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已知三点找第四点确定平行四边形介绍：

1. 已知平面中的三点，会确定第四点与之构成平行四边形。

在直角坐标系中，已知A(1，0)，B(-1，-2)，C(2，-2)三点坐标，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标不可以是(　　)

A. (-2，0)
B. (0，4)
C. (4，0)
D. (0，-4)

分析首先以AB为对角线画平行四边形，再以BC为对角线画平行四边形，再以AC为对角线画平行四边形．

解答

解：如图所示：
故答案为：(-2，0)，(4，0)，(0，-4)，选B．

点评此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

在直角坐标系中，已知A（1，0）、B（-1，-2）、C（2，-2）三点坐标，若以A、B、C、D为顶

点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标可以是（）．
①（-2，0）②（0，-4）③（4，0）④（1，-4）

A. ②③④
B. ①②③
C. ①③④
D. ①②④

分析分别以AB、AC、BC为对角线进行寻找即可得出答案．

解答若以AC为对角线则D的坐标为（4，0）；
若以AB为对角线则D的坐标为（-2，0）；
若以BC为对角线则D的坐标为（0，-4）；
综上可得①②③正确．
故答案为①②③，所以选B．

点评本题考查了平行四边形的性质及坐标与图形的关系，属于基础题，注意在解答本题时要有序的进行查找，分别以每一条边为对角线，避免漏解．

平行四边形面积问题介绍：

1. 掌握与平行四边形有关的三种常见面积问题。

如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥AB，GH∥AD，与各边交点分别为E、F、G、H，则图中面积相等的平行四边形的对数为（　　）

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

分析平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形．所以△ABD的面积等于△BCD的面积．△BFP的面积等于△BGP的面积，△PED的面积等于△HPD的面积，从而可得到▱PFCH的面积等于▱AGPE的面积，同时加上一个公共的平行四边形，可以得出答案是三对．

解答∵ABCD为平行四边形，BD为对角线，
∴△ABD的面积等于△BCD的面积，
同理△BFP的面积等于△BGP的面积，△PED的面积等于△HPD的面积，
∵△BCD的面积减去△BFP的面积和△PHD的面积等于▱PFCH的面积，△ABD的面积减去△GBD和△EPD的面积等于▱AGPE的面积．
∴▱PFCH的面积=▱AGPE的面积，
∴同时加上▱PHDE或▱BFPG，
可以得出▱AGHD面积和▱EFCD面积相等，▱ABFE和▱BCHG面积相等．
所以有3对面积相等的平行四边形．
故选A．

点评本题考查平行四边形的性质．平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形．

如图，四边形ABCD、BEFD、EGHD均为平行四边形，其中C、F两点分别在EF、GH上．若四边形ABCD、BEFD、EGHD的面积分别为a、b、c，则关于a、b、c的大小关系，下列何者正确？（　　）

A. a＞b＞c
B. b＞c＞a
C. c＞b＞a
D. a=b=c

分析利用平行四边形的性质以及三角形同底等高面积相等，进而得出答案．

解答

解：连结EH，
∵四边形ABCD、BEFD、EGHD均为平行四边形，
∴S_△BDC=S_△BDE，S_△DEF=S_△DEH，
∴四边形ABCD、BEFD、EGHD的面积分别为a、b、c，
则a=b=c．
故选：D．

点评此题主要考查了平行四边形的性质，得出S_△BDC=S_△BDE，S_△DEF=S_△DEH是解题关键．

如图，直线EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是平行四边形ABCD面积的（　　）

A.
1
5
B.
1
4
C.
1
3
D.
1
2

分析由平行四边形的性质得到OA=OC，OB=OD，AB∥DC，证出△AOE和△COF全等，△AOB和△COD全等，得到面积相等，即可得到选项．

解答解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AB∥DC，
∴△AOE≌△COF，
∴S_△AOE=S_△COF，
∵∠AOD=∠COB，
∴△COB≌△AOD，
∴S_△AOD=S_△BOC，
同理S_△AOB=S_△DOC
∵0B=0D，
∴S_△AOB=S_△DOC，
∴阴影部分的面积是S_△AOE+S_△DOF=S_△DOC=

