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已知一个三角函数求其他介绍：

1. 理解一个角的正弦等于它的余角的余弦；
2. 已知直角三角形中一个角的一个三角函数会求这个角的其他三角函数以及这个角余角的三角函数。

在Rt△ABC中，∠C=90°，且sinA=

，求cosB的值．

解答解 ∵∠A+∠B=90°，
∴cosB=cos（90°-∠A）
=sinA
=

求下列各式的值：
（1）sin²45°+ cos²45°；
（2）2sin30°+2cos60°+4tan45°；
（3）cos²30°+ sin²45°- tan60°·tan30°；
（4）

2sin30°

2cos30°-1

；
（5）

sin60°-tan45°

tan60°-2tan45°

．

已知∠A与∠B都是锐角．
（1）把cos（90°-∠A）写成∠A的正弦；
（2）把sin（90°-∠B）写成∠B的正弦．

（1）已知：cosA=

，且∠B=90°-∠A，求sinB的值；
（2）已知：sin22°=0.3746，cos22°=0.9272，求68°的正弦、余弦值．

在△ABC中，∠C=90°，sinA=

，那么cosB的值等于（　　）

A.
3
5
B.
4
5
C.
3
4
D.
4
3

分析根据∠A+∠B=90°得出cosB=sinA，代入求出即可．

解答解：

∵∠C=90°，sinA=

，
又∵∠A+∠B=90°，
∴cosB=sinA=

．
故选A．

点评本题考查了对互余两角三角函数的关系的应用，注意：已知∠A+∠B=90°，能推出sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotA=tanB．

在△ABC中，∠C=90°，若sinA=

，则cosB的值为(　　)

A.
1
2
B.
√2
2
C. 2
D.
√3
2

分析☆在直角三角形中，互余的两个角的正弦和余弦相等，即可求cosB．

解答解：如图所示，∠C=90°，sinA=

，

∵∠A+∠B=90°，
∴sinA=cosB=

．
故选A．

点评本题考查了互余三角函数的关系．知道互余的两个角的正弦和余弦相等．

在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=

，则tanB的值为(　　)

A.
12
13
B.
5
12
C.
13
12
D.
12
5

分析☆根据题意作出直角△ABC，然后根据sinA=

，设一条直角边BC为5x，斜边AB为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B．

解答解：

∵sinA=

，
∴设BC=5x，AB=13x，
则AC=

√AB²-BC²

=12x，
故tan∠B=

．
故选：D．

点评本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用．

已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=

，则tanB的值为(　　)

A.
4
3
B.
4
5
C.
5
4
D.
3
4

分析☆本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．

解答解：解法1：利用三角函数的定义及勾股定理求解．
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴sinA=

，tanB=

和a²+b²=c²．
∵sinA=

，设a=3x，则c=5x，结合a²+b²=c²得b=4x．
∴tanB=

．
故选A．
解法2：利用同角、互为余角的三角函数关系式求解．
∵A、B互为余角，
∴cosB=sin(90°-B)=sinA=

．
又∵sin²B+cos²B=1，
∴sinB=

√1-cos²B

，
∴tanB=

sinB

cosB

．
故选A．

点评求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角(或余角)的三角函数关系式求三角函数值．

网格中角的三角函数介绍：

1. 掌握网格中的角的三角函数的求解技巧。

如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为(　　)

A.
1
2
B.
1
3
C.
1
4
D.
√2
4

分析过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．

解答

解：过C点作CD⊥AB，垂足为D．
根据旋转性质可知，∠B′=∠B．
在Rt△BCD中，tanB=

，
∴tanB′=tanB=

．
故选B．

点评本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．

如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为(　　)

A.
1
2
B.
√5
5
C.
√10
10
D.
2
√5
5

分析利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答．

解答

解：如图：在B点正上方找一点D，使BD=BC，连接CD交AB于O，
根据网格的特点，CD⊥AB，
在Rt△AOC中，
CO=

√1²+1²

√2

；
AC=

√1²+3²

√10

；
则sinA=

√2

√10

√5

．
故选：B．

点评本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线CD并利用网格构造直角三角形是解题的关键．

如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为(　　)

A.
1
3
B.
1
2
C.
√2
2
D. 3

分析结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．

解答解：由图形知：tan∠ACB=

，
故选A．

点评本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义．

如图所示，在4×8的矩形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的三个顶点都在格点上，则tan∠BAC的值为(　　)

A.
1
2
B. 1
C.
√2
D.
√2
2

分析连接BD，找到∠BAC所在的直角三角形，利用勾股定理求出BD及AB的长，求得∠BAC的对比与邻边之比即可．

解答

解：连接BD，则△ABD是直角三角形，∠ABD=90°，
∵BD=

√1²+1²

√2

，AB=

√2²+2²

√2

，
∴tan∠BAD=

√2

．
故选A．

点评一个角的正切值等于这个角所在的直角三角形的对比与邻边之比；难点是得到∠BAC所在的直角三角形的两条直角边长度．

设未知数解直角三角形介绍：

1. 两个直角三角形组合在一起的计算问题及其应用。

如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB=

，则AC= ．

分析根据题中所给的条件，在直角三角形中解题．根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出AC．

解答解：∵在Rt△ABC中，cosB=

，
∴sinB=

，tanB=

sinB

cosB

．
∵在Rt△ABD中AD=4，
∴AB=

sinB

．
在Rt△ABC中，
∵tanB=

，
∴AC=

=5．

点评本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．

在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=

，AD=1．则BC长为(　　)

A. 2
√2
+1
B. 2
√2
+2
C. 3
√2
+1
D. 3
√2
+2

分析先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADB，得出AB=3，根据勾股定理求出BD=2

√2

，解Rt△ADC，得出DC=1；然后根据BC=BD+DC即可求解

解答解：在Rt△ABD中，∵sinB=

，
又∵AD=1，
∴AB=3，
∵BD²=AB²-AD²，
∴BD=

√3²-1²

√2

．
在Rt△ADC中，∵∠C=45°，
∴CD=AD=1．
∴BC=BD+DC=2

√2

+1．

点评本题考查了三角形的高的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解Rt△ADB与Rt△ADC，得出BD=2

√2

，DC=1是解题的关键．

如图所示，小明在自家楼顶上的点A处测量建在与小明家楼房同一水平线上邻居的电梯的高度，测得电梯楼顶部B处的仰角为45°，底部C处的俯角为26°，已知小明家楼房的高度AD=15米，求电梯楼的高度BC(结果精确到0.1米)．(参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49)

