

最短路径问题-展开图类介绍：

1. 三种常见的最短路径问题：
1. 立体图形中的最短路径；
2. 将军饮马问题；
3. 从角内一点出发，依次到角的两边，求这两段距离之和的最小值。

如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（　　）

A. 4
√2
dm
B. 2
√2
dm
C. 2
√5
dm
D. 4
√5
dm

分析要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．

解答

解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．
∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，
∴AB=2dm，BC=BC′=2dm，
∴AC²=2²+2²=4+4=8，
∴AC=2

√2

dm，
∴这圈金属丝的周长最小为2AC=4

√2

dm．
故选：A．

点评本题考查了平面展开-最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．

如图，圆柱底面半径为2cm，高为9πcm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，则棉线最短为 cm．

分析要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．

解答

解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB；
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；
∵圆柱底面半径为2cm，
∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×2=4πcm；
又∵圆柱高为9πcm，
∴小长方形的一条边长是3πcm；
根据勾股定理求得AC=CD=DB=5πcm；
∴AC+CD+DB=15πcm；
故答案为：15π．

点评本题主要考查了圆柱的计算、平面展开--路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．

如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=

BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（　　）

A. (4+
6
π
)cm
B. 5cm
C. 3
√5
cm
D. 7cm

分析首先画出圆柱的侧面展开图，根据高BC′=6cm，PC=

BC，求出PC′=

×6=4cm，在Rt△AC′P中，根据勾股定理求出AP的长．

解答

解：侧面展开图如图所示，
∵圆柱的底面周长为6cm，
∴AC′=3cm，
∵PC′=

BC′，
∴PC′=

×6=4cm，
在Rt△ACP中，
AP²=AC′²+CP²，
∴AP=

√3²+4²

=5．
故选B．

点评此题主要考查了平面展开图，以及勾股定理的应用，做题的关键是画出圆柱的侧面展开图．

如图，圆柱底面半径为

cm，高为9cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为(　　)

A. 12cm
B.
√97
cm
C. 15cm
D.
√21
cm

分析要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．

解答

解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB；
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；
∵圆柱底面半径为

cm，
∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×

=4cm；
又∵圆柱高为9cm，
∴小长方形的一条边长是3cm；
根据勾股定理求得AC=CD=DB=5cm；
∴AC+CD+DB=15cm；
故选C．

如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是．

分析要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．

解答解：如图，连接AE，
∵点C关于BD的对称点为点A，

∴PE+PC=PE+AP，
根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，
∵正方形ABCD的边长为2，E是BC边的中点，
∴BE=1，
∴AE=

√1²+2²

√5

，
故答案为：

√5

．

点评此题主要考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．根据已知得出两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值是解题关键．

如图，圆柱形纸杯高8cm，底面周长为12cm，在纸杯内壁离杯底2cm的点C处有一滴蜂蜜，在C点正对面的外壁距杯口2cm的点A处有一只蚂蚁，则蚂蚁要爬到C处饱餐一顿至少要爬（　　）

A. 2
√3
cm
B. 6
√2
cm
C. 10cm
D. 以上答案都不对

分析将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′C的长度即为所求．

解答

解：如图：
将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′C，则A′C即为最短距离，
由题意可得出：A′D=6cm，CD=8cm，
A′C=

√A′D²+CD²

=10（cm），
故选：C．

点评本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．

如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D的坐标为（2，0），P是OB上的一动点，试求PD+PA和的最小值是（　　）

A. 2
√10
B.
√10
C. 4
D. 6

分析要求PD+PA和的最小值，PD，PA不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PD，PA的值，从而找出其最小值求解．

解答

解：连接CD，交OB于P．则CD就是PD+PA和的最小值．
∵在直角△OCD中，∠COD=90°，OD=2，OC=6，
∴CD=

√2²+6²

√10

，
∴PD+PA=PD+PC=CD=2

√10

．
∴PD+PA和的最小值是2

√10

．
故选A．

点评考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．

如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为( )cm．

A. 5
√5
B. 4
√13
C. 13
D. 5
√10

分析将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′C的长度即为所求．

解答

解：如图：
将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′C，则A′C即为最短距离，
A′C=

√A′D²+CD²

√9²+13²

√250

√10

cm．
故答案为：D．

在锐角三角形ABC中，BC=4

√2

，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是．

分析过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC，则CE即为CM+MN的最小值，再根据BC=4

√2

，∠ABC=45°，BD平分∠ABC可知△BCE是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE的长．