S_{平行四边形ABCD}．
故选B．

点评本题主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，解此题的关键是证明两个三角形全等．

如图，过▱ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的▱AEMG的面积S₁与▱HCFM的面积S₂的大小关系是（　　）

A. S₁＞S₂
B. S₁＜S₂
C. S₁=S₂
D. 2S₁=S₂

分析根据平行四边形的性质和判定得出平行四边形HBEM、GMFD，证△ABD≌△CDB，得出△ABD和△CDB的面积相等；同理得出△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，相减即可求出答案．

解答解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB，
∴AD=BC，AB=CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，
∴四边形HBEM、GMFD是平行四边形，
在△ABD和△CDB中；

∵

{	AB=CD BD=DB DA=CB

，
∴△ABD≌△CDB，
即△ABD和△CDB的面积相等；
同理△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，
故四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等，即S₁=S₂．
故选C．

点评本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△ABD和△CDB的面积相等，△BEP和△PGB的面积相等，△HPD和△FDP的面积相等，注意：如果两三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．

如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S₁、S₂的大小关系是（　　）

A. S₁＞S₂
B. S₁=S₂
C. S₁＜S₂
D. 3S₁=2S₂

分析由于矩形ABCD的面积等于2个△ABC的面积，而△ABC的面积又等于矩形AEFC的一半，所以可得两个矩形的面积关系．

解答解：矩形ABCD的面积S=2S_△ABC，而S_△ABC=

S_矩形AEFC，即S₁=S₂，
故选B．

点评本题主要考查了矩形的性质及面积的计算，能够熟练运用矩形的性质解决一些面积的计算问题．

如图所示，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点M、N，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则△AOB的面积为．

分析由于四边形ABCD是平行四边形，所以∠CAD=∠ACB，OA=OC，由此可以证明△CON≌△AOM，现在可以求出S_△AOD，再根据O是DB中点就可以求出S_△AOB．

解答解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CAD=∠ACB，OA=OC，而∠AOM=∠NOC，
∴△CON≌△AOM，
∴S_△AOD=4+2=6，
又∵OB=OD，
∴S_△AOB=S_△AOD=6．
故答案为6．

点评平行四边形的两条对角线交于一点，这个点是平行四边形的中心，也是两条对角线的中点，平行四边形被对角线分成的四部分的面积相等，并且经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成完全重合的两个图形．

含特殊角的平行四边形介绍：

1. 会计算含特殊角的平行四边形的面积。

一个平行四边形的两条邻边的长分别是4，5，它们的夹角是30°，则这个平行四边形的面积是（　　）

A. 10
B. 10
√3
C. 5
D. 5
√3

分析作出30°角所在的直角三角形，可得BC边上的高为2，BC乘以AE即为这个平行四边形的面积．

解答

解：如图，作AE⊥BC于点E．
∵AB=4，BC=5，∠B=30°，
∴AE=

AB=2，
∴这个平行四边形的面积是5×2=10．
故选A．

点评本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形．直角三角形的一个锐角是30°，它所对的直角边等于斜边的一半；平行四边形的面积等于底×高．

如图，在▱ABCD中，AB=4，BC=6，∠B=45°，则此平行四边形的面积是（　　）

A. 6
√2
B. 12
√2
C. 18
√2
D. 24
√2

分析过点A作AE⊥BC于E，根据含45度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，45°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AE的长，利用平行四边形的面积根据即可求出其面积．

解答

解：过点A作AE⊥BC于E，
∵直角△ABE中，∠B=45°，
∴AE=

√2

AB=2

√2

∴平行四边形ABCD面积=BC•AE=6×2

√2

=12

√2

，
故选：B．

点评本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的面积公式的运用和45度角的直角三角形的性质．

待处理介绍：

1. 掌握平行四边形中三类经典的全等图模。

如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE=DF．求证：AE=CF．

分析根据平行四边形的对边相等可得AB=CD，AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠ABD=∠CDB，然后求出∠ABE=∠CDF，再利用“边角边”证明△ABE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．