分析首先过点A作AE⊥BC于E，可得四边形ADCE是矩形，即可得CE=AD=15米，然后分别在Rt△ACE中，AE=

tan26°

与在Rt△ABE中，BE=AE•tan45°，即可求得BE的长，继而求得电梯楼的高度．

解答解：过点A作AE⊥BC于E，

∵AD⊥CD，BC⊥CD，
∴四边形ADCE是矩形，
∴CE=AD=15米，
在Rt△ACE中，AE=

tan26°

0.49

≈30.6(米)，
在Rt△ABE中，BE=AE•tan45°=30.6(米)，
∴BC=CE+BE=15+30.6=45.6(米)．
答：电梯楼的高度BC为45.6米．

点评此题考查了仰角与俯角的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．

九（一）班课题学习小组，为了了解大树生长状况，去年在学校门前点A处测得一棵大树顶点C的仰角为30°，树高5m；今年他们仍在原点A处测得大树D的仰角为37°，问这棵树一年生长了多少m？（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，

√3

≈1.732）

分析由题意得：∠DAB=37°，∠CAB=30°，BC=5m，然后分别在Rt△ABC与Rt△DAB中，利用正切函数求解即可求得答案．

解答解：根据题意得：∠DAB=37°，∠CAB=30°，BC=5m，
在Rt△ABC中，AB=

tan30°

√3

（m），
在Rt△DAB中，BD=AB•tan37°≈5

√3

×0.75≈6.495（m），
则CD=BD-BC=6.495-5=1.495（m）．
答：这棵树一年生长了1.495m．

点评本题考查仰角的定义．此题难度适中，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．

安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示．已知集热管AE与支架BF所在直线相交于水箱横截面⊙O的圆心O，⊙O的半径为0.2m，AO与屋面AB的夹角为32°，与铅垂线OD的夹角为40°，BF⊥AB于B，OD⊥AD于D，AB=2

m，求屋面AB的坡度和支架BF的长．
（参考数据：tan18°≈

，tan32°≈

，tan40°≈

）．

分析根据已知条件可求得∠CAD的度数．AB的坡度=CD：AD，利用∠CAD的正切值即求出AB的坡度．
在Rt△OAB中，可利用AB以及32°正切值求OB值，减去OF即可．

解答解：∵OD⊥AD，
∴∠AOD+∠OAC+∠CAD=90°．
∵∠OAC=32°，∠AOD=40°，
∴∠CAD=18°，
∴i=

=tan18°=1：3．
在Rt△OAB中，

=tan32°，
∴OB=AB•tan32°=2×

=1.24（m）．
∴BF=OB-OF=1.24-0.2=1.04（m）．

点评本题考查锐角三角函数的应用．注意坡度和一个角的正切值之间的关系．

如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为 m(结果保留根号)．

分析作CE⊥AB于点E，则△BCE和△BCD都是直角三角形，即可求得CE，BE的长，然后在Rt△ACE中利用三角函数求得AE的长，进而求得AB的长，即为大树的高度．

解答

解：作CE⊥AB于点E，
在Rt△BCE中，
BE=CD=5m，
CE=

tan30°

√3

m，
在Rt△ACE中，
AE=CE•tan45°=5

√3

m，
AB=BE+AE=（5+5

√3

）m．
故答案为：（5+5

√3

）．

点评本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．

如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°（A、B、C在同一条直线上），则河的宽度AB约为 m（精确到0.1m）．（参考数据：

√2

≈1.41，

√3

，1.73）

分析在Rt△ACD中求出AC，在Rt△BCD中求出BC，继而可得出AB．

解答解：在Rt△ACD中，CD=21m，∠DAC=30°，
则AC=

√3

CD≈36.3m；
在Rt△BCD中，∠DBC=45°，
则BC=CD=21m，
故AB=AC-BC=15.3m．
故答案为：15.3．

点评本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，理解俯角的定义，能利用三角函数表示线段的长度．

如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动1m（即BD=1m）到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO=51°18′，则梯子的长度= m．（参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248）

分析设梯子的长为xm．在Rt△ABO中，根据三角函数得到OB，在Rt△CDO中，根据三角函数得到OD，再根据BD=OD-OB，得到关于x的方程，解方程即可求解．

解答设梯子的长为xm．
在Rt△ABO中，cos∠ABO=

，
∴OB=AB•cos∠ABO=x•cos60°=

x．
在Rt△CDO中，cos∠CDO=

，
∴OD=CD•cos∠CDO=x•cos51°18′≈0.625x．
∵BD=OD-OB，
∴0.625x-

x=1，
解得x=8．
故梯子的长是8米．

点评此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．

设未知数解直角三角形介绍：

1. 利用设未知数列方程的技巧解直角三角形。

解决本章引言所提问题，如图23-17，某校九年级学生要测量当地电视塔的高度AB，因为不能直接到达塔底B处，他们采用在发射台院外与电视塔底B成一直线的C，D两处地面上，用测角器测得电视塔顶部A的仰角分别为45°和30°，同时量得CD为50m．已知测角器高为1m，问电视塔的高度为多少米？（精确到1m）

解答解设AB₁=xm．
在Rt△AC₁B₁中，由∠AC₁B₁=45°，得
C₁B₁= AB₁．
在Rt△AD₁B₁中，由∠AD₁B₁=30°，得
tan∠AD₁B₁=

AB₁

D₁B₁

AB₁

D₁C₁+C₁B₁

，
即

√3

50+x

．
解方程，得
x=25（

√3

+1）
≈68．
∴AB= AB₁+ B₁B
≈68+1
=69（m）．
答：电视塔的高度为69m．

如图23-18，一船以20n mile/h的速度向东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°的方向上，继续航行1h到达B处，再测得灯塔C在北偏东30°的方向上．已知灯塔C四周10n mil内有暗礁，问这船继续向东航行是否安全？

解答分析：这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB航线的距离是否大于10n mile．
解过点C作CD⊥AB于点D，设CD=xn mile．
在Rt△ACD中，AD=

tan∠CAD

tan30°

．
在Rt△BCD中，BD=

tan∠CBD

tan60°

．
由AB=AD-BD，得
AB=

tan30°

tan60°

=20，
即

√3

=20．
解方程，得
x=10

√3

＞10．
答：这船继续向东航行是安全的．

如图，小明想测山高和索道的长度．他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B=31°，再往山的方向(水平方向)前进80m至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE=39°．
(1)求这座山的高度(小明的身高忽略不计)；
(2)求索道AC的长(结果精确到0.1m)．
(参考数据：tan31°≈