解答

解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC，则CE即为CM+MN的最小值，
∵BC=4

√2

，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴CE=BC•cos45°=4

√2

=4．
故答案为：4．

点评本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．

如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（　　）

A. 3
B. 3
√3
C. 4
√3
D. 6

分析在AC上取一点E，使得AE=AB，过E作EN⊥AB于N，交AD于M，连接BM，BE，BE交AD于O，根据两点之间线段最短和垂线段最短得出此时BM+MN最小，求出E和B关于AD对称，求出BM+MN′=EN′，求出EN′，即可求出答案．

解答

解：在AC上取一点E，使得AE=AB，过E作EN⊥AB于N′，交AD于M，连接BM，BE，BE交AD于O，则BM+MN最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），
∵AD平分∠CAB，AE=AB，
∴EO=OB，AD⊥BE，
∴AD是BE的垂直平分线（三线合一），
∴E和B关于直线AD对称，
∴EM=BM，
即BM+MN′=EM+MN′=EN′，
∵EN′⊥AB，
∴∠ENA=90°，
∵∠CAB=60°，
∴∠AEN′=30°，
∵AE=AB=6，
∴AN=

AE=3，
在△AEN中，由勾股定理得：EN=

√AE²-AN′²

√6²-3²

√3

，即BM+MN的最小值是3

√3

．
故选B．

点评本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到垂线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．

网格与勾股定理介绍：

1. 网格中线段长度与勾股定理的关系。

如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为(　　)

A. 5
B. 6
C. 7
D. 25

分析建立格点三角形，利用勾股定理求解AB的长度即可．

解答解：如图所示：

AB=

√AC²+BC²

=5．
故选：A．

点评本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是掌握格点三角形中勾股定理的应用．

如图，每个小正方形的边长为1，△ABC的三边a，b，c的大小关系式（　　）

A. a＜c＜b
B. a＜b＜c
C. c＜a＜b
D. c＜b＜a

分析通过小正方形网格，可以看出AB=4，AC、BC分别与三角形的高构成直角三角形，再利用勾股定理可分别求出AC、BC，然后比较三边的大小即可．

解答解：∵AC=

√4²+3²

√25

，BC=

√4²+1²

√17

，AB=4=

√16

，
∴b＞a＞c，
即c＜a＜b．
故选C．

点评本题利用了勾股定理，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．

下图是一个单位长度为1的网格，请在图中画出一个以2

√5

、

√2

、3

√2

为边的三角形．

分析先画出2

√5

的线段，再以它的两个端点分别构造

√2

和3

√2

的线段，能拼成三角形的即可.

解答详见答案

点评本题考查了勾股定理逆定理的应用．

如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出以格点为端点、长度为

√5

的线段条．

分析如图，由于每个小正方形的边长为1，那么根据勾股定理容易得到长度为

√5

的线段，然后可以找出所有这样的线段．

解答解：如图，所有长度为

√5

的线段全部画出，共有8条．

点评此题是一个探究试题，首先探究如何找到长度为

√5

的线段，然后利用这个规律找出所有这样的线段．

已知两边和高求第三边介绍：

1. 掌握已知两边和第三边上的高求第三边问题的解题技巧。

在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上高AD=12，则BC的长为（　　）

A. 25
B. 7
C. 25或7
D. 不能确定

分析已知三角形两边的长和第三边的高，未明确这个三角形为钝角还是锐角三角形，所以需分情况讨论，即∠BAC是钝角还是锐角，然后利用勾股定理求解．

解答

解：如图1，锐角△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得
BD=

√AB²-AD²

√15²-12²

=9，
在Rt△ADC中AC=20，AD=12，由勾股定理得
DC=

√AC²-AD²

√20²-12²

=16，
BC的长为BD+DC=9+16=25．
如图2，钝角△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得
BD=

