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【2021年北京市东城区中考数学一模试卷】-第1页 试卷格式:2021年北京市东城区中考数学一模试卷.PDF
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试卷题目
1.某几何体的三视图如图所示,该几何体是(  )

  • A. 三棱柱
  • B. 正方体
  • C. 圆锥
  • D. 圆柱
2.在平面直角坐标系xOy中,下列函数的图象不过点(1,1)的是(  )
  • A. y=
    1
    x
  • B. y=x2
  • C. y=-x+1
  • D. y=x3
3.2020年7月23日,中国首颗火星探测器“天问一号”成功发射.2021年2月10日,在经过长达七个月,475000000公里的漫长飞行之后,“天问一号”成功进入火星轨道.将475000000用科学记数法表示应为(  )
  • A. 4.75×107
  • B. 4.75×108
  • C. 4.75×109
  • D. 475×106
4.一副三角板如图放置,斜边互相平行,且每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上,在图中所标记的角中,与∠1相等的角是(  )

  • A. ∠2
  • B. ∠3
  • C. ∠4
  • D. ∠5
5.如图,△ABC经过旋转或轴对称得到△AB′C′,其中△ABC绕点A逆时针旋转60°的是(  )
  • A.
  • B.
  • C.
  • D.
6.实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示,下列式子正确的是(  )

  • A. |a|>|b|
  • B. a<-b
  • C. a-b<0
  • D. ac>bc
7.如图,PA,PB是⊙O的切线,切点分别为A,B,PO的延长线交⊙O于点C,连接OA,OB,BC.若AO=2,OP=4,则∠C等于(  )

  • A. 20°
  • B. 30°
  • C. 45°
  • D. 60°
8.一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是30cm,40cm.现要做一个与其相似的三角形木架,如果以60cm长的木条为其中一边,那么另两边中长度最大的一边最多可达到(  )
  • A. 60cm
  • B. 75cm
  • C. 100cm
  • D. 120cm
9.若分式
x
2x-1
的值为0,则x的值等于      
10.分解因式:ma2-4mab+4mb2=      
11.用一组a,b的值说明“若a>b,则a2>b2”是假命题,这组值可以是a=      ,b=      
12.4月23日是世界读书日.甲、乙两位同学在读书日到来之际共购买图书22本,其中甲同学购买的图书数量比乙同学购买的图书数量的2倍多1,求甲、乙两位同学分别购买的图书数量.设甲同学购买图书x本、乙同学购买图书y本,则可列方程组为      
13.有人做了掷骰子的大量重复试验,统计结果如表所示:
投掷次数(n) “出现点数为1”的次数(频数(m) 频率 
300 52 0.173 
400 65 0.163 
500 80 0.160 
600 99 0.165 
700 114 0.163 
800 136 0.170 
900 151 0.168 
1000 166 0.166 

根据上表信息,掷一枚骰子,估计“出现点数为1”的概率为      .(精确到0.001)
14.一个多边形的内角和是外角和的2倍,则这个多边形的边数为      
15.若关于x的一元二次方程x2+2(m+1)x+c=0有两个相等的实数根,则c的最小值是      
16.小青要从家去某博物馆参加活动,经过查询得到多种出行方式,可选择的交通工具有地铁、公交车、出租车、共享单车等,小青的家到地铁站(或公交车站)有一段距离,地铁站(或公父车站)到该博物馆也有一段距离,需要步行或骑共享单车,共享单车的计价规则为:每30分钟1.5元,不足30分钟的按30分钟计算.出行方式的相应信息如下表(√表示某种出行方式选择的交通工具):
 乘出租车 乘坐公交车 乘坐地铁 骑共享单车 共需步行(公里) 总用时(分钟) 费用(元) 
方式1     √   2.0 47 
方式2       √   56 
方式3   √     1.6 78 
方式4   √     1.8 80 
方式5   √ √   1.5 60 
方式6   √ √   1.6 56 
方式7   √ √   1.7 55 
方式8   √ √   1.5 57 
方式9 √       0.2 32 41 

根据表格中提供的信息,小青得出以下四个推断:
①要使费用尽可能少,可以选择方式2,3,4;
②要使用时较短,且费用较少,可以选择方式1;
③如果选择公交车和地铁混合的出行方式,平均用时约57分钟;
④如果将上述出行方式中的“步行”改为“骑共享单车”,那么除方式2外,其它出行方式的费用均会超过8元.
其中推断合理的是      (填序号).
17.计算:(
1
3
)-1+
8
-|-1|-6sin45°.
18.已知2x2-10x-1=0,求代数式(x-1)(2x-1)-(x+1)2的值.
19.尺规作图:
如图,已知线段a,线段b及其中点.
求作:菱形ABCD,使其两条对角线的长分别等于线段a,b的长.
作法:①作直线m,在m上任意截取线段AC=a;
②作线段AC的垂直平分线EF交线段AC于点O;
③以点O为圆心,线段b的长的一半为半径画圆,交直线EF于点B,D;
④分别连接AB,BC,CD,DA;
则四边形ABCD就是所求作的菱形.
(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);
(2)完成下面的证明.
证明:∵OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是      
∵AC⊥BD,
∴四边形ABCD是菱形      _(填推理的依据).