，sin31°≈

，tan39°≈

，sin39°≈

)

分析(1)过点A作AD⊥BE于D，设山AD的高度为(x)m，在Rt△ABD和Rt△ACD中分别表示出BD和CD的长度，然后根据BD-CD=80m，列出方程，求出x的值；
(2)在Rt△ACD中，利用sin∠ACD=

，代入数值求出AC的长度．

解答解：(1)过点A作AD⊥BE于D，

设山AD的高度为(x)m，
在Rt△ABD中，
∵∠ADB=90°，tan31°=

，
∴BD=

tan31°

≈

x，
在Rt△ACD中，
∵∠ADC=90°，tan39°=

，
∴CD=

tan39°

≈

x，
∵BC=BD-CD，
∴

x=80，
解得：x=180．
即山的高度为180米；

(2)在Rt△ACD中，∠ADC=90°，
sin39°=

，
∴AC=

sin39°

180

≈282.9(m)．
答：索道AC长约为282.9米．

点评本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是利用仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．

如图某天上午9时，向阳号轮船位于A处，观测到某港口城市P位于轮船的北偏西67.5°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B处，这时观
测到城市P位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B与城市P的距离？（参考数据：sin36.9°≈

，tan36.9°≈

，sin67.5°≈

，tan67.5°≈

）

分析首先根据题意可得PC⊥AB，然后设PC=x海里，分别在Rt△APC中与Rt△PCB中，利用正切函数求得出AC与BC的长，由AB=21×5，即可得方程，解此方程即可求得x的值，继而求得答案．

解答解：根据题意得：PC⊥AB，
设PC=x海里．
在Rt△APC中，∵tan∠A=

，
∴AC=

tan67.5°

．…（3分）
在Rt△PCB中，∵tan∠B=

，
∴BC=

tan36.9°

．…（5分）
∵AC+BC=AB=21×5，
∴

=21×5，
解得x=60．
∵sin∠B=

，
∴PB=

sin∠B

sin36.9°

=60×

=100（海里）．
∴向阳号轮船所处位置B与城市P的距离为100海里．…（9分）

点评此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意结合实际问题，利用解直角三角形的相关知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．

如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1：

√3

（即AB：BC=1：

√3

），且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）．

分析过点A作AF⊥DE于F，可得四边形ABEF为矩形，设DE=x，在Rt△DCE和Rt△ABC中分别表示出CE，BC的长度，求出DF的长度，然后在Rt△ADF中表示出AF的长度，根据AF=BE，代入解方程求出x的值即可．

解答

解：如图，过点A作AF⊥DE于F，
则四边形ABEF为矩形，
∴AF=BE，EF=AB=3米，
设DE=x，
在Rt△CDE中，CE=

tan60°

√3

x，
在Rt△ABC中，
∵

√3

，AB=3，
∴BC=3

√3

，
在Rt△AFD中，DF=DE-EF=x-3，
∴AF=

x-3

tan30°

√3

（x-3），
∵AF=BE=BC+CE，
∴

√3

（x-3）=3

√3

x，
解得x=9（米）．
答：树高为9米．

点评本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形，难度一般．

如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为(　　)

A. 50
√3
米
B. 100
√3
米
C.
100
√3
+1
米
D.
100
√3
-1
米

分析首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，设AB=x(米)，再利用CD=BC-BD=100的关系，进而可解即可求出答案．

解答解：在Rt△ABD中，
∵∠ADB=45°，
∴BD=AB．
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=30°，
∴

=tan30°=

√3

，
∴BC=

√3

AB．
设AB=x(米)，
∵CD=100，
∴BC=x+100．
∴x+100=

√3

x
∴x=

100

√3

-1

米．
故选D．

点评本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．

如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离(AB)是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45°；小红眼睛与地面的距离(CD)是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°．两人相距28m且位于旗杆两侧(点B、N、D在同一条直线上)．旗杆MN的高度为 m．(参考数据：

√2

≈1.4，

√3

≈1.7，结果保留整数)

分析过点A作AE⊥MN于E，过点C作CF⊥MN于F，则EF=0.2m．由△AEM是等腰直角三角形得出AE=ME，设AE=ME=xm，则MF=（x+0.2）m，FC=（28-x）m．在Rt△MFC中，由tan∠MCF=

，得出

√3

x+0.2

28-x

，解方程求出x的值，则MN=ME+EN．

解答

解：过点A作AE⊥MN于E，过点C作CF⊥MN于F，
则EF=AB-CD=1.7-1.5=0.2（m），
在Rt△AEM中，∵∠AEM=90°，∠MAE=45°，
∴AE=ME．
设AE=ME=xm，则MF=（x+0.2）m，FC=（28-x）m．
在Rt△MFC中，∵∠MFC=90°，∠MCF=30°，
∴MF=CF•tan∠MCF，
∴x+0.2=

√3

（28-x），
解得x≈10，
∴MN=ME+EN=10+1.7≈12米．
答：旗杆MN的高度约为12米．

点评本题考查了解直角三角形的问题．该题是一个比较常规的解直角三角形问题，建立模型比较简单，但求解过程中涉及到根式和小数，算起来麻烦一些．

小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高（　　）

A. 600-250
√5
B. 600
√3
-250
C. 350+350
√3
D. 500
√3

分析构造两个直角三角形△ABE与△BDF，分别求解可得DF与EB的值，再利用图形关系，进而可求出答案．

解答

解：∵BE：AE=5：12，

√5²+12²

=13，又∠BEA=90°
∴BE：AE：AB=5：12：13，
∵AB=1300米，
∴AE=1200米，
BE=500米，
设EC=x米，
∵∠DBF=60°，
∴DF=

√3

x米．
又∵∠DAC=30°，
∴AC=

√3

CD．
即：1200+x=

√3

（500+

√3

x），
解得x=600-250

√3

．
∴DF=

√3

x=600

√3

-750，
∴CD=DF+CF=600

√3

-250（米）．
答：山高CD为（600

√3

-250）米．
故选：B．

点评本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助坡比、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．