√AB²-AD²

√15²-12²

=9，
在Rt△ACD中AC=20，AD=12，由勾股定理得
DC=

√AC²-AD²

√20²-12²

=16，
BC=CD-BD=7．
故选C．

点评本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确角的大小时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．

△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为(　　)

A. 42
B. 32
C. 42或32
D. 37或33

分析本题应分两种情况进行讨论：
(1)当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；
(2)当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．

解答解：此题应分两种情况说明：

(1)当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，
BD=

√AB²-AD²

√15²-12²

=9，
在Rt△ACD中，
CD=

√AC²-AD²

√13²-12²

=5
∴BC=5+9=14
∴△ABC的周长为：15+13+14=42；

(2)当△ABC为钝角三角形时，
在Rt△ABD中，BD=

√AB²-AD²

√15²-12²

=9，
在Rt△ACD中，CD=

√AC²-AD²

√13²-12²

=5，
∴BC=9-5=4．
∴△ABC的周长为：15+13+4=32
∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．
故选C．

点评此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度．

等面积法与勾股定理介绍：

1. 掌握勾股定理与角平分线性质结合的问题的解题技巧；
2. 掌握勾股定理与垂直平分线性质结合的问题的解题技巧；
3. 掌握已知直角三角形两直角边求斜边上高的问题的解题技巧。

如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，AD=13cm，AC=12cm，那么DE= cm．

分析首先根据勾股定理求得CD的长，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得DE等于CD．

解答∵AD=13cm，AC=12cm
∴CD=5cm
∵AD平分∠CAB
∴DE=CD=5cm

点评运用了勾股定理以及角平分线的性质．

如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AD=10cm，AC=8cm，那么D点到直线AB的距离是 cm．

分析首先根据勾股定理求得CD的长，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得D到AB的距离等于CD的长．

解答∵AD=10cm，AC=8cm
∴CD=6cm
∵AD平分∠CAB
∴D点到直线AB的距离=CD=6cm

点评运用了勾股定理以及角平分线的性质．

如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为．

分析先根据勾股定理求出BC的长，再根据图形翻折变换的性质得出AE=CE，进而求出△ABE的周长．

解答解：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，
∴BC=

√AC²-AB²

√5²-3²

=4，
∵△ADE是△CDE翻折而成，
∴AE=CE，
∴AE+BE=BC=4，
∴△ABE的周长=AB+BC=3+4=7．
故答案为：7．

点评本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，AC=13cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于（　　）

A. 15cm
B. 16cm
C. 17cm
D. 18cm

分析根据勾股定理求得BC=12cm，由题意得，AE=CE，则△ABE的周长等于AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC，即可求解．

解答解：在Rt△ABC中，BC=

√AC²-AB²

√13²-5²

=12cm，
由折叠过程可得，AE=CE，
则△ABE的周长等于AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC=5+12=17cm．
故选C．

点评此题考查了勾股定理及图形的折叠的知识，折叠构成的全等图形是常用的隐含条件．

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（　　）

A.
36
5
B.
12
25
C.
9
4
D.
3
√3
4

分析根据题意画出相应的图形，如图所示，在直角三角形ABC中，由AC及BC的长，利用勾股定理求出AB的长，然后过C作CD垂直于AB，由直角三角形的面积可以由两直角边乘积的一半来求，也可以由斜边AB乘斜边上的高CD除以2来求，两者相等，将AC，AB及BC的长代入求出CD的长，即为C到AB的距离．

解答解：根据题意画出相应的图形，如图所示：

在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，
根据勾股定理得：AB=

√AC²+BC²

=15，
过C作CD⊥AB，交AB于点D，
又S_△ABC=

AC•BC=

AB•CD，
∴CD=

AC•BC

9×12

，
则点C到AB的距离是

．
故选A

点评此题考查了勾股定理，点到直线的距离，以及三角形面积的求法，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