解答证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∴180°-∠ABD=180°-∠CDB，
即∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，

{	AB=CD ∠ABE=∠CDF BE=DF

，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE=CF．

点评本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟记性质与三角形全等的判定方法求出全等的条件是解题的关键．

如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E、F，求证：△AOE≌△COF．

分析根据平行四边形的性质得出OA=OC，AB∥CD，推出∠EAO=∠FCO，证出△AOE≌△COF即可．

解答解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB∥CD，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，

{	∠EAO=∠FCO AO=CO ∠EOA=∠FOC

，
∴△AOE≌△COF（ASA）．

点评本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定的应用，关键是根据平行四边形的性质得出AO=CO．

如图，已知▱ABCD中，F是BC边的中点，连结DF并延长，交AB的延长线于点E．求证：AB=BE．

分析根据平行四边形性质得出AB=DC，AB∥CD，推出∠C=∠FBE，∠CDF=∠E，证△CDF≌△BEF，推出BE=DC即可．

解答证明：∵F是BC边的中点，
∴BF=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥CD，
∴∠C=∠FBE，∠CDF=∠E，
∵在△CDF和△BEF中

{	∠C=∠FBE ∠CDF=∠E CF=BF

∴△CDF≌△BEF（AAS），
∴BE=DC，
∵AB=DC，
∴AB=BE．

点评本题考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，关键是推出△CDF≌△BEF．

如图，已知点E、F是平行四边形ABCD对角线上的两点，请添加一个条件使△ABE≌△CDF（只填一个即可）．

分析根据平行四边形性质推出AB=CD，AB∥CD，得出∠BAE=∠DCF，根据SAS证两三角形全等即可．

解答解：添加的条件是AE=CF，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF，
∵在△ABE和△CDF中

{	AB=CD ∠BAE=∠DCF AE=CF

，
∴△ABE≌△CDF，
故答案为：AE=CF．

点评本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定的应用，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力，也培养了学生的发散思维能力，题目比较好，是一道开放性的题目，答案不唯一．

如图，在平行四边形ABCD中，过AC中点O作直线，分别交AD、BC于点E、F．求证：△AOE≌△COF．

分析据平行四边形的性质可知：∠AEO=∠OFC，OA=OC，∠EAO=∠OCF，所以△AOE≌△COF．

解答解：证明：∵AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO．
又∵∠AOE=∠COF，OA=OC，
在△AOE和△COF中，

{	∠EAO=∠FCO OA=OC ∠AOE=∠COF

，
∴△AOE≌△COF．

点评此题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，首先利用平行四边形的性质构造全等条件，然后利用全等三角形的性质解决问题．

如图，点E是▱ABCD的边CD的中点，AD，BE的延长线相交于点F，DF=3，DE=2，则▱ABCD的周长为（　　）

A. 5
B. 7
C. 10
D. 14

分析根据平行四边形的性质可知DC

∥

AB，然后根据E为CD的中点可证DE为△FAB的中位线，已知DF=3，DE=2，可求得AD，AB的长度，继而可求得ABCD的周长．

解答解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC

∥

AB，AD

∥

BC，
∵E为CD的中点，
∴DE为△FAB的中位线，
∴AD=DF，DE=

AB，
∵DF=3，DE=2，
∴AD=3，AB=4，
∴四边形ABCD的周长为：2（AD+AB）=14．
故选D．

点评本题考查了平行四边形的性质，属于基础题，解答本题需要同学们熟练掌握平行四边形的基本性质．

勾股方程在矩形中的应用介绍：

如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（　　）

A. 3
B. 3.5
C. 2.5
D. 2.8

分析根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE，设CE=x，表示出ED的长度，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解．

解答解：∵EO是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
设CE=x，则ED=AD-AE=4-x，
在Rt△CDE中，CE²=CD²+ED²，
即x²=2²+（4-x）²，
解得x=2.5，
即CE的长为2.5．
故选C．

点评本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键．

已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O作BD垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为．

