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【2021-2022学年河南省南阳市宛城区九年级（上）期中数学试卷】-第1页
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试卷题目
1．将方程7x-3=2x2化为一般形式后，常数项为3，则一次项系数为( )
- A. 7
- B. -7
- C. 7x
- D. -7x
2．下列根式中，为最简二次根式的是( )
- A. √50
- B. √0.5
- C. √15
- D. √
1 5
3．若方程x2-2x+m=0没有实数根，则m的值可以是( )
- A. -1
- B. 0
- C. 1
- D. √3
4．下列各式中，错误的是( )
- A. (-√3)2=3
- B. -√32=-3
- C. (√3)2=3
- D. √(-3)2=-3
5．如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
- A.
- B.
- C.
- D.
6．下列等式何者不成立( )
- A. 4√3+2√3=6√3
- B. 4√3-2√3=2√3
- C. 4√3×2√3=8√3
- D. 4√3÷2√3=2
7．若直角三角形的两边长分别是方程x2-8x+15=0的两根，则第三边长为( )
- A. 3或5
- B. 4或5
- C. 5或√34
- D. 4或√34
8．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍，得到△A′B′C ′．以下说法中错误的是( )
- A. 点A、O、A′在同一直线上
- B. △ABC∽△A′B′C ′
- C. 点O到AB与A′B′的距离之比是1：4
- D. BC∥B′C ′
9．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是( )
- A. (20-x)2=20x
- B. x2=20(20-x)
- C. x(20-x)=202
- D. 以上都不对
10．如图，在△ABC中，∠A=90°，AC＞AB＞4，点D、E分别在边AB、AC上，BD=4，CE=3，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为( )
- A. 2.5
- B. 3
- C. 4
- D. 5
11．若x=1是方程x2-m2=0的一个根，则m的值为 ．
12．已知
=
(x、y均不为0)，则
= ．
| x |
| 2 |
| y |
| 3 |
| y-x |
| x |
13．若函数y=
√x-3
+√3-x
，则xy的值为 ．14．如图，在每个边长均为1的方形网格中，点A、B都在格点上，若C是AB与网格线的交点，则AC的长为 ．
15．如图已知，矩形OABC放置于平面直角坐标系中，边OA在x轴正半轴上，OC在y轴正半轴上，点B的坐标为(9，5)，D是边BC上一动点，沿OD折叠△COD，点C在矩形内部的对应点为C′，若C′到矩形两条较长对边的距离之比为2：3，则点C′的坐标是 ．
16．计算或解方程：
(1)
(2)x2-4x+1=0．
(1)
√32
-4√
；| 1 |
| 8 |
(2)x2-4x+1=0．
17．小敏与小霞两位同学解方程3(x-3)=(x-3)2的过程如下框：
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
| 小敏：两边同除以(x-3)，得3=x-3，则x=6． |
| 小霞：移项，得3(x-3)-(x-3)2=0，提取公因式，得(x-3)(3-x-3)=0．则x-3=0或3-x-3=0，解得x1=3，x2=0． |
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
18．求证：无论m取任何实数，关于x的方程mx2-(3m-1)x+2m-2=0恒有实数根．
19．[阅读与计算]
求三边长分别为a、b、c的三角形的面积S．古希腊几何学家海伦在《度量》一书中给出了“海伦公式”：s=
)；
我国南宋数学家秦九韶在《数学九章)中提出“秦九韶公式”(三斜求积术)：S=
若一个三角形的三边长分别是
求三边长分别为a、b、c的三角形的面积S．古希腊几何学家海伦在《度量》一书中给出了“海伦公式”：s=
√p(p-a)(p-b)(p-c)
(其中p=| a+b+c |
| 2 |
我国南宋数学家秦九韶在《数学九章)中提出“秦九韶公式”(三斜求积术)：S=
| 1 |
| 2 |
√a2b2-(
)2
；| a2+b2-c2 |
| 2 |
若一个三角形的三边长分别是
√5
、3、2√5
，请选择一种方法求这个三角形的面积．20．凌霄双塔(舍利塔和文峰塔)是太原现存最高的古建筑，她们犹如一双孪生姊妹，相映成趣．某数学“综合与实践”小组为了测量舍利塔的高度，他们利用双休日进行了实地测量，如示意图．
步骤一：把长为2米的标杆垂直立于地面点C处，当塔尖点B和标杆的端点D确定的直线交直线AC于点E时，测得EC=3米；
步骤二：将标杆沿直线AC向后平移到点G处，当塔尖点B和标杆的端点H确定的直线交直线AC于点F时，测得FG=4米，CG=26.5米．
下面是某同学根据测量结果，计算塔AB高度时的部分过程，请你补充完整．
解：∵DC⊥AC于点C，BA⊥AC于点A，
∴∠DCE=∠BAE=90°．
∴∠DEC=∠BEA，
∴△ECD∽△EAB．
∴
=
．
∵EC=3，CD=2．
∴EA= AB．
同理可得FA= AB．