直角三角形的两条直角边分别是6和8，则这三角形斜边上的高是（　　）

A. 4.8
B. 5
C. 3
D. 10

分析根据直角三角形中勾股定理的运用，根据两直角边可以计算斜边的长度，根据面积法计算斜边的高．

解答解：两直角边为6、8，设斜边高线为h，
则该直角三角形的斜边长为

√6²+8²

=10．
根据面积法计算可得：S=

×6×8=

×10×h，
解得h=4.8．
故选 A．

点评本题考查了勾股定理的运用，考查了三角形面积的计算，根据面积法计算斜边上的高是解题的关键．

三个正方形共线问题介绍：

1. 掌握三个正方形共线问题的性质和原理。

如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为(　　)

A. 3
B. 4
C. 5
D. 7

分析根据已知及全等三角形的判定可得到△ABC≌△CDE，从而得到b的面积=a的面积+c的面积

解答

解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°
∴∠ACB=∠DEC
∵∠ABC=∠CDE，AC=CE，
∴△ABC≌△CDE，
∴BC=DE
∴(如图)，根据勾股定理的几何意义，b的面积=a的面积+c的面积
∴b的面积=a的面积+c的面积=3+4=7．
故选D．

点评本题考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．

如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（　　）

A. 4
B. 6
C. 16
D. 55

分析运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．

解答

解：∵a、b、c都是正方形，
∴AC=CD，∠ACD=90°；
∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DCE，
∵∠ABC=∠CED=90°，AC=CD，
∴△ACB≌△DCE，
∴AB=CE，BC=DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC²=AB²+BC²=AB²+DE²，
即S_b=S_a+S_c=11+5=16，
故选：C．

点评此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．

特殊直角三角形介绍：

1. 等腰直角三角形的三边之比是1：1：根号2；
2. 含30°角的直角三角形的三边关系是1：根号3：2。

一个等腰直角三角形的斜边为 4

√2

，则其面积为（　　）

A. 8
√2
B. 8
C. 16
D. 16
√2

分析设等腰直角三角形的两直角边为x，由勾股定理得出方程x²+x²=(4

√2

)²，求出x，再根据三角形的面积公式求出即可．

解答解：设等腰直角三角形的两直角边为x，
则由勾股定理得：x²+x²=(4

√2

)²，
解得：x=4，
即等腰直角三角形的面积是：

×4×4=8，
故选B．

点评本题考查了等腰直角三角形性质、勾股定理、三角形的面积等知识点，关键是求出等腰直角三角形的直角边，用了方程思想．

已知△ABC 的三个内角之比∠A：∠B：∠C=1：2：1，则三边之比AB：BC：CA是（　　）

A. 1：1：
√2
B. l：
√2
：1
C. 1：l：2
D. l：4：l

分析利用已知条件和三角形内角和定理求得∠A=∠C=45°，∠B=90°；然后根据等腰直角三角形的性质来计算三边之比AB：BC：CA．

解答

解：∵在△ABC 中，∠A：∠B：∠C=1：2：1（已知），
∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理），
∴∠A=∠C=45°，∠B=90°，
∴CA=

√2

AB，AB=BC，
∴AB：BC：CA=1：1：

√2

．
故选A．

点评本题考查了等腰直角三角形、三角形内角和定理．解答该题的关键是挖掘出隐含在题干中的已知条件：三角形的内角和的180°．

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，则AB的长为___．

A. 5
√2
B. 5
√3
C. 4
√2
D. 4
√3

分析利用30°的直角三角形中，三边从小到大的比是1：

√3

：2来得出解．

解答解：∵∠C=90°，∠B=30°，
∴AC：BC：AB=1：

√3

：2．
∵BC=6，
∴AB=4

√3

，
故答案为：4

√3

．

点评本题主要考察了30°的直角三角形中，三边从小到大的比是1：

√3

：2．

如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5cm，则AB的长为（　　）cm．

A. 6
√2
B. 10
√2
C. 10
√3
D. 6
√3

分析先有∠A=30°，那么∠ABC=60°，结合BD是角平分线，那么可求出∠ABD=∠CBD=30°，在Rt△DBC中，利用直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求出BD，再利用勾股定理可求BC，同理，在Rt△ABC中，AB=2BC，即可求AB．