分析连接EB，构造直角三角形，设AE为x，则DE=BE=4-x，利用勾股定理得到有关x的一元一次方程，求得即可．

解答

解：连接EB，
∵EF垂直平分BD，
∴ED=EB，
设AE=xcm，则DE=EB=（4-x）cm，
在Rt△AEB中，
AE²+AB²=BE²，
即：x²+3²=（4-x）²，
解得：x=

故答案为：

cm．

点评本题考查了勾股定理的内容，利用勾股定理不单单能在直角三角形中求边长，而且能利用勾股定理这一隐含的等量关系列出方程．

直角三角形中矩形最值问题介绍：

1. 会利用勾股定理解决矩形中相关的线段长度计算问题。

如图，在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，D为边AC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则EF的最小值为(　　)

A. 2.4
B. 3
C. 4.8
D. 5

分析根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形EDFB是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=BD，则EF的最小值即为BD的最小值，根据垂线段最短，知：BD的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．

解答解：如图，连接BD．

∵在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，
∴AB²+BC²=AC²，即∠ABC=90°．
又∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
∴四边形EDFB是矩形，
∴EF=BD．
∵BD的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即4.8，
∴EF的最小值为4.8，
故选：C．

点评此题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质，要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．

如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为(　　)

A. 2
B. 2.2
C. 2.4
D. 2.5

分析根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．

解答解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB²+AC²=BC²，
即∠BAC=90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP．
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，
∴EF的最小值为2.4，
故选C．

点评此题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质，要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．

坐标系中的菱形介绍：

1. 掌握坐标系中菱形的计算技巧。

如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为(8，4)，则C点的坐标为( ， )．

分析首先由四边形OABC是菱形，可得OC=OA=AB=BC，BC∥OA，然后过点B作BD⊥OA于D，设AB=x，则OA=x，AD=8-x，在Rt△ABD中，利用勾股定理即可求得BC的长，则可得C点的坐标．

解答

解：过点B作BD⊥OA于D，
∵四边形OABC是菱形，
∴OC=OA=AB=BC，BC∥OA，
设AB=x，则OA=x，AD=8-x，
在Rt△ABD中，AB²=AD²+BD²，
即x²=(8-x)²+16，
解得：x=5，
∴BC=5，
∴C点的坐标为(3，4)．
故答案为：(3，4)．

点评此题考查了菱形的性质与勾股定理的应用．

如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点C的坐标是(3，4)，则顶点A、B的坐标分别是(　　)

A. (4，0)、(7，4)
B. (4，0)、(8，4)
C. (5，0)、(7，4)
D. (5，0)、(8，4)

分析过C作CE⊥OA，根据勾股定理求出OC的长度，则A、B两点坐标便不难求出．

解答

解：过C作CE⊥OA于E，
∵顶点C的坐标是(3，4)，
∴OE=3，CE=4，
∴OC=

√OE²+CE²

√3²+4²

=5，
∴点A的坐标为(5，0)，
5+3=8，
点B的坐标为(8，4)．
故选D．

点评根据菱形的性质和点C的坐标，作出辅助线是解决本题的突破口．

等宽纸条重叠问题介绍：

1. 掌握等宽纸条重叠问题的解题技巧。

如图，两条宽度为1的纸带，相交成60°角，那么重叠部分的面积是（　　）

A. 2
√3
B. 3
√3
-2
C.
3
√3
2
D.
2
√3
3

分析根据题意可知：所得图形是菱形，设菱形ABCD，由已知得∠ABE=60°，过A作AE⊥BC于E，由勾股定理可求BE、AB、BC的长度，根据菱形的面积公式即可求出所填答案．

解答

解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD，则∠ABE=60°，
过A作AE⊥BC于E，则AE=1，
设BE=x，
∵∠ABE=60°，
∴∠BAE=30°，
∴AB=2x，
在△ABE中，∠AEB=90°，由勾股定理并解得：
x=

√3

，
∴AB=BC=

√3

，
∴重叠部分的面积是：

√3

×1=

√3

．
故答案为：D．

点评本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，菱形的面积公式等知识点，把实际问题转化成数学问题，利用所学的知识进行计算是解此题的关键．