…
步骤一：把长为2米的标杆垂直立于地面点C处，当塔尖点B和标杆的端点D确定的直线交直线AC于点E时，测得EC=3米；
步骤二：将标杆沿直线AC向后平移到点G处，当塔尖点B和标杆的端点H确定的直线交直线AC于点F时，测得FG=4米，CG=26.5米．
下面是某同学根据测量结果，计算塔AB高度时的部分过程，请你补充完整．
解：∵DC⊥AC于点C，BA⊥AC于点A，
∴∠DCE=∠BAE=90°．
∴∠DEC=∠BEA，
∴△ECD∽△EAB．
∴
| CD |
| AB |
| EC |
| EA |
∵EC=3，CD=2．
∴EA= AB．
同理可得FA= AB．
…
21．[教材呈现]如图是华师版九年级，上册数学教材66页的部分内容．
[问题解决]
(1)请结合图①给出例3的证明过程．
[拓展探究]
(2)如图②，在△ABC中，D是边AB的三等分点，过D分别作DE∥AC，DF∥BC与边BC、AC分别相交于点E、F，若AC=6，BC=9．则四边形DECF的周长是 ．
(3)如图③，在△ABC中，P是边BC上的一点，且BP：PC=2：1，连接AP，取AP的中点M，连接BM并延长交AC于点N，若△AMN的面积为3，则△PMB的面积为 ．
| 想一想在例3中，如果点D恰好是边AB的中点，那么点E是边AC的中点吗？此时，DE和BC有什么关系？△ADE与△EFC又有什么特殊关系呢？ |
| 例3如图23.3.9，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB．求证：△ADE∽△EFC． |
[问题解决]
(1)请结合图①给出例3的证明过程．
[拓展探究]
(2)如图②，在△ABC中，D是边AB的三等分点，过D分别作DE∥AC，DF∥BC与边BC、AC分别相交于点E、F，若AC=6，BC=9．则四边形DECF的周长是 ．
(3)如图③，在△ABC中，P是边BC上的一点，且BP：PC=2：1，连接AP，取AP的中点M，连接BM并延长交AC于点N，若△AMN的面积为3，则△PMB的面积为 ．
22．(1)[阅读理解]古今中外，许多数学家曾研究过一元二次方程的几何解法，以方程x2+2x-35=0即x(x+2)=35为例．
三国时期数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图1，其中，大正方形的面积是(x+x+2)2，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，据此易得x=5．
公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔•花拉子米采用的方法是：构造图2，其中，大正方形的面积为(x+1)2：它又等于35+1．据此可得x=5．
①上述求解过程中所用的方法与下列哪种方法是一致的？
A．直接开平方法
B．公式法
C．配方法
D．因式分解法
②上述求解过程中所用的数学思想方法是 ．
A．分类讨论思想
B．数形结合思想
C．函数方程思想
(2)[问题解决]疫情期间，某药店销售一种消毒液，市场调研发现：按成本价30元/件销售时，每天可销售30件；若销售价每提高1元/件，则每天的销售量将减少1件．设这种消毒液销售价为x元/件，每天的销售利润为y元．
①请求出y关于x的函数表达式；
②该药店每天能否获得250元的销售利润？若能，请求出销售定价x；否则，请利用(1)①中所选的方法说明理由．
三国时期数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图1，其中，大正方形的面积是(x+x+2)2，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，据此易得x=5．
公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔•花拉子米采用的方法是：构造图2，其中，大正方形的面积为(x+1)2：它又等于35+1．据此可得x=5．
①上述求解过程中所用的方法与下列哪种方法是一致的？
A．直接开平方法
B．公式法
C．配方法
D．因式分解法
②上述求解过程中所用的数学思想方法是 ．
A．分类讨论思想
B．数形结合思想
C．函数方程思想
(2)[问题解决]疫情期间，某药店销售一种消毒液，市场调研发现：按成本价30元/件销售时，每天可销售30件；若销售价每提高1元/件，则每天的销售量将减少1件．设这种消毒液销售价为x元/件，每天的销售利润为y元．
①请求出y关于x的函数表达式；
②该药店每天能否获得250元的销售利润？若能，请求出销售定价x；否则，请利用(1)①中所选的方法说明理由．
23．如图，已知正方形纸板ABCD，将一块等腰直角三角板的锐角顶点与A重合，并将三角板绕A点旋转，使该锐角的两边分别与正方形纸板的两边BC、CD交于点P、Q(P、Q与B、D不重合)，连接PQ．
(1)如图①，直接写出线段BP、PQ、DQ之间的数量关系 ；
(2)如图②，设AP、AQ与对角线BD交于点M、N．
①请在图②所有非直角三角形中，不加注其它线和字母，找出两对相似比为1：
②若BP=4，DQ=6，直接写出MN的长．
(1)如图①，直接写出线段BP、PQ、DQ之间的数量关系 ；
(2)如图②，设AP、AQ与对角线BD交于点M、N．
①请在图②所有非直角三角形中，不加注其它线和字母，找出两对相似比为1：
√2
的相似三角形，并选择其中一对证明；②若BP=4，DQ=6，直接写出MN的长．
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