解答解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
又∵Rt△CBD中，CD=5cm，
∴BD=10cm，
∴BC=

√BD²-CD²

√10²-5²

√3

cm，
∴AB=2BC=10

√3

cm，选C．

点评本题利用了角平分线定义、直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识．

如图，若∠A=60°，AC=20m，则BC大约是（结果精确到0.1m）（　　）

A. 34.64m
B. 34.6m
C. 28.3m
D. 17.3m

分析首先计算出∠B的度数，再根据直角三角形的性质可得AB=40m，再利用勾股定理计算出BC长即可．

解答解：∵∠A=60°，∠C=90°，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC，
∵AC=20m，
∴AB=40m，
∴BC=

√AB²-AC²

√1600-400

√1200

=20

√3

≈34.6（m），
故选：B．

点评此题主要考查了勾股定理，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（　　）

A. 2
√3
B. 2
C. 4
√3
D. 4

分析求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可．

解答解：∵∠A=30°，∠B=90°，
∴∠ACB=90°-30°=60°，
∵DE垂直平分斜边AC，
∴AD=CD，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴∠DCB=60°-30°=30°，
∵BD=1，
∴AD=CD=2BD=2，
∴AB=1+2=3，
在△BCD中，由勾股定理得：BC=

√3

，
在△ABC中，AC=2BC=2

√3

，
故选A．

点评本题考查了线段垂直平分线，含30°的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中．

如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．
（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；
（2）求线段BD的长．

分析（1）由平移的性质可知BE=2BC=6，DE=AC=3，故可得出BD⊥DE，由∠E=∠ACB=60°可知AC∥DE，故可得出结论；
（2）在Rt△BDE中利用勾股定理即可得出BD的长．

解答解：（1）AC⊥BD．
∵△DCE由△ABC平移而成，
∴BE=2BC=6，DE=AC=3，∠E=∠ACB=60°，
∴DE=

BE，
∴BD⊥DE，
又∵∠E=∠ACB=60°，
∴AC∥DE，
∴BD⊥AC，
∵△ABC是等边三角形，
∴BF是边AC的中线，
∴BD⊥AC，BD与AC互相垂直平分；

（2）∵由（1）知，AC∥DE，BD⊥AC，
∴△BED是直角三角形，
∵BE=6，DE=3，
∴BD=

√BE²-DE²

√6²-3²

√3

．

点评本题考查的是等边三角形的性质及平移的性质，熟知图形平移后的图形与原图形全等的性质是解答此题的关键．

如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（　　）

A.
√3
B. 2
√3
C. 3
√3
D. 4
√3

分析根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可以发现∠BDE=90°，再进一步根据勾股定理进行求解．

解答解：∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，
∴∠DCE=∠CDE=60°，BC=CD=4．
∴∠BDC=∠CBD=30°．
∴∠BDE=90°．
∴BD=

√BE²-DE²

√3

．
故选D．

点评此题综合应用了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质和勾股定理．

等边三角形面积公式介绍：

1. 掌握等边三角形的面积公式以及推导过程。

等边三角形的高为2

√3

，则它的边长为（　　）

A. 4
B. 3
C. 2
D. 5

分析根据等边三角形的性质及勾股定理先求得边长的一半，再求边长．

解答解：设等边三角形的边长是x．根据等腰三角形的三线合一以及勾股定理，得
x²=（

）²+12，x=4．
故选A．

点评考查了等腰三角形的性质以及勾股定理．

等边三角形的面积是16

√3

cm²，则边长是 cm．

分析根据三角形的面积公式，列方程求解．

解答解：根据题意画出等边三角形ABC，过A作BC边上的高AD，等边三角形三线合一，即D为BC的中点，
∴设BD=DC=a，

在Rt△ABD中，AB=2a，BD=a，
∴AD=

√AB²-BD²

√(2a)²-a²

√3

a，
∴△ABC的面积为

BC•AD=

×2a×

√3

a=16

√3

cm²，
解得：a=4cm，所以边长AB=2a=8cm；
故答案为：8．

点评本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，等边三角形面积的计算，本题中根据勾股定理计算AD的值是解题的关键．