解三角形之SAS介绍：

1. 利用已知角构造直角三角形再计算。

在△ABC中，∠A= 55°，b=20cm，c=30cm，求三角形的面积S_△ABC（精确到0.1cm²）．

解答如图23-15，作AB上的高CD．在Rt△ACD中，

∵CD=AC·sinA=bsinA，
∴S_△ABC=

AB·CD
=

bcsinA．
当∠A=55°，b=20cm，c=30cm时，有
S_△ABC=

bcsinA
=

×20×30×sin55°
=

×20×30×0.8912
≈245.8（cm²）．

已知△ABC中，∠C=90°，tanA=

，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=（　　）

A.
3
5
B.
√10
5
C.
3
10
D.
3
√10
10

分析作DE⊥AB于点E，根据相等的角的三角函数值相等即可得到

，设CD=1，则可以求得AD的长，然后利用勾股定理即可求得DE、AE的长，则BE可以求得，根据同角三角函数之间的关系即可求解．

解答

解：作DE⊥AB于点E．
∵∠CBD=∠A，
∴tanA=tan∠CBD=

，
设CD=1，则BC=2，AC=4，
∴AD=AC-CD=3，
在直角△ABC中，AB=

√AC²+BC²

√4+16

√5

，
在直角△ADE中，设DE=x，则AE=2x，
∵AE²+DE²=AD²，
∴x²+（2x）²=9，
解得：x=

√5

，
则DE=

√5

，AE=

√5

．
∴BE=AB-AE=2

√5

，
∴tan∠DBA=

，
∴sin∠DBA=

．
故选A．

点评本题考查了三角函数的定义，以及勾股定理，正确理解三角函数就是直角三角形中边的比值是关键．

如图，在△ABC中，AC=6，BC=5，sinA=

，则tanB= ．

分析如图，过点C作CD⊥AB于点D．通过解直角△ACD可以求得CD=4；然后通过解直角△CDB来求tanB的值．

解答

解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．
∵在直角△ACD中，AC=6，sinA=

，
∴

，则CD=4．
∴在直角△CDB中，由勾股定理求得BD=

√BC²-CD²

√5²-4²

=3，
∴tanB=

．
故答案是：

．

点评本题考查了解直角三角形．在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．

钓鱼岛自古以来就是中国的领土．如图，我国甲、乙两艘海监执法船某天在钓鱼岛附近海域巡航，某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的A处和正东方向的B处，这时两船同时接到立即赶往C处海域巡查的任务，并测得C处位于A处北偏东59°方向、位于B处北偏西44°方向．若甲、乙两船分别沿AC，BC方向航行，其平均速度分别是20海里/小时，18海里/小时，试估算哪艘船先赶到C处．
（参考数据：cos59°≈0.52，sin46°≈0.72）

分析作CD⊥AB于点D，由题意得：∠ACD=59°，∠DCB=44°，设CD的长为a海里，分别在Rt△ACD中，和在Rt△BCD中，用a表示出AC和BC，然后除以速度即可求得时间，比较即可确定答案

解答

解：如图，作CD⊥AB于点D，
由题意得：∠ACD=59°，∠DCB=44°，
设CD的长为a海里，
∵在Rt△ACD中，

=cos∠ACD，
∴AC=

cos∠ACD

0.52

≈1.92a；
∵在Rt△BCD中，

=cos∠BCD，
∴BC=

cos∠BCD

0.72

≈1.39a；
∵其平均速度分别是20海里/小时，18海里/小时，
∴1.92a÷20=0.096a.1.39a÷18=0.077a，
∵a＞0，
∴0.096a＞0.077a，
∴乙先到达．

点评本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键在于设出未知数a，使得运算更加方便，难度中等．

如图，防洪大堤的横截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE．（结果保留根号）

分析过点A作AF⊥BC于点F，在Rt△ABF中求出AF，然后在Rt△AEF中求出AE即可．

解答解：过点A作AF⊥BC于点F，

在Rt△ABF中，∠ABF=∠α=60°，
则AF=ABsin60°=10

√3

m，
在Rt△AEF中，∠E=∠β=45°，
则AE=

sin45°

=10

√6

m．
答：改造后的坡长AE为10

√6

m．

点评本题考查了坡度坡角的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数值求相关线段的长度，难度一般．

如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2

√3

，则AB的长为（）

A. 3+
√3
B. 3+
√2
C. 2+
√3
D. 2+
√2

分析过C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=∠B，推出BD=CD，根据含30度角的直角三角形求出CD，根据勾股定理求出AD，相加即可求出答案．

解答解：

过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠B=45°，
∴∠BCD=∠B=45°，
∴CD=BD，
∵∠A=30°，AC=2

√3

，
∴CD=

√3

，
∴BD=CD=

√3

，
由勾股定理得：AD=

√AC²-CD²

=3，
∴AB=AD+BD=3+

√3

，
答：AB的长是3+

√3

．
故答案为：3+

√3

，选A．

点评本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，关键是构造直角三角形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=6，Rt△AB′C′可以看作是由Rt△ABC绕点A逆时针方向旋转60°得到的，则线段B′C的长为（）

A. 3
√3
B. 3
√5
C. 3
√7
D. 3
√11

分析作B′E⊥AC交CA的延长线于E，由直角三角形的性质求得AC、AE，BC的值，根据旋转再求出对应角和对应线段的长，再在直角△B′EC中根据勾股定理求出B′C的长度．

解答

解：如图，作B′E⊥AC交CA的延长线于E．
∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=6，
∴∠ABC=30°，
∴AC=

AB=3，
∵Rt△AB′C′可以看作是由Rt△ABC绕点A逆时针方向旋转60°得到的，
∴AB=AB′=6，∠B′AC′=60°，
∴∠EAB′=180°-∠B′AC′-∠BAC=60°．
∵B′E⊥EC，
∴∠AB′E=30°，
∴AE=3，
∴根据勾股定理得出：B′E=

√6²-3²

√3

，
∴EC=AE+AC=6，
∴B′C=

√(EB′)²+EC²

√27+36

√7

．

点评本题把旋转的性质和直角三角形的性质结合求解，考查了学生综合运用数学知识的能力．

如图，海中有一小岛B，它的周围15海里内有暗礁．有一货轮以30海里/时的速度向正北航行，当它航行到A处时，发现B岛在它的北偏东30°方向，当货轮继续向北航行半小时后到达C处，发现B岛在它的东北方向．问货轮继续向北航行有无触礁的危险？（参考数据：

