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相似三角形应用举例介绍：

1. 利用影长测量物体的高度；
2. 利用相似测量河的宽度（测量距离）；
3. 借助标杆或直尺测量物体的高度。

如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点，已知网高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离NM= 米．

分析首先根据题意易得△ABO∽△NAM，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

解答解：根据题意得：AO⊥BM，NM⊥BM，
∴AO∥NM，
∴△ABO∽△NBM，
∴

，
∵OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，
∴BM=OB+OM=4+5=9（米），
∴

1.52

，
解得：NM=3.42（米），
∴林丹起跳后击球点N离地面的距离NM为3.42米．
故答案为：3.42．

点评此题考查了相似三角形的应用．此题比较简单，注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用，注意把实际问题转化为数学问题求解．

如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为米．

分析根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根据其相似比即可求解．

解答

解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，即

，
则

4+3.5

0.8

，
∴h=1.5m．
故答案为：1.5米．

点评本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．

如图，已知零件的外径为25mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC=OD)量零件的内孔直径AB．若OC：OA=1：2，量得CD=10mm，则零件的厚度x= mm．

分析要求零件的厚度，由题可知只需求出AB即可．因为CD和AB平行，可得△AOB∽△COD，可以根据相似三角形对应边成比例即可解答．

解答∵两条尺长AC和BD相等，OC=OD
∴OA=OB
∵OC：OA=1：2
∴OD：OB=OC：OA=1：2
∵∠COD=∠AOB
∴△AOB∽△COD
∴CD：AB=OC：OA=1：2
∵CD=10mm
∴AB=20mm
∴2x+20=25
∴x=2.5mm．

点评本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出零件的内孔直径AB即可求得x的值．

如图，要测量池塘两端A、B的距离，可先取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=

CA，连接BC并延长到E，使CE=

CB，连接ED，如果量出DE的长为25米，那么池塘宽AB为米．

分析根据题意，AB∥ED，△ACB∽△DCE，可得两组对应边成比例．根据对应边成比例列方程即可解答．

解答解：∵CD=

CA，CE=

CB
∴CD：AC=CE：CB=1：2
∵∠ACB=∠DCE
∴△ACB∽△DCE
∴AB：ED=AC：CD=2：1
∵DE=25米
∴AB=50米．

点评本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出池塘宽．此题还考查了相似三角形的判定，对应边成比例，且夹角相等的三角形相似．

在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为 m．

分析根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．

解答设旗杆高度为x米，
由题意得，

1.8

，
解得x=15．
故答案为：15．

点评本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．

同一时刻，物体的高与影子的长成比例，某一时刻，高1.6m的人影长为1.2m，一电线杆影长为9m，则电线杆的高为 m．

分析根据在同一地点，物体的实际高度与它的影子的长度的比值一定，由此判断物体的实际高度与它的影子的长度成正比例，设出未知数，列出比例解答即可．

解答设这根电线杆的高度是x米，
1.6：1.2=x：9，
解得：x=12．
故答案为：12．

点评考查了相似三角形的应用，解答此题的关键是，根据题意，先判断哪两种相关联的量成何比例，即两个量的乘积一定则成反比例，两个量的比值一定则成正比例；再列出比例解答即可．

如图是小玲设计用手电来测量家附近“新华大厦”高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=24米，那么该大厦的高度约为（　　）

A. 8米
B. 16米
C. 24米
D. 36米

分析因为小玲和新华大厦均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答．

解答解：根据题意，易得到△ABP∽△PDC．
即

故CD=

×AB=

1.8

×1.2=16米；
那么该古城墙的高度是16米．
故选B．

点评本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．

如图，CD是平面镜子，光线从A点射出，经CD上一点E反射后照射到B点，若入射角为α，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C、D，且AC=3，BD=6，CD=10，则线段ED的长为（　　）

A.
20
3
B.
10
3
C. 7
D.
14
3

分析根据镜面反射的性质可求出△ACE∽△BDE，再根据相似三角形的相似比解答即可．

解答

解：如图，
∵CD是平面镜，α为入射角，∠1为反射角
∴α=∠1．
∵α+∠AEC=90°，∠1+∠BED=90°
∴∠AEC=BED，
∵AC⊥CD，BD⊥CD
∴∠ACE=∠BDE=90°
∴Rt△ACE∽Rt△BDE，
∴