边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为_______cm．

A. 2
√2
B. 3
√2
C. 3
√3
D. 2
√3

分析根据等边三角形三角都是60°，利用直角三角形的性质可求得其高．

解答解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵AB=6cm，
∴BD=

AB=3cm，
∴AD=

√3

BD=3

√3

cm．
故选C．

点评本题主要考查学生对等边三角形的性质的理解及应用能力，比较简单．

等边三角形的边长为2，则该等边三角形的面积是（　　）

A.
√3
B. 2
C. 1
D.
√2

分析根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD=CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求三角形ABC的面积，即可解题．

解答解：AB=2，∵等边三角形高线即中点，

∴BD=CD=1，
在Rt△ABD中，AB=2，BD=1，
∴AD=

√AB²-BD²

√3

，
∴等边△ABC的面积为

BC•AD=

×2×

√3

，
故选 A．

点评本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了等边三角形面积的计算，本题中根据勾股定理计算AD的值是解题的关键．

特殊直角三角形综合介绍：

1. 利用特殊直角三角形的三边比例关系解决相关问题。

如图，△ABC中，∠C=90°，BD=4

√2

，∠A=30°，∠BDC=45°，则AD为（）

A. 4
√3
-4．
B. 3
√3
C. 4
√3
D. 8
√3

分析证明DC=BC；借助等腰直角三角形的性质求出DC=BC=4；借助30°角的直角三角形性质求出AC=4

√3

，即可解决问题．

解答

解：∵∠C=90°，∠BDC=45°，
∴∠CBD=∠BDC=45°，
∴DC=BC；
∵BD=4

√2

，
∴DC=BC=4；
∵∠A=30°，
∴AC=

√3

BC=4

√3

，
∴AD=4

√3

-4，故选A．

点评该题主要考查了直角三角形的边角关系及其应用问题；解题的关键是根据具体问题，灵活选用解题方法；对综合解题能力提出了一定的要求．

将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（　　）

A. 3cm
B. 6cm
C. 3
√2
cm
D. 6
√2
cm

分析过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．

解答

解：过点C作CD⊥AD，∴CD=3，
在直角三角形ADC中，
∵∠CAD=30°，
∴AC=2CD=2×3=6，
又∵三角板是有45°角的三角板，
∴AB=AC=6，
∴BC²=AB²+AC²=6²+6²=72，
∴BC=6

√2

，
故选：D．

点评此题考查的知识点是含30°角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先由求得直角边，再由勾股定理求出最大边．

如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为(　　)

A. 2
B. 2
√3
C.
√3
3
+1
D.
√3
+1

分析在Rt△ACD中求出AD，在Rt△CDB中求出BD，继而可得出AB．

解答解：在Rt△ACD中，∠A=45°，CD=1，
则AD=CD=1，
在Rt△CDB中，∠B=30°，CD=1，
则BD=

√3

，
故AB=BD+AD=

√3

+1．
故选D．

点评本题考查了等腰直角三角形及含30°角的直角三角形的性质，要求我们熟练掌握这两种特殊直角三角形的性质．

如图，将一副三角板如图所示叠放在一起，若AB=8cm，则阴影部分的面积是 cm²．

分析由于BC∥DE，那么△ACF也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边AC的长；Rt△ABC中，已知斜边AB及∠B的度数，易求得AC的长，进而可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积．

解答解：∵∠B=30°，∠ACB=90°，AB=8cm，
∴AC=4cm．
由题意可知BC∥ED，
∴∠AFC=∠ADE=45°，
∴AC=CF=4cm．
故S_△ACF=

×4×4=8（cm²）．
故答案为8．

点评此题考查的知识点是含30°角的直角三角形及等腰直角三角形问题，发现△ACF是等腰直角三角形，并能根据直角三角形的性质求出直角边AC的长，是解答此题的关键．

········ THE END ········

特殊考题

多边形内角和

· 多边形内角和

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最短路径问题-展开图类

如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（　　）

A. 4
√2
dm
B. 2
√2
dm
C. 2
√5
dm
D. 4
√5
dm

如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=

BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（　　）

A. (4+
6
π
)cm
B. 5cm
C. 3
√5
cm
D. 7cm

如图，圆柱底面半径为

cm，高为9cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为(　　)