√3

≈1.7，

√2

≈1.4）

分析作BD⊥AC于点D，在直角三角形ABD和直角三角形CBD中求得点B到AC的距离，继而能判断出有无危险．

解答

解：作BD⊥AC于点D．
设BD=x海里，则
在Rt△ABD中，tan30°=

，
∴AD=

√3

x．
在Rt△CBD中，tan45°=

，
∴CD=x．…2分
∴AC=AD-CD=

√3

x-x．
∵AC=30×

=15，
∴

√3

x-x=15，
∴x≈20.5．
20.5海里＞15海里．
答：没有触礁的危险．

点评本题考查解直角三角形的应用，有一定难度，要注意已知条件的运用，根据三角函数关系求答．

2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，生命所在点C的深度为米．（精确到0.1米，参考数据：

√2

≈1.41，

√3

≈1.73）

分析过点C作CD⊥AB于点D，设CD=x，在Rt△ACD中表示出AD，在Rt△BCD中表示出BD，再由AB=4米，即可得出关于x的方程，解出即可．

解答解：过点C作CD⊥AB于点D，

设CD=x，
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，
则AD=CD•cos30°=

√3

CD=

√3

x，
在Rt△BCD中，∠CBD=45°，
则BD=CD=x，
由题意得，

√3

x-x=4，
解得：x=

√3

-1

=2（

√3

+1）≈5.5．
答：生命所在点C的深度为5.5米．

点评本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数知识表示出相关线段的长度，注意方程思想的运用．

解梯形介绍：

1. 解实际问题中的梯形。

如图23-19，铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，路基顶宽BC=9.8m，路基高BE=5.8m，斜坡AB的坡度i=1：1.6，斜坡CD的坡度i=1：2.5，求铁路路基下底宽AD的值（精确到0. 1m）与斜坡的坡角α和β（精确到1°）的值．

解答解过点C作CF⊥AD于点F，得
CF=BE，EF=BC，∠A=α，∠D=β．
∵BE=5.8m，

1.6

，

2.5

，
∴AE=1.6×5.8=9.28（m），DF=2.5×5.8=14.5（m）．
∴AD=AE+EF+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6（m）．
由tanα=i=

1.6

，tanβ=i′=

2.5

，得
α≈32°，β≈22°．
答：铁路路基下底宽为33. 6m，斜坡的坡角分别为32°和22°．

根据下列条件，解直角三角形：
（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=30，∠B=80°；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，c=8，b=3；
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，c=10，∠A=40°．

在Rt△ABC中，根据下列条件，解直角三角形（∠C=90°）：
（1）∠A=30°，c=8；
（2）a=35，c=35

√2

；
（3）a=14，∠A=36°；
（4）a=30，b=15．

在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=8，AD=6，∠D=43°，求四边形的面积（精确到0.01）．

如图，飞机的飞行高度AB=1 000m，从飞机上侧得到地面着陆点C的俯角为18°，求飞机到着陆点的距离AC的值（精确到1m）．

如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山另一侧的E处同时施工．如果从AC上取一点B，使∠ABD=140°，BD=520m，∠D=50°，那么开挖点E离点D多远，才能使点A，C，E正好在一条直线上？（精确到1m）

如图，某直升机于空中A处测得正前方地面控制点C的俯角为30°；若航向不变，直升机继续向前飞行1000m至B处，测得地面控制点C的俯角为45°．求直升机再向前飞行多远，与地面控制点C的距离最近（结果保留根号）．

一船向东航行，上午9 ： 00到达灯塔C的西南60n mile的A处，上午10：00到达灯塔C的正南的B处．
（1）画出示意图；
（2）求这船的航行速度（结果保留根号）．

如图，水库大坝的横断面是四边形ABCD，BC∥AD，坝顶宽为6m，坝高为23m，斜坡AB的坡度i=1：3，斜坡CD的坡度i'=1：2.5，求：
（1）斜坡AB的坡角α的值（精确到1°）：
（2）坝底宽AD和斜坡AB的值（精确到0. 1 m）．

如图，燕尾槽的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，其中∠B=∠C=55°，外口宽AD = 180mm，燕尾槽的深度AE=70mm，求它的里口宽BC的值（精确到1mm）．

求直线y=

√3

x -5的向上方向与x轴正方向所夹的锐角．

如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1 : 2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．(精确到0.1米，参考数据：

√2

≈1.414，

√3

≈1.732．提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)

分析过梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形，利用相应的性质求解即可．

解答作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形，

由题意得，BC=EF=6米，BE=CF=20米，斜坡AB的坡度i为1：2.5，
在Rt△ABE中，

2.5

，
∴AE=50米．
在Rt△CFD中，∠D=30°，
∴DF=CFcot∠D=20

√3

米，
∴AD=AE+EF+FD=50+6+20

√3

≈90.6(米)．
故坝底AD的长度约为90.6米．

点评本题考查了坡度及坡角的知识，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．

如图，在城市改造中，市政府欲在一条人工河上架一座桥，河的两岸PQ与MN平行，河岸MN上有A、B两个相距50米的凉亭，小亮在河对岸D处测得∠ADP=60°，然后沿河岸走了110米到达C处，测得∠BCP=30°，求这条河的宽．（结果保留根号）

分析应合理应用∠CAQ的度数，CD的长度，所以过点D作CA的平行线得到平行四边形．过点D向对边引垂线，得到直角三角形，进而利用三角函数值求得河宽．

解答

解：作AE⊥PQ于E，CF⊥MN于F．（1分）
∵PQ∥MN，
∴四边形AECF为矩形．
∴EC=AF，AE=CF．（2分）
设这条河宽为x米，
∴AE=CF=x．
在Rt△AED中，
∵∠ADP=60°，
∴ED=

tan60°

√3

x．（4分）
∵PQ∥MN，
∴∠CBF=∠BCP=30°．
∴在Rt△BCF中，
BF=

tan30°

√3

x．（6分）
∵EC=ED+CD，AF=AB+BF，
∴

√3

x+110=50+

√3

x．
解得x=30

√3

．
∴这条河的宽为30

√3

米．（10分）

点评本题考查解直角三角形的应用．难点是作出辅助线，利用三角函数求解．

某铁路路基的横断面是一个等腰梯形(如图)，若腰的坡比为2 : 3，路基顶宽3米，高4米，则路基的下底宽为(　　)