，
∵AC=3，BD=6，CD=10
∴

10-ED

，
解得ED=

．
故选A．

点评应用反射的基本性质，得出三角形相似，运用相似比即可解答．

反A模型介绍：

1. 反A相似模型；
2. 反A相似模型的特殊情况。

如图，点D、E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED，若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为．

分析根据已知条件可知△ABC∽△AED，再通过两三角形的相似比可求出AB的长．

解答解：在△ABC和△AED中，
∵∠ABC=∠AED，∠BAC=∠EAD，
∴△AED∽△ABC，
∴

，
又∵DE=4，AE=5，BC=8，
∴AB=10．
故答案为：10．

点评本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是证出△ABC∽△AED，是一道基础题．

如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC=8，BC=6，DE=3，则AD的长为(　　)

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

分析Rt△ABC中，运用勾股定理求得AB，又△ADE∽△ABC，由

求得AD的长．

解答解：在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6
∴AB=

√AC²+BC²

√8²+6²

=10
又△ADE∽△ABC，则

，

∴AD=

3×10

=5
故选C．

点评本题考查了直角三角形中勾股定理的运用以及三角形相似的性质．

如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2，∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为(　　)

A. a
B.
1
2
a
C.
1
3
a
D.
2
3
a

分析首先证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，因为△ABD的面积为a，进而求出△ACD的面积．

解答解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∵AB=4，AD=2，
∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，
∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3，
∵△ABD的面积为a，
∴△ACD的面积为

a，
故选C．

点评本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型．

如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD=AB，∠ADE=∠C．
（1）求证：∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；
（2）求证：AB²=AE•AC．

分析（1）根据三角形的内角和定理可证∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；
（2）根据相似三角形的判定，由AA可证△ADE∽△ACD，得到

，即AD²=AE•AC．又AB=AD，即证AB²=AE•AC．

解答证明：（1）在△ADE和△ACD中，
∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠DAE，
∴∠AED=180°-∠DAE-∠ADE，
∠ADC=180°-∠DAE-∠C，
∴∠AED=∠ADC．（2分）
∵∠AED+∠DEC=180°，
∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠DEC=∠ADB，
又∵AB=AD，
∴∠ADB=∠B，
∴∠DEC=∠B．（4分）

（2）在△ADE和△ACD中，
由（1）知∠ADE=∠C，∠AED=∠ADC，
∴△ADE∽△ACD，（5分）
∴

，
即AD²=AE•AC．（7分）
又AB=AD，
∴AB²=AE•AC．（8分）

点评本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定等知识点，难度适中．

如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，则CD= ．

分析由已知角相等，加上公共角，得到三角形ABD与三角形ACB相似，由相似得比例，将AB与AD长代入即可求出CD的长．

解答在△ABD和△ACB中，∠ABD=∠C，∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴

，
∵AB=6，AD=4，
∴AC=

AB²

=9，
则CD=AC-AD=9-4=5．

点评此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．

如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中错误的是（　　）

A. ∠ACD=∠DAB
B. AD=DE
C. AD²=BD•CD
D. CD•AB=AC•BD

分析由∠ADC=∠ADB，根据有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．

解答解：如图，∠ADC=∠ADB，
A、∵∠ACD=∠DAB，
∴△ADC∽△BDA，故A选项正确；
B、∵AD=DE，
∴⌒AD=⌒DE，
∴∠DAE=∠B，
∴△ADC∽△BDA，故B选项正确；
C、∵AD²=BD•CD，
∴AD：BD=CD：AD，
∴△ADC∽△BDA，故C选项正确；
D、∵CD•AB=AC•BD，
∴CD：AC=BD：AB，
但∠ACD=∠ABD不是对应夹角，故D选项错误．
故选：D．

点评此题考查了相似三角形的判定以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

网格中的相似介绍：

1. 掌握判定网格中两个三角形是否相似的技巧。

下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是(　　)

分析根据勾股定理求出△ABC的三边，并求出三边之比，然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比，再根据三边对应成比例，两三角形相似选择答案．