20.解不等式组:
{
1+x
6
2x-5
3
+1
5x+3≥4x-1
,并写出其中的正整数解.
21.解分式方程:
x-1
x+2
=
3-2x
2+x
+1.
22.如图,在平行四边形ABCD中,过点D作DE⊥AC于点E,DE的延长线交AB于点F,过点B作BG∥DF交DC于点G,交AC于点M.过点G作GN⊥DF于点N.
(1)求证:四边形NEMG为矩形;
(2)若AB=26,GN=8,sin∠CAB=
5
13
,求线段AC的长.

23.在平面直角坐标系xOy中,直线l1:y=kx+b与直线y=3x平行,且过点A(2,7).
(1)求直线l1的表达式;
(2)横、纵坐标都是整数的点叫作整点直线l2与直线l1关于y轴对称,直线y=m与直线l1,l2围成的区域W内(不包含边界)恰有6个整点,求m的取值范围.
24.如图,△ABC是⊙O的内接三角形,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D,OE⊥BC于点E,交CD于点F.
(1)求证:∠A+∠OFC=90°;
(2)若tanA=
3
2
,BC=6,求线段CF的长.

25.第24届冬季奥林匹克运动会,又称2022年北京冬奥会,将于2022年2月4日至2月20日,在北京市和张家口市同时举行,为了调查同学们对冬奥知识的了解情况,小冬从初中三个年级各随机抽取10人,进行了相关测试,获得了他们的成绩(单位:分),并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析下面给出了相关信息:
a.30名同学冬奥知识测试成绩的统计图如下:

b.30名同学冬奥知识测试成绩的频数分布直方图如下(数据分成6组:40≤x<50,50≤x<60,60≤x<70,70≤x<80,80≤x<90,90≤x≤100):

c.测试成绩在70≤x<80这一组的是:
70,73,74,74,75,75,77,78
d.小明的冬奥知识测试成绩为85分.
根据以上信息,回答下列问题:
(1)小明的测试成绩在抽取的30名同学的成绩中从高到低排名第      
(2)抽取的30名同学的成绩的中位数为      
(3)序号为1-10的学生是七年级的,他们的成绩的方差记为s12;序号为11-20的学生是八年级的,他们的成绩的方差记为s22;序号为21-30的学生是九年级的,他们的成绩的方差记为s32.直接写出s12,s22,s32的大小关系;
(4)成绩80分及以上记为优秀,若该校初中三个年级420名同学都参加测试,估计成绩优秀的同学约为      人.
26.在平面直角坐标系xOy中,点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=-x2+(2a-2)x-a2+2a上,其中x1<x2
(1)求抛物线的对称轴(用含a的式子表示);
(2)①当x=a时,求y的值;
②若y1=y2=0,求x1的值(用含a的式子表示).
(3)若对于x1+x2<-4,都有y1<y2,求a的取值范围.
27.已知∠MAN=30°,点B为边AM上一个定点,点P为线段AB上一个动点(不与点A,B重合),点P关于直线AN的对称点为点Q,连接AQ,BQ,点A关于直线BQ的对称点为点C,连接PQ,CP.
(1)如图1,若点P为线段AB的中点;
①直接写出∠AQB的度数;
②依题意补全图形,并直接写出线段CP与AP的数量关系;
(2)如图2,若线段CP与BQ交于点D.
①设∠BQP=α,求∠CPQ的大小(用含α的式子表示);
②用等式表示线段DC,DQ,DP之间的数量关系,并证明.

28.在平面直角坐标系xOy中,已知正方形ABCD,其中A(-
2
2
,0),B(0,
2
2
),C(
2
2
,0),D(0,-
2
2
).M,N为该正方形外两点,MN=1.
给出如下定义:记线段MN的中点为P,平移线段MN得到线段M′N′,使点M′,N′分别落在正方形ABCD的相邻两边上,或线段MN与正方形的边重合(M′,N′,P′分别为点M,N,P的对应点),线段PP′长度的最小值称为线段MN到正方形ABCD的“平移距离”.
(1)如图1,平移线段MN,得到正方形ABCD内两条长度为1的线段M1N1,M2N2,则这两条线段的位置关系是      ;若P1,P2分别为M1N1,M2N2的中点,在点P1,P2中,连接点P与点      的线段的长度等于线段MN到正方形ABCD的“平移距离”.
(2)如图2,已知点E(
2
2
+1,0),若M,N都在直线BE上,记线段MN到正方形ABCD的“平移距离”为d1,求d1的最小值;
(3)若线段MN的中点P的坐标为(2,2),记线段MN到正方形ABCD的“平移距离”为d2,直接写出d2的取值范围.

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