A. 7m
B. 9m
C. 12m
D. 15m

分析梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形．利用相应的性质求解即可．

解答

解：∵腰的坡度为i=2：3，路基高是4米，
∴BE=6米，
又∵EF=AD=3米，
∴BC=6+3+6=15米．
故选D．

点评此题主要考查等腰梯形的性质和坡度问题；注意坡度=垂直距离：水平距离．

综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度．如图所示是护城河的一段，两岸ABCD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米．小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°，然后沿河岸走50米到达N点，测得∠β=72°．河宽FR= 米．（结果保留两位有效数字；参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）

分析过点F作FG∥EM交CD于G．则MG=EF=10米，根据∠FGN=∠α=36°即可求出∠GFN的度数，进而可得出FN的长，利用FR=FN×sinβ即可得出答案．

解答

解：过点F作FG∥EM交CD于G，则MG=EF=10米．
∵∠FGN=∠α=36°．
∴∠GFN=∠β-∠FGN=72°-36°=36°．
∴∠FGN=∠GFN，
∴FN=GN=50-10=40（米）．
在Rt△FNR中，
FR=FN×sinβ=40×sin72°=40×0.95≈38（米）．
答：河宽FR约为38米．

点评本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．

解四边形介绍：

1. 解含直角和特殊角的四边形。

如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，AD=5，则BC+CD=（）

A. 4
√3
B. 4
√2
C. 3
√3
D. 3
√2

分析延长AD，BC交于点E，在直角△ABE中，解直角三角形即可求得BE，AE的长，从而求得DE的长，然后解直角△CDE，即可求得EC，CD的长度，从而求解．

解答解：

延长AD，BC交于点E．
在直角△ABE中，∠E=90°-∠A=30°．
∴AE=2AB=8，BE=AB•tan60°=4

√3

．
∵AD=5
∴DE=3．
在直角△CDE中，CE=

cos30°

√3

．
∴CD=

CE=

√3

，BC=BE-CE=4

√3

-2

√3

．
∴BC+CD=2

√3

．
故答案是：3

√3

．

点评本题考查了解直角三角形的方法，以及三角函数，正确理解直角三角形的边角关系是关键．

如图，在斜坡AB上有一棵树BD，由于受台风影响而倾斜，恰好与坡面垂直，在地面上C点处测得树顶部D的仰角为60°，测得坡角∠BAE=30°，AB=6米，AC=4米．树高BD的长是米．

A. 2
√3
+4
B. 3
√3
+1
C. 2
√3
+1
D. 3
√3
+4

分析延长DB交AE于F，由∠ABD是直角可知BD⊥AB，在Rt△ABF中由锐角三角函数的定义可求出BF、AF的长，再判断出△CDF的形状，由DB=DF-BF即可得出结论．

解答

解：延长DB交AE于F，由题可得BD⊥AB，在Rt△ABF中∠BAF=30°，AB=6，
∴BF=AB•tan∠BAF=2

√3

．
∴cos30°=

．
∴AF=4

√3

．∠DFC=60°．
∵∠C=60°，
∴∠C=∠CFD=∠D=60°．
∴△CDF是等边三角形．
∴DF=CF．
∴DB=DF-BF=2

√3

+4．
答：树高BD的长是（2

√3

+4）米．

点评本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，再根据锐角三角函数的定义及等边三角形的性质进行解答．

三角函数综合介绍：

1. 已知两边及一个不是夹角的角求第三边。

在△ABC中，AB=8，∠ABC=30°，AC=5，则BC=（）

A. 4
√3
±3
B. 5
√3
±3
C. 4
√3
±1
D. 5
√3
±1

分析过A作BC的垂线，设垂足为D．首先在Rt△ABD中，求出AD的长，进而可在两个直角三角形中求出CD、BD的长；由于∠C可能是锐角也可能是钝角，因此要分类求解．

解答

解：如图，过A作AD⊥BC（或BC的延长线）于D点．
（1）如图①，Rt△ABD中，AB=8，∠ABC=30°，
∴AD=4，BD=4

√3

．
在Rt△ACD中，AC=5，AD=4，
由勾股定理，得：CD=

√AC²-AD²

=3．
∴BC=CD+BD=4

√3

+3；
（2）如图②，同（1）可求得：
CD=3，BD=4

√3

．
则BC=BD-CD=4

√3

-3．
综上，BC=4

√3

±3．
故答案为：4

√3

±3．

点评此题主要考查了解直角三角形中三角形函数定义、勾股定理的应用及分类讨论的思想．
在两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边是解答此类题的一般思路．

△ABC中，AB=

√3

，AC=1，∠B=30°，则BC等于或．（由小到大填写）

分析根据余弦定理AC²=AB²+BC²-2AC×BC×cos∠ABC，结合已知条件得BC²-3BC+2=0，解之即可得到BC的长度．

解答解：∵△ABC中，AB=

√3

，AC=1，∠B=30°，
∴根据余弦定理，得AC²=AB²+BC²-2AC×BC×cos∠ABC
即1=3+BC²-2

√3

BC×

√3

，可得BC²-3BC+2=0
解之得BC=1或2
故答案为：1或2

点评本题给出△ABC中两边AB、AC之长和角B的大小，求边BC的长，着重考查了利用正余弦定理解三角形的知识，属于基础题．

影响持续时间问题介绍：

1. 掌握影响持续时间问题的解题技巧。

在某岛A的正东方向有台风，且台风中心B距离小岛A40

√2

km，台风中心正以30km/h的速度向西北方向移动，距离中心50公里以内圆形区域(包括边界)都受影响，则小岛A受到台风影响的时间为(　　)

A. 不受影响
B. 1小时
C. 2小时
D. 3小时

分析假设D与E刚好受影响，连接AD，AE，可得出AD=AE=50公里，过A作AC垂直于BE，可得出EC=CD，由BE为西北方向，得到三角形ABC为等腰直角三角形，由AB的长求出AC的长，在直角三角形ACD中，有AC与AD的长，利用勾股定理求出CD的长，进而确定出ED的长，除以台风的速度，即可求出受影响的时间．

解答

解：假设D、E为刚好受影响的点，
过A作AC⊥BE，连接AE、AD，可得出AE=AD=50公里，
∵BE为西北方向，
∴∠ABE=45°，又∠ACB=90°，AB=40

√2

公里，
∴AC=BC=40公里，
在Rt△ADC中，AD=50公里，AC=40公里，
根据勾股定理得：DC=

√AD²-AC²

=30公里，
∴ED=2DC=60公里，又台风速度为30公里/时，
则小岛A受到台风影响的时间为60÷30=2(小时)．
故选C．

点评此题考查了垂径定理的应用，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键．

如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°，公路PQ上A处距离O点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为（　　）