解答解：根据勾股定理，AB=

√2²+2²

√2

，
BC=

√1²+1²

√2

，
AC=

√1²+3²

√10

，
所以△ABC的三边之比为

√2

：2

√2

：

√10

=1：2：

√5

，
A、三角形的三边分别为2，

√1²+3²

√10

，

√3²+3²

√2

，三边之比为2：

√10

：3

√2

：

√5

：3，故A选项错误；
B、三角形的三边分别为2，4，

√2²+4²

√5

，三边之比为2：4：2

√5

=1：2：

√5

，故B选项正确；
C、三角形的三边分别为2，3，

√2²+3²

√13

，三边之比为2：3：

√13

，故C选项错误；
D、三角形的三边分别为

√1²+2²

√5

，

√2²+3²

√13

，4，三边之比为

√5

：

√13

：4，故D选项错误．
故选B．

点评本题主要考查了相似三角形的判定与网格结构的知识，根据网格结构分别求出各三角形的三条边的长，并求出三边之比是解题的关键．

如图所示，棋盘上有A、B、C三个黑子与P、Q两个白子，要使△ABC∽△RPQ，则第三个白子R应放的位置可以是(　　)

A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁

分析由要使△ABC∽△RPQ，需

，然后利用方程求得RF的长，即可确定第三个白子R应放的位置．

解答

解：∵要使△ABC∽△RPQ，
需

，
即

，
解得：RF=6，
∴第三个白子R应放的位置可以是丁．
故选D．

点评此题考查了相似三角形的判定．解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．

如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与左图中△ABC相似的是(　　)

分析本题主要应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．

解答解：已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为

√2

、2、

√10

、
只有选项B的各边为1、

√2

、

√5

与它的各边对应成比例．
故选B．

点评此题考查三角形相似判定定理的应用．

如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在(　　)处．

A. P₁
B. P₂
C. P₃
D. P₄

分析根据相似三角形的判定：三对边分别对应成比例的两个三角形相似来进行判定．

解答解：若设每个小正方形的边长为1，
则AC：AB：BC=

√2

：1：

√5

，
要使PD：PB：BD=

√2

：1：

√5

，点P只能在P₃处，
故选C．

点评考查相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似．

相似三角形的复杂应用介绍：

1. 掌握相似三角形在复杂实际问题中的应用。

亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M，颖颖的头顶B及亮亮的眼睛A恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C，D．然后测出两人之间的距离CD=1.25m，颖颖与楼之间的距离DN=30m（C，D，N在一条直线上），颖颖的身高BD=1.6m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC=0.8m．你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？

分析此题属于实际应用题，解此题的关键是将实际问题转化为数学问题进行解答；此题需要转化为相似三角形的问题，利用相似三角形的判定与性质求解即可．

解答

解：过A作CN的平行线交BD于E，交MN于F．
由已知可得FN=ED=AC=0.8m，AE=CD=1.25m，EF=DN=30m，
∠AEB=∠AFM=90°．
又∠BAE=∠MAF，∴△ABE∽△AMF．
∴

．
即

1.6-0.8

1.25

1.25+30

．
解得MF=20m．
∴MN=MF+FN=20+0.8=20.8m．
所以住宅楼的高度为20.8m．

点评本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出住宅楼的高度，体现了转化的思想．

小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.8m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）．已

知小明的身高EF是1.7m，则楼高AB为 m（结果精确到0.1m）．

分析此题属于实际应用问题，解题的关键是将实际问题转化为数学问题进行解答；解题时要注意构造相似三角形，利用相似三角形的性质解题．

解答

解：过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，
则EH=AG=CD=1.2，DH=CE=0.8，DG=CA=30，
∵EF∥AB，
∴

，
由题意，知FH=EF-EH=1.7-1.2=0.5，
∴

0.5

0.8

，解得，BG=18.75，
∴AB=BG+AG=18.75+1.2=19.95≈20.0．
∴楼高AB约为20.0米．

点评本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了转化的思想．

旋转相似模型介绍：

1. 旋转相似模型的结论及其应用。

如图，△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．
(1)写出图中两对相似三角形(不得添加字母和线)．
(2)请选择其中的一对三角形，说明其相似的理由．