如图，将两张对边平行且宽度相等的纸条交叉叠放在一起，若∠DAB=60°，AD=2，则重合部分的面积为（　　）

A.
√3
B. 2
√3
C. 4
√3
D. 3
√3
-2

分析易得该四边形是一个菱形，作出高，求出高，即可求得相应的面积．

解答

解：∵两张纸条都是长方形，
∴AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．
∵两张长方形纸条的宽度相等，
∴DE=DF．
又∵平行四边形ABCD的面积=AB•DE=BC•DF，
∴AB=BC，
∴平行四边形ABCD为菱形．
∴AB=AD=2．
又∵∠DAB=60°，AD=2，
∴DE=

√3

，
∴S_菱形ABCD=AB•DE=2×

√3

．
故答案是：B．

点评本题主要考查了菱形的判定与性质．一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
①定义；
②四边相等的平行四边形；
③对角线相互垂直平分的平行四边形．

与60°有关的矩形和菱形介绍：

1. 掌握与60°有关的矩形和菱形问题的解题技巧。

如图，在矩形ABCD中，∠BOC=120°，AB=5，则BD的长为．

分析根据矩形性质求出BD=2BO，OA=OB，求出∠AOB=60°，得出等边三角形AOB，求出BO=AB，即可求出答案．

解答∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=2AO，BD=2BO，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠BOC=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=5，
∴BD=2BO=10，
故答案为：10．

点评本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形性质的应用，注意：矩形的对角线相等且互相平分．

如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=2，则AC的长是（　　）

A. 2
B. 4
C. 2
√3
D. 4
√3

分析根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠OCD=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．

解答解：在矩形ABCD中，OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠AOD=60°，
∴∠OCD=

∠AOD=

×60°=30°，
又∵∠ADC=90°，
∴AC=2AD=2×2=4．
故选B．

点评本题考查了矩形的性质，主要利用了矩形的对角线互相平分且相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．

如图，菱形ABCD中，∠A=60°，BD=7，则菱形ABCD的周长为．

分析根据菱形的性质可得：AB=AD，然后根据∠A=60°，可得三角形ABD为等边三角形，继而可得出边长以及周长．

解答∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD，
∵∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∵BD=7，
∴AB=BD=7，
∴菱形ABCD的周长=4×7=28．
故答案为：28．

点评本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形的四条边都相等的性质，比较简单．

如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，连结EF，则△AEF的面积是(　　)

A.
√3
+2
B. 2
√3
C. 3
√3
D. 12

分析首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可得△AEF是等边三角形，再根据勾股定理计算出AE=EF的值，再过A作AM⊥EF，再进一步利用三角函数计算出AM的值，即可算出三角形的面积．

解答

解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠B=∠D=60°，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴AB•AE=AD•AF，∠BAE=∠DAF=30°，
∴AE=AF，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=120°，
∴∠EAF=120°-30°-30°=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF，∠AEF=60°，
∵AB=4，
∴AE=2

√3

，
∴EF=AE=2

√3

，
过A作AM⊥EF，
∴由勾股定理得，AM=

√AE²-EM²

=3，
∴△AEF的面积是：

EF•AM=

×2

√3

×3=3

√3

．
故答案为：C．

点评此题考查菱形的性质，等边三角形的判定及勾股定理的运用．关键是掌握菱形的性质，证明△AEF是等边三角形．

如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（　　）

A. 1
B.
√3
C. 2
D. 2
√3

分析利用菱形的性质以及等边三角形的判定方法得出△DAB是等边三角形，进而得出BD的长．

解答∵菱形ABCD的边长为2，
∴AD=AB=2，
又∵∠DAB=60°，
∴△DAB是等边三角形，
∴AD=BD=AB=2，
则对角线BD的长是2．
故选：C．

点评此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定，得出△DAB是等边三角形是解题关键．

如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2cm，E、F分别是BC、CD的中点，连结AE、EF、AF，则△AEF的周长为（　　）