A. 12秒
B. 16秒
C. 20秒
D. 24秒

分析过点A作AC⊥ON，求出AC的长，当火车到B点时开始对A处有噪音影响，直到火车到D点噪音才消失．

解答

解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，
∵∠QON=30°，OA=240米，
∴AC=120米，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，
∵AB=200米，AC=120米，
∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，
∵72千米/小时=20米/秒，
∴影响时间应是：320÷20=16秒．
故选B．

点评本题考查的是点与圆的位置关系，根据火车行驶的方向，速度，以及它在以A为圆心，200米为半径的圆内行驶的BD的弦长，求出对A处产生噪音的时间，难度适中．

斜坡影子问题介绍：

1. 掌握斜坡影子问题的求解技巧。

某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中．如图所示，测得树底部中心A到斜坡底C的水平距离为8.8m，在阳光下某一时刻测得1米的标杆影长为0.8m，树影落在斜坡上的部分CD=3.2m，已知斜坡CD的坡比i=1：

√3

，则树高AB= m．（结果保留整数，参考数据：

√3

≈1.7）．

分析过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，根据坡比的定义得到tan∠DCF=

√3

，则∠DCF=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到DF=

CD=1.6m，CF=

√3

DF=1.6

√3

m，所以DE=AC+CF=8.8+1.6

√3

，再根据三角形相似的性质得到

0.8

8.8+1.6

√3

0.8

，求出BE，即可得到AB．

解答

解：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，如图，
∵斜坡CD的坡比i=1：

√3

，即tan∠DCF=

√3

，
∴∠DCF=30°，
而CD=3.2m，
∴DF=

CD=1.6m，CF=

√3

DF=1.6

√3

m，
∵AC=8.8m，
∴DE=AC+CF=8.8+1.6

√3

，
∵在阳光下某一时刻测得l米的标杆影长为0.8m，
∴

0.8

8.8+1.6

√3

0.8

，
∴BE=11+2

√3

，
∴AB=BE+AE=12.6+2

√3

≈16m．
答：树高AB为16m．

点评本题考查了解直角三角形有关坡度的应用：斜坡的坡度等于铅直高度与它对应的水平距离的比值．也考查了相似三角形的性质．

某校初三年级“数学兴趣小组”实地测量操场旗杆的高度．旗杆的影子落在操场和操场边的土坡上，如图所示，测得在操场上的影长BC=20m，斜坡上的影长CD=8m，已知斜坡CD与操场平面的夹角为30°，同时测得身高l.65m的学生在操场上的影长为3.3m．则旗杆AB= m（结果精确到1m；提示：同一时刻物高与影长成正比．参考数据：

√2

≈1.414.

√3

≈1.732.

√5

≈2.236）．

分析根据已知条件，过D分别作BC、AB的垂线，设垂足为E、F；在Rt△DCE中，已知斜边CD的长，和∠DCE的度数，满足解直角三角形的条件，可求出DE、CE的长．即可求得DF、BF的长；在Rt△ADF中，根据同一时刻物高与影长成正比求出DF的长，即可求得AF的长，进而AB=AF+BF可求出．

解答解：过D作DE垂直BC的延长线于E，且过D作DF⊥AB于F，
∵在Rt△DEC中，CD=8米，∠DCE=30°

∴DE=4米，CE=4

√3

米，
∴BF=4米，DF=（20+4

√3

）米，
∵身高l.65m的学生在操场上的影长为3.3m．
∴

20+4

√3

1.65

3.3

，
则AF=（10+2

√3

）米，
AB=AF+BF=10+2

√3

+4=（14+2

√3

）≈17米．
∴电线杆的高度为17米．

点评本题考查了把实际问题转化为数学问题的能力，应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形．

已知等腰三边求内角三角函数介绍：

1. 掌握已知等腰三角形三边求底角和顶角三角函数值的技巧。

如图，在▱ABCD中，BC=10，sinB=

，AC=BC，则▱ABCD的面积是（）

A. 18
√19
B. 16
√21
C. 16
√19
D. 18
√21

分析作CE⊥AB于点E，解直角三角形BCE，即可求得BE、CE的长，根据三线合一定理可得AB=2BE，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．

解答

解：作CE⊥AB于点E．
在直角△BCE中，sinB=

，
∴CE=BC•sinB=10×

=9，
∴BE=

√BC²-CE²

√10²-9²

√19

，
∵AC=BC，CE⊥AB，
∴AB=2BE=2

√19

，
则▱ABCD的面积是2

√19

×9=18

√19

．
故答案为：18

√19

．

点评本题考查了平行四边形的面积公式，以及解直角三角形的应用，三线合一定理，正确求得AB的长是关键．

在△ABC中，若AB=AC=5，BC=8，则sinB= ．

分析根据勾股定理，可得AD的长，根据正弦函数等于对边比斜边，可得答案．

解答解：作AD⊥BC于D，如图

，
BD=

BC=4，
由勾股定理，得
AD=

√AB²-BD²

=3．
由正弦函数，得
sinB=

，
故答案为：

．

点评本题考查了解直角三角形，利用勾股定理得出对边的长是解题关键，再利用正弦函数的定义．

网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA= ．

分析根据各边长得知△ABC为等腰三角形，作出BC、AB边的高AD及CE，根据面积相等求出CE，根据正弦是角的对边比斜边，可得答案．

解答

解：如图，作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，
由勾股定理得AB=AC=2

√5

，BC=2

√2

，AD=3

√2

，
可以得知△ABC是等腰三角形，
由面积相等可得，

BC•AD=

AB•CE，
即CE=

√2

×3

√2

√5

，
sinA=

√5

，
故答案为：

．

点评本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

如图，在菱形ABCD中，AC=6，BD=8，则sin∠ABC= ．

分析设AC、BD相交于点O，根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，再求出OA、OB，利用勾股定理列式求出菱形的边长AB，过点A作AE⊥BC，利用菱形的面积列出方程求出AE，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．

解答

解：如图，设AC、BD相交于点O，
在菱形ABCD中，AC⊥BD，OA=

AC=

×6=3，
OB=

BD=

×8=4，
由勾股定理得，AB=

√OA²+OB²

√3²+4²

=5，
过点A作AE⊥BC，则S_菱形=5×AE=

×6×8，
解得AE=

，
所以，sin∠ABC=

．
故答案为：

．

点评本题考查了菱形的性质，解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟记性质并作辅助线构造出∠ABC所在的直角三角形是解题的关键．