分析(1)根据有两组对角对应相等的三角形相似可得出△ABC∽△ADE，再由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可得出△ABD∽△ACE；
(2)由(1)中可得对应线段成比例，又根据其对应角相等，即可判定其相似．

解答(1)解：△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE；
(2)△ABD∽△ACE．
证明：由(1)知△ABC∽△ADE，
∴

，
∴AB×AE=AC×AD，
∴

，
∵∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△ACE．

点评本题考查的是相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解答此题的关键．

如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．则下列说法正确的是（）

A. △ABC∽△ABD
B. △ABC∽△AEC
C. △ABD∽△ACE
D. △ABD∽△ADE

分析△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE；
∠BAD=∠CAE，在此等式两边各加∠DAC，可证∠BAC=∠DAE，再结合已知中的∠ABC=∠ADE，可证△ABC∽△ADE；利用△ABC∽△ADE，可得AB：AD=AC：AE，再结合∠BAD=∠CAE，也可证△BAD∽△CAE．

解答解：△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE（2分）

证△ABC∽△ADE，
∵∠BAD=∠CAE，
∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，
即∠BAC=∠DAE．（4分）
又∵∠ABC=∠ADE，
∴△ABC∽△ADE．（5分）
∴

．（7分）
又∵∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△ACE．（8分）

点评本题利用了等量加等量和相等、相似三角形的判定和性质．

共线三等角模型介绍：

1. 共线三等角模型中的角度推导；
2. 共线三等角模型的应用。

如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=

，则△ABC的面积为(　　)

A. 8
√3
B. 15
C. 9
√3
D. 12
√3

分析首先由△ABC是等边三角形，可得∠B=∠C=∠ADE=60°，又由三角形外角的性质，求得∠ADB=∠DEC，即可得△ABD∽△DCE，又由BD=4，CE=

，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AB的长，则可求得△ABC的面积．

解答

解：∵△ABC是等边三角形，∠ADE=60°，
∴∠B=∠C=∠ADE=60°，AB=BC，
∵∠ADB=∠DAC+∠C，∠DEC=∠ADE+∠DAC，
∴∠ADB=∠DEC，
∴△ABD∽△DCE，
∴

，
∵BD=4，CE=

，
设AB=x，则DC=x-4，
∴

x-4

，
∴x=6，
∴AB=6，
过点A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABF中，AF=AB•sin60°=6×

√3

，
∴S_△ABC=

BC•AF=

×6×3

√3

．
故选C．

点评此题考查了相似三角形的判定与性质与等边三角形的性质．此题综合性较强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．

如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为(　　)

A. 9
B. 12
C. 15
D. 18

分析由∠ADE=60°，可证得△ABD∽△DCE；可用等边三角形的边长表示出DC的长，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得△ABC的边长．

解答解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC；
∴CD=BC-BD=AB-3；
∴∠BAD+∠ADB=120°
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠EDC=120°，
∴∠DAB=∠EDC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABD∽△DCE；
∴

，即

AB-3

；
解得AB=9．
故选A．

点评此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够证得△ABD∽△DCE是解答此题的关键．

如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=12，点E在AD边上，且AE=8，EF⊥BE交CD于F．
(1)求证：△ABE∽△DEF；
(2)求EF的长．

分析(1)由四边形ABCD是矩形，易得∠A=∠D=90°，又由EF⊥BE，利用同角的余角相等，即可得∠DEF=∠ABE，则可证得△ABE∽△DEF；
(2)由(1)：△ABE∽△DEF，根据相似三角形的对应边成比例，即可得

，又由AB=6，AD=12，AE=8，利用勾股定理求得BE的长，由DE=AB-AE，求得DE的长，继而求得EF的长．

解答解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEB+∠ABE=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠AEB+∠DEF=90°，
∴∠DEF=∠ABE，
∴△ABE∽△DEF；
(2)解：∵△ABE∽△DEF，
∴

，
∵AB=6，AD=12，AE=8，
∴BE=AB²+AE²=10，DE=AD-AE=12-8=4，
∴

，
解得：EF=

．

点评此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理等知识．此题难度不大，注意掌握有两角对应相等的三角形相似定理的应用是解此题的关键．

如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是BC、CD上的两个动点，且AE⊥EF．则AF的最小值是．