A. 2
√3
cm
B. 3
√3
cm
C. 4
√3
cm
D. 3cm

分析首先根据菱形的性质证明△ABE≌△ADF，然后连结AC可推出△ABC以及△ACD为等边三角形．根据等腰三角形三线合一的定理又可推出△AEF是等边三角形．根据勾股定理可求出AE的长继而求出周长．

解答

解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠D，
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴BE=DF，
在△ABE和△ADF中，

{	AB=AD ∠B=∠D BE=DF

∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF，∠BAE=∠DAF．
连结AC，
∵∠B=∠D=60°，
∴△ABC与△ACD是等边三角形，
∴AE⊥BC，AF⊥CD（等腰三角形底边上的中线与底边上的高线重合），
∴∠BAE=∠DAF=30°，
∴∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形．
∴AE=

√3

cm，
∴周长是3

√3

cm．
故选B．

点评此题考查的知识点：菱形的性质、等边三角形的判定和三角形中位线定理．

正方形与等边共边问题介绍：

1. 掌握正方形与等边三角形共边角度问题的解题技巧。

已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是 °或 °（从小到大依次填写）．

分析当E在正方形ABCD内时，根据正方形ABCD，得到AD=CD，∠ADC=90°，根据等边△CDE，得到CD=DE，∠CDE=60°，推出AD=DE，得出∠DAE=∠AED，根据三角形的内角和定理求出即可；
当E在正方形ABCD外时，根据等边三角形CDE，推出∠ADE=150°，求出即可．

解答

解：有两种情况：
（1）当E在正方形ABCD内时，如图①
∵正方形ABCD，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∵等边△CDE，
∴CD=DE，∠CDE=60°，
∴∠ADE=90°-60°=30°，
∴AD=DE，
∴∠DAE=∠AED=

（180°-∠ADE）=75°；

（2）当E在正方形ABCD外时，如图②
∵等边三角形CDE，
∴∠EDC=60°，
∴∠ADE=90°+60°=150°，
∴∠AED=∠DAE=

（180°-∠ADE）=15°．

故答案为：15°或75°．

点评本题主要考查对正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．

如图，以正方形ABCD的边AB为一边向外作等边△ABE，则∠BED的度数为（　　）

A. 55°
B. 45°
C. 40°
D. 42.5°

分析根据等边三角形，可证△AED为等腰三角形，从而可求∠AED，也就可得∠BED的度数．

解答解：∵等边△ABE
∴∠EAB=60°
∴∠EAD=150°
∵△ABE等边
∴AE=AD
∴∠AED=∠ADE=15°
∴∠BED=60°-15°=45°
故选B．

点评此题主要考查了等边三角形的性质．即每个角为60度．

正方形与弦图介绍：

1. 掌握正方形中的垂直线段模型。

如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．
(1)求证：AF=BE；
(2)如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．

分析(1)根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAE=∠D=90°，再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△DAF全等，再根据全等三角形的证明即可；
(2)过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，然后与(1)相同．

解答(1)证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠ABE=∠DAF，
∵在△ABE和△DAF中，

{	∠ABE=∠DAF AB=AD ∠BAE=∠D

，
∴△ABE≌△DAF(ASA)，
∴AF=BE；

(2)解：MP与NQ相等．
理由如下：如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，

∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形AMPF与四边形BNQE是平行四边形，
∴AF=PM，BE=NQ，
∴在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠ABE=∠DAF，
∵在△ABE和△DAF中，

{	∠ABE=∠DAF AB=AD ∠BAE=∠D

，
∴△ABE≌△DAF(ASA)，
∴AF=BE；
∴MP=NQ．

点评本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，主要利用了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，同角的余角相等的性质，利用三角形全等证明相等的边是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．

如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN，EF，M，N，E，F分别在边AB，CD，AD，BC上．小明认为：若MN=EF，则MN⊥EF；小亮认为：若MN⊥EF，则MN=EF．你认为（　　）