········ THE END ········

特殊考题

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已知一个三角函数求其他

在Rt△ABC中，∠C=90°，且sinA=

，求cosB的值．

求下列各式的值：
（1）sin²45°+ cos²45°；
（2）2sin30°+2cos60°+4tan45°；
（3）cos²30°+ sin²45°- tan60°·tan30°；
（4）

2sin30°

2cos30°-1

；
（5）

sin60°-tan45°

tan60°-2tan45°

．

已知∠A与∠B都是锐角．
（1）把cos（90°-∠A）写成∠A的正弦；
（2）把sin（90°-∠B）写成∠B的正弦．

（1）已知：cosA=

，且∠B=90°-∠A，求sinB的值；
（2）已知：sin22°=0.3746，cos22°=0.9272，求68°的正弦、余弦值．

在△ABC中，∠C=90°，sinA=

，那么cosB的值等于（　　）

A.
3
5
B.
4
5
C.
3
4
D.
4
3

在△ABC中，∠C=90°，若sinA=

，则cosB的值为(　　)

A.
1
2
B.
√2
2
C. 2
D.
√3
2

在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=

，则tanB的值为(　　)

A.
12
13
B.
5
12
C.
13
12
D.
12
5

已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=

，则tanB的值为(　　)

A.
4
3
B.
4
5
C.
5
4
D.
3
4

网格中角的三角函数

如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为(　　)

A.
1
2
B.
1
3
C.
1
4
D.
√2
4

如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为(　　)

A.
1
2
B.
√5
5
C.
√10
10
D.
2
√5
5

如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为(　　)

A.
1
3
B.
1
2
C.
√2
2
D. 3

如图所示，在4×8的矩形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的三个顶点都在格点上，则tan∠BAC的值为(　　)

A.
1
2
B. 1
C.
√2
D.
√2
2

设未知数解直角三角形

如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB=

，则AC= ．

在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=

，AD=1．则BC长为(　　)

A. 2
√2
+1
B. 2
√2
+2
C. 3
√2
+1
D. 3
√2
+2

√3

≈1.732）

m，求屋面AB的坡度和支架BF的长．
（参考数据：tan18°≈

，tan32°≈

，tan40°≈

）．

√2

≈1.41，

√3

，1.73）

设未知数解直角三角形

，sin31°≈

，tan39°≈

，sin39°≈

)

，tan36.9°≈

，sin67.5°≈

，tan67.5°≈

）

√3

（即AB：BC=1：

√3

），且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）．

如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为(　　)

A. 50
√3
米
B. 100
√3
米
C.
100
√3
+1
米
D.
100
√3
-1
米

√2

≈1.4，

√3

≈1.7，结果保留整数)

小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高（　　）

A. 600-250
√5
B. 600
√3
-250
C. 350+350
√3
D. 500
√3

解三角形之SAS

在△ABC中，∠A= 55°，b=20cm，c=30cm，求三角形的面积S_△ABC（精确到0.1cm²）．

已知△ABC中，∠C=90°，tanA=

，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=（　　）

A.
3
5
B.
√10
5
C.
3
10
D.
3
√10
10

如图，在△ABC中，AC=6，BC=5，sinA=

，则tanB= ．

如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2

√3

，则AB的长为（）

A. 3+
√3
B. 3+
√2
C. 2+
√3
D. 2+
√2

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=6，Rt△AB′C′可以看作是由Rt△ABC绕点A逆时针方向旋转60°得到的，则线段B′C的长为（）

A. 3
√3
B. 3
√5
C. 3
√7
D. 3
√11

√3

≈1.7，

√2

≈1.4）

√2

≈1.41，

√3

≈1.73）

解梯形

在Rt△ABC中，根据下列条件，解直角三角形（∠C=90°）：
（1）∠A=30°，c=8；
（2）a=35，c=35

√2

；
（3）a=14，∠A=36°；
（4）a=30，b=15．

在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=8，AD=6，∠D=43°，求四边形的面积（精确到0.01）．

如图，飞机的飞行高度AB=1 000m，从飞机上侧得到地面着陆点C的俯角为18°，求飞机到着陆点的距离AC的值（精确到1m）．

如图，燕尾槽的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，其中∠B=∠C=55°，外口宽AD = 180mm，燕尾槽的深度AE=70mm，求它的里口宽BC的值（精确到1mm）．

求直线y=

√3

x -5的向上方向与x轴正方向所夹的锐角．

如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1 : 2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．(精确到0.1米，参考数据：

√2

≈1.414，

√3

≈1.732．提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)

某铁路路基的横断面是一个等腰梯形(如图)，若腰的坡比为2 : 3，路基顶宽3米，高4米，则路基的下底宽为(　　)

A. 7m
B. 9m
C. 12m
D. 15m

解四边形

如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，AD=5，则BC+CD=（）

A. 4
√3
B. 4
√2
C. 3
√3
D. 3
√2

A. 2
√3
+4
B. 3
√3
+1
C. 2
√3
+1
D. 3
√3
+4

三角函数综合

在△ABC中，AB=8，∠ABC=30°，AC=5，则BC=（）

A. 4
√3
±3
B. 5
√3
±3
C. 4
√3
±1
D. 5
√3
±1

△ABC中，AB=

√3

，AC=1，∠B=30°，则BC等于或．（由小到大填写）

影响持续时间问题

在某岛A的正东方向有台风，且台风中心B距离小岛A40

√2

km，台风中心正以30km/h的速度向西北方向移动，距离中心50公里以内圆形区域(包括边界)都受影响，则小岛A受到台风影响的时间为(　　)

A. 不受影响
B. 1小时
C. 2小时
D. 3小时

A. 12秒
B. 16秒
C. 20秒
D. 24秒

斜坡影子问题

√3

，则树高AB= m．（结果保留整数，参考数据：

√3

≈1.7）．

√2

≈1.414.

√3

≈1.732.

√5

≈2.236）．

已知等腰三边求内角三角函数

如图，在▱ABCD中，BC=10，sinB=

，AC=BC，则▱ABCD的面积是（）

A. 18
√19
B. 16
√21
C. 16
√19
D. 18
√21

在△ABC中，若AB=AC=5，BC=8，则sinB= ．

网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA= ．

如图，在菱形ABCD中，AC=6，BD=8，则sin∠ABC= ．

········ THE END ········

特殊考题

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