分析设BE=x，则EC=4-x，先利用等角的余角相等得到∠BAE=∠FEC，则可判断Rt△ABE∽Rt△ECF，利用相似比可表示出FC=

x(4-x)

，则DF=4-FC=4-

x(4-x)

x²-x+4=

（x-2）²+3，所以x=2时，DF有最小值3，而AF²=AD²+DF²，即DF最小时，AF最小，AF的最小值为

√4²+3²

=5．

解答解：设BE=x，则EC=4-x，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
而∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴Rt△ABE∽Rt△ECF，
∴

，即

4-x

，解得FC=

x(4-x)

，
∴DF=4-FC=4-

x(4-x)

x²-x+4=

（x-2）²+3
当x=2时，DF有最小值3，
∵AF²=AD²+DF²，
∴AF的最小值为

√4²+3²

=5．
故答案为：5．

点评本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组对应边的比相等，并且它们的夹角也相等，那么这两个三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．也考查了正方形的性质以及二次函数的最值问题．

在一块长为8、宽为2

√3

的矩形中，恰好截出三块形状相同、大小不等的直角三角形，且三角形的顶点都在矩形的边上．其中面积最小的直角三角形的较短直角边的长是．

分析设AE边为x，则DE边为8-x，根据相似三角形对应边成比例，列出比例式求解即可．

解答解：根据题意，截出的三角形是相似三角形，
设AE=x，则DE边为8-x，
∵△ABE∽△DEC，
∴

，
即

√3

8-x

，
整理得x²-8x+12=0，
解得x₁=2，x₂=6（舍去），
因此较短直角边的长为2．
故应填2．

点评本题主要利用相似三角形对应边成比例的性质，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键．

如图，在边长为10cm的正方形ABCD中，P为AB边上任意一点(P不与A、B两点重合)，连结DP，过点P作PE⊥DP，垂足为P，交BC于点E，则BE的最大长度为 cm．

分析☆设AP=x，BE=y．通过△ABP∽△PCQ的对应边成比例得到

，所以

10-x

，即y=-

x²+x．利用“配方法”求该函数的最大值．

解答

解：设AP=x，BE=y．
如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°
∵PE⊥DP，
∴∠2+∠3=90°，∠1+∠2=90°
∴∠1=∠3，
∴△ADP∽△BPE，
∴

，即

10-x

，
∴y=-

x²+x=-

(x-5)²+

(0＜x＜10)；
∴当x=5时，y有最大值

．
故答案是：

．

点评本题主要考查正方形的性质和二次函数的应用，关键在于理解题意运用三角形的相似性质求出y与x之间的函数关系，求最大值时，运用到“配方法”．

三角形内接正方形介绍：

1. 三角形的内接正方形与三角形底边和高之间的关系。

如图，四边形EFGH是△ABC内接正方形，BC=21cm，高AD=15cm，则内接正方形EFGH的边长是．

分析根据题意易证△AHG∽△ABC，列出比例关系，可以解出内接正方形EFGH的边长．

解答

解：设AD与HG的交点为M，
由题意知，
∵四边形EFGH是△ABC内接正方形，
∴HG∥BC，
∴△AHG∽△ABC，
∴

，

15-HG

，
解得HG=

，
故内接正方形EFGH的边长为

．

点评本题主要考查正方形的性质，三角形相似等知识点，不是很难．

如图，已知△ABC中，若BC=6，△ABC的面积为12，四边形DEFG是△ABC的内接正方形，则正方形DEFG的边长是．

分析如图，作辅助线；证明DE=DG=MN（设为λ），得到AM=AN-λ；证明△ADG∽△ABC，列出比例式

4-λ

，求出λ即可解决问题．

解答

解：如图，过点A作AN⊥BC，交DG于点M；
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE=DG=MN（设为λ），则AM=AN-λ；
∵BC=6，△ABC的面积为12，
∴

×6AN=12，
∴AN=4，AM=4-λ；
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴

4-λ

，
解得：λ=

．
故答案为

．

点评该题以正方形为载体，主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质等来分析、判断、推理或解答．

画平行线构造相似介绍：

1. 画平行构成A字形或8字形求线段比例。

△ABC中，D在AB上，且AD：DB=2：1，E是CD的中点，连AE并延长交BC于F，则EF：AE=(　　)