A. 仅小明对
B. 仅小亮对
C. 两人都对
D. 两人都不对

分析若MN=EF，先构造出以MN与EF为斜边的直角三角形，然后证明两直角三角形全等，然后根据全等三角形的对应角相等，结合图象可以证明出EF与MN垂直；第一个图中的线段EF沿直线EG折叠过去，得到的就是反例，此时有MN=EF，但是MN与EF肯定不垂直，因此小明的观点是错误的；
若MN⊥EF，则MN=EF，分别把MN和EF平移，然后根据三角函数即可得出结论．

解答

解：①若MN=EF，则必有MN⊥EF，这句话是正确的．
如图，∵EF=MN，MH=EG，
∴Rt△MHN≌Rt△EGF（HL），
∴∠EFG=∠MNH，
又∵∠EFG=∠ELM，
∴∠NMH+∠MNH=∠NMH+∠EFG=∠NMH+∠ELM=90°，
∴∠MOL=90°，
即MN⊥EF．

②若MN⊥EF，则MN=EF这句话是对的；
分别把MN和EF平移，如图，
∠AMN=∠AGD=∠BFE=∠DHC，
MN=GD=AD÷sin∠AGD，
EF=HC=CD÷sin∠DHC，
因此MN=EF．
故两人所说都对．
故选C．

点评解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，本题如图所示起到关键的作用，没有图形的限制，则第一种情况不一定正确．

正方形对称性的应用介绍：

1. 会利用正方形的对称性构造全等进行几何证明。

如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连结EF，给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=2EC．其中有正确结论的个数是（　　）

A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个

分析可以证明△ANP≌△FPE，即可证得①④是正确的，根据三角形的内角和定理即可判断②正确；根据P的任意性可以判断③⑤的正确性．

解答

解：延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M．
∵四边形ABCD是正方形．
∴∠ABP=∠CBD
又∵NP⊥AB，PE⊥BC，
∴四边形BNPE是正方形，∠ANP=∠EPF，
∴NP=EP，
∴AN=PF
在△ANP与△FPE中，
∵

{	NP=EP ∠ANP=∠EPF AN=PF

，
∴△ANP≌△FPE（SAS），
∴AP=EF，∠PFE=∠BAP（故①④正确）；
△APN与△FPM中，∠APN=∠FPM，∠NAP=∠PFM
∴∠PMF=∠ANP=90°
∴AP⊥EF，（故②正确）；
P是BD上任意一点，因而△APD是等腰三角形和PD=2EC不一定成立，（故③⑤错误）；
故正确的是：①②④．
故选：B．

点评本题主要考查了正方形的性质，正确证明△ANP≌△FPE，以及理解P的任意性是解决本题的关键．

如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连结EF，给出下列五个结论：
①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=EC．
其中正确结论的序号是（　　）

A. ①②③
B. ①④⑤
C. ①②④
D. ②④⑤

分析可以证明△ANP≌△FPE，即可证得①④是正确的，根据三角形的内角和定理即可判断②正确；根据P的任意性可以判断③⑤的正确性．

解答

解：过点P作PN⊥AB，垂足为点N，延长AP，交EF于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABP=∠CBD=45°，
∴△DFP为等腰直角三角形，
∴DF=PF，又AN=DF，
∴AN=FP，
又∵NP⊥AB，PE⊥BC，
∴四边形BNPE是正方形，
∴NP=EP，
又∵AP=PC，
四边形PECF为矩形，∴EF=PC，
∴AP=EF，故①正确；
在△ANP≌△FPE中

{	AN=FP NP=EP AP=EF

则△ANP≌△FPE（SSS），
∴∠PFE=∠BAP，故④正确；
△APN与△FPM中，∠APN=∠FPM，∠NAP=∠PFM
∴∠PMF=∠ANP=90°
∴AP⊥EF，故②正确；
P是BD上任意一点，因而△APD不一定是等腰三角形，故③错误；
∵在Rt△PDF中，PD＞PF，
在矩形PECF中，PF=EC，
∴PD＞EC，故⑤错误；
故答案为：C．

点评本题主要考查了正方形的性质，正确证明△ANP≌△FPE，以及理解P的任意性是解决本题的关键．

········ THE END ········

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