A. 12cm
B.
√97
cm
C. 15cm
D.
√21
cm

如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是．

A. 2
√3
cm
B. 6
√2
cm
C. 10cm
D. 以上答案都不对

A. 2
√10
B.
√10
C. 4
D. 6

A. 5
√5
B. 4
√13
C. 13
D. 5
√10

在锐角三角形ABC中，BC=4

√2

，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是．

如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（　　）

A. 3
B. 3
√3
C. 4
√3
D. 6

网格与勾股定理

如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为(　　)

A. 5
B. 6
C. 7
D. 25

如图，每个小正方形的边长为1，△ABC的三边a，b，c的大小关系式（　　）

A. a＜c＜b
B. a＜b＜c
C. c＜a＜b
D. c＜b＜a

下图是一个单位长度为1的网格，请在图中画出一个以2

√5

、

√2

、3

√2

为边的三角形．

如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出以格点为端点、长度为

√5

的线段条．

已知两边和高求第三边

在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上高AD=12，则BC的长为（　　）

A. 25
B. 7
C. 25或7
D. 不能确定

△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为(　　)

A. 42
B. 32
C. 42或32
D. 37或33

等面积法与勾股定理

如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，AD=13cm，AC=12cm，那么DE= cm．

如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AD=10cm，AC=8cm，那么D点到直线AB的距离是 cm．

如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为．

如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，AC=13cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于（　　）

A. 15cm
B. 16cm
C. 17cm
D. 18cm

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（　　）

A.
36
5
B.
12
25
C.
9
4
D.
3
√3
4

直角三角形的两条直角边分别是6和8，则这三角形斜边上的高是（　　）

A. 4.8
B. 5
C. 3
D. 10

三个正方形共线问题

如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为(　　)

A. 3
B. 4
C. 5
D. 7

如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（　　）

A. 4
B. 6
C. 16
D. 55

特殊直角三角形

一个等腰直角三角形的斜边为 4

√2

，则其面积为（　　）

A. 8
√2
B. 8
C. 16
D. 16
√2

已知△ABC 的三个内角之比∠A：∠B：∠C=1：2：1，则三边之比AB：BC：CA是（　　）

A. 1：1：
√2
B. l：
√2
：1
C. 1：l：2
D. l：4：l

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，则AB的长为___．

A. 5
√2
B. 5
√3
C. 4
√2
D. 4
√3

如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5cm，则AB的长为（　　）cm．

A. 6
√2
B. 10
√2
C. 10
√3
D. 6
√3

如图，若∠A=60°，AC=20m，则BC大约是（结果精确到0.1m）（　　）

A. 34.64m
B. 34.6m
C. 28.3m
D. 17.3m

如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（　　）

A. 2
√3
B. 2
C. 4
√3
D. 4

如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（　　）

A.
√3
B. 2
√3
C. 3
√3
D. 4
√3

等边三角形面积公式

等边三角形的高为2

√3

，则它的边长为（　　）

A. 4
B. 3
C. 2
D. 5

等边三角形的面积是16

√3

cm²，则边长是 cm．

边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为_______cm．

A. 2
√2
B. 3
√2
C. 3
√3
D. 2
√3

等边三角形的边长为2，则该等边三角形的面积是（　　）

A.
√3
B. 2
C. 1
D.
√2

特殊直角三角形综合

如图，△ABC中，∠C=90°，BD=4

√2

，∠A=30°，∠BDC=45°，则AD为（）

A. 4
√3
-4．
B. 3
√3
C. 4
√3
D. 8
√3

A. 3cm
B. 6cm
C. 3
√2
cm
D. 6
√2
cm

如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为(　　)

A. 2
B. 2
√3
C.
√3
3
+1
D.
√3
+1

如图，将一副三角板如图所示叠放在一起，若AB=8cm，则阴影部分的面积是 cm²．

········ THE END ········

特殊考题

多边形内角和

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