A.
1
6
B.
1
5
C.
1
4
D.
1
3

分析利用平行线分线段成比例定理将两条线段的比转化为其余已知线段的比即可．

解答

解：过点D作DG∥AF交CB于点G，
∵AD：DB=2：1，
∴DG：AF=BD：AB=1：3，
即DG=

AF
∵E是CD的中点，
∴FE=

DG，
∴EF=

AF，
∴EF：AE=1：5．
故选B．

点评本题考查平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理．

如图，已知点O是△ABC中BC边上的中点，且

，则

= ．

分析过B作BF平行于AC，交DE于点F，由两直线平行内错角相等得到两对内错角相等，再由O为BC的中点，得到BO=CO，利用AAS可得出三角形BOF与三角形COE全等，根据全等三角形对应边相等可得出BF=EC，再由BF平行于AE，利用平行线等分线段定理列出比例式，根据已知AB与AD的比值求出BD与AD的比值，即可得到BF与AE的比值，将BF等量代换为EC，可得出EC与AE的比值，根据比例的性质即可求出AE与AC的比值．

解答解：过B作BF∥AC，交DE于点F，

∵BF∥AC，
∴∠FBO=∠C，∠BFO=∠CEO，
又O为BC的中点，∴BO=CO，
在△OBF和△OCE中，

{	∠FBO=∠C ∠BFO=∠CEO BO=CO

，
∴△OBF≌△OCE（AAS），
∴BF=CE，
∵

，∴

，
又∵BF∥AE，∴

，
∴

，
则

CE+AE

．
故答案为：

．

点评此题考查了平行线分线段成比例性质，全等三角形的判定与性质，以及比例的性质，其中根据题意作出辅助线BF∥AC是解本题的关键．

角平分线定理介绍：

1. 角平分线分线段成比例定理。

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为．

分析利用角平分线分线段成比例定理可直接求解．

解答解：∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC=

√AB²+AC²

√6²+8²

=10，
∵AD平分∠BAC，
∴

∴

∴BD=

BC
解得BD=

．

点评本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，勾股定理，利用三角形的面积分别求出相应的高是解题的关键．

如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果

，那么

=(　　)

A.
1
3
B.
2
3
C.
2
5
D.
3
5

分析根据角平分线的定义，平行线的性质易证EA=ED，△CED∽△CAB，从而求得

的值．

解答解：∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠EAD，
∵DE∥AB，
∴△CED∽△CAB，∠BAD=∠EDA．
∴∠EDA=∠EAD，
∴EA=ED，
∵

，
∴ED：EC=2：3，
那么

=ED：EC=2：3．
故选B．

点评本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应边对应成比例．同时考查了角平分线的定义．

射影定理介绍：

1. 射影定理：
①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；
②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；
2. Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
①AD^2=BD•DC；
②AB^2=BD•BC；
③AC^2=CD•BC。

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，BD⊥DC，垂足分别为E，D，DE=3，BD=5，则腰长AB= ．

分析利用勾股定理列式求出BE的长，再利用∠CBD的正切值列式求出CD，然后根据等腰梯形的腰长相等解答．

解答解：∵DE=3，BD=5，DE⊥BC，
∴BE=

√BD²-DE²

√5²-3²

=4，
又∵BD⊥DC，
∴tan∠CBD=

，
即

，
解得CD=

，
∵梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，
∴AB=CD=

．
故答案为：

．

点评本题考查了等腰梯形的两腰相等，勾股定理的应用，利用锐角三角函数求解更加简便．

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，下列说法中正确的个数是（　　）
①AC•BC=AB•CD
②AC²=AD•DB
③BC²=BD•BA
④CD²=AD•DB．

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

分析由在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，易证得∠BDC=∠BCA=∠CDA=90°，又由∠A=∠A，∠B=∠B，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得△ACD∽△ABC，△BDC∽△BCA，则可得△ACD∽△CBD，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

解答解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠BDC=∠BCA=∠CDA=90°，
∵∠A=∠A，∠B=∠B，
∴△ACD∽△ABC，△BDC∽△BCA，
∴

，

，
∴AC•AB=BC•CD，故①正确；
BC²=BD•BA，故③正确；
∴△ACD∽△CBD，
∴

，

，
∴AC²=AD•AB，CD²=AD•DB，
故②错误，
④正确．
下列说法中正确的个数是3个．
故选C．

点评此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意对应线段的对应关系与比例变形．

········ THE END ········

特殊考题

锐角三角函数

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相似三角形应用举例

如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为米．

如图，已知零件的外径为25mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC=OD)量零件的内孔直径AB．若OC：OA=1：2，量得CD=10mm，则零件的厚度x= mm．

如图，要测量池塘两端A、B的距离，可先取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=

CA，连接BC并延长到E，使CE=

CB，连接ED，如果量出DE的长为25米，那么池塘宽AB为米．

在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为 m．

同一时刻，物体的高与影子的长成比例，某一时刻，高1.6m的人影长为1.2m，一电线杆影长为9m，则电线杆的高为 m．

A. 8米
B. 16米
C. 24米
D. 36米

A.
20
3
B.
10
3
C. 7
D.
14
3

反A模型

如图，点D、E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED，若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为．

如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC=8，BC=6，DE=3，则AD的长为(　　)

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2，∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为(　　)

A. a
B.
1
2
a
C.
1
3
a
D.
2
3
a

如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD=AB，∠ADE=∠C．
（1）求证：∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；
（2）求证：AB²=AE•AC．

如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，则CD= ．

A. ∠ACD=∠DAB
B. AD=DE
C. AD²=BD•CD
D. CD•AB=AC•BD

网格中的相似

下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是(　　)

如图所示，棋盘上有A、B、C三个黑子与P、Q两个白子，要使△ABC∽△RPQ，则第三个白子R应放的位置可以是(　　)

A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁

如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与左图中△ABC相似的是(　　)

如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在(　　)处．

A. P₁
B. P₂
C. P₃
D. P₄

相似三角形的复杂应用

知小明的身高EF是1.7m，则楼高AB为 m（结果精确到0.1m）．

旋转相似模型

如图，△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．
(1)写出图中两对相似三角形(不得添加字母和线)．
(2)请选择其中的一对三角形，说明其相似的理由．

如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．则下列说法正确的是（）

A. △ABC∽△ABD
B. △ABC∽△AEC
C. △ABD∽△ACE
D. △ABD∽△ADE

共线三等角模型

如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=

，则△ABC的面积为(　　)

A. 8
√3
B. 15
C. 9
√3
D. 12
√3

如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为(　　)

A. 9
B. 12
C. 15
D. 18

如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=12，点E在AD边上，且AE=8，EF⊥BE交CD于F．
(1)求证：△ABE∽△DEF；
(2)求EF的长．

如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是BC、CD上的两个动点，且AE⊥EF．则AF的最小值是．

在一块长为8、宽为2

√3

的矩形中，恰好截出三块形状相同、大小不等的直角三角形，且三角形的顶点都在矩形的边上．其中面积最小的直角三角形的较短直角边的长是．

如图，在边长为10cm的正方形ABCD中，P为AB边上任意一点(P不与A、B两点重合)，连结DP，过点P作PE⊥DP，垂足为P，交BC于点E，则BE的最大长度为 cm．

三角形内接正方形

如图，四边形EFGH是△ABC内接正方形，BC=21cm，高AD=15cm，则内接正方形EFGH的边长是．

如图，已知△ABC中，若BC=6，△ABC的面积为12，四边形DEFG是△ABC的内接正方形，则正方形DEFG的边长是．

画平行线构造相似

△ABC中，D在AB上，且AD：DB=2：1，E是CD的中点，连AE并延长交BC于F，则EF：AE=(　　)

A.
1
6
B.
1
5
C.
1
4
D.
1
3

如图，已知点O是△ABC中BC边上的中点，且

，则

= ．

角平分线定理

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为．

如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果

，那么

=(　　)

A.
1
3
B.
2
3
C.
2
5
D.
3
5

射影定理

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，BD⊥DC，垂足分别为E，D，DE=3，BD=5，则腰长AB= ．

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，下列说法中正确的个数是（　　）
①AC•BC=AB•CD
②AC²=AD•DB
③BC²=BD•BA
④CD²=AD•DB．

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

········ THE END ········

特殊考题

锐角三角函数

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