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【2022年北京市东城区中考数学一模试卷】-第1页
试卷格式：2022年北京市东城区中考数学一模试卷.PDF
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试卷题目
1．下列立体图形中，左视图是圆的是( )
- A.
- B.
- C.
- D.
2．国家统计局发布2021年国内生产总值达到1140000亿元，比上年增长8.1%．将1140000用科学记数法表示应为( )
- A. 114×104
- B. 11.4×105
- C. 1.14×106
- D. 1.14×105
3．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=40°时，∠1的度数为( )
- A. 40°
- B. 45°
- C. 50°
- D. 55°
4．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”．将右图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为轴对称图形的是( )
- A.
- B.
- C.
- D.
5．五边形的内角和为( )
- A. 360°
- B. 540°
- C. 720°
- D. 900°
6．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是( )
- A. a＞b
- B. -a＜b
- C. |a|＜|b|
- D. a+b＜0
7．某班甲、乙、丙三位同学5次数学成绩及班级平均分的折线统计图如下，则下列判断错误的是( )
- A. 甲的数学成绩高于班级平均分
- B. 乙的数学成绩在班级平均分附近波动
- C. 丙的数学成绩逐次提高
- D. 甲、乙、丙三人中，甲的数学成绩最不稳定
8．将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h(cm)与注水时间t(s)的函数图象大致是( )
- A.
- B.
- C.
- D.
9．若
√x-2
在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．10．分解因式：2x2-2y2= ．
11．方程
=
的解为 ．
| 2 |
| x-3 |
| 3 |
| x |
12．请写出一个大于1且小于2的无理数 ．
13．北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”广受大家的喜爱．即将在2022年9月举行的杭州亚运会的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”也引起了大家的关注．现将五张正面分别印有以上5个吉祥物图案的卡片(卡片的形状、大小、质地都相同)背面朝上并洗匀，随机翻开一张正好是“冰墩墩”的概率是 ．
14．如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC=90°，∠BAC=30°，则∠AOB的度数为 ．
15．已知x2-x=3，则代数式(x+1)(x-1)+x(x-2)= ．
16．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中提到：一年有二十四个节气，每个节气的晷(guǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)，二十四节气如图所示．从冬至到夏至晷长逐渐变小，从夏至到冬至晷长逐渐变大，相邻两个节气晷长减少或增加的量均相同，周而复始．若冬至的晷长为13.5尺，夏至的晷长为1.5尺，则相邻两个节气晷长减少或增加的量为 尺，立夏的晷长为 尺．
17．计算：
√12
+2sin60°-20220-|-√3
|．18．解不等式组：
．
| { |
|
19．已知：线段AB．
求作：Rt△ABC，使得∠BAC=90°，∠C=30°．
作法：
①分别以点A和点B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点D；
②连接BD，在BD的延长线上截取DC=BD；
③连接AC．
则△ABC为所求作的三角形．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：连接AD．
∵AB=AD=BD，
∴△ABD为等边三角形( )．(填推理的依据)
∴∠B=∠ADB=60°．
∵CD=BD，
∴AD=CD
∴∠DAC= ( )．(填推理的依据)
∴∠ADB=∠C+∠DAC=60°．
∴∠C=30°．
在△ABC中，
∠BAC=180°-(∠B+∠C)=90°．
求作：Rt△ABC，使得∠BAC=90°，∠C=30°．
作法：
①分别以点A和点B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点D；
②连接BD，在BD的延长线上截取DC=BD；
③连接AC．
则△ABC为所求作的三角形．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：连接AD．
∵AB=AD=BD，
∴△ABD为等边三角形( )．(填推理的依据)
∴∠B=∠ADB=60°．
∵CD=BD，
∴AD=CD
∴∠DAC= ( )．(填推理的依据)
∴∠ADB=∠C+∠DAC=60°．
∴∠C=30°．
在△ABC中，
∠BAC=180°-(∠B+∠C)=90°．
20．已知关于x的一元二次方程x2-2x+k-2=0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若k为正整数，且方程的两个根均为整数，求k的值及方程的两个根．
(1)求k的取值范围；
(2)若k为正整数，且方程的两个根均为整数，求k的值及方程的两个根．
21．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x-2的图象与x轴交于点A，与反比例函数y=
(k≠0)的图象交于点B(3，m)，点P为反比例函数y=
(k≠0)的图象上一点．
(1)求m，k的值；
(2)连接OP，AP．当S△OAP=2时，求点P的坐标．
| k |
| x |
| k |
| x |
(1)求m，k的值；
(2)连接OP，AP．当S△OAP=2时，求点P的坐标．
22．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO=CO，点E在BD上，∠EAO=∠DCO．
(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
(1)若AB=BC，CD=5，AC=8，tan∠ABD=
，求BE的长．
(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
(1)若AB=BC，CD=5，AC=8，tan∠ABD=
| 2 |
| 3 |
23．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，过点B作⊙O的切线交OD的延长线于点F．
(1)求证：∠A=∠BOF；
(2)若AB=4，DF=1，求AE的长．
(1)求证：∠A=∠BOF；
(2)若AB=4，DF=1，求AE的长．
24．2022年是中国共产主义青年团建团100周年．某校举办了一次关于共青团知识的竞赛，七、八年级各有300名学生参加了本次活动，为了解两个年级的答题情况，从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩进行调查分析．下面给出了部分信息：
a．七年级学生的成绩整理如下(单位：分)：
57 67 69 75 75 75 77 77 78 78 80 80 80 80 86 86 88 88 89 96
b．八年级学生成绩的频数分布直方图如图(数据分成四组：60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100)：
其中成绩在80≤x＜90的数据如下(单位：分)：
80 80 81 82 83 84 85 86 87 89
c．两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
根据所给信息，解答下列问题：
(1)m= ，n= ；
(2)估计 年级学生的成绩高于平均分的人数更多；
(3)若成绩达到80分及以上为优秀，估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数．
a．七年级学生的成绩整理如下(单位：分)：
57 67 69 75 75 75 77 77 78 78 80 80 80 80 86 86 88 88 89 96
b．八年级学生成绩的频数分布直方图如图(数据分成四组：60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100)：
其中成绩在80≤x＜90的数据如下(单位：分)：
80 80 81 82 83 84 85 86 87 89
c．两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
| 年级 | 平均数 | 中位数 | 众数 |
| 七年级 | 79.05 | 79 | m |
| 八年级 | 79.2 | n | 74 |
根据所给信息，解答下列问题：
(1)m= ，n= ；
(2)估计 年级学生的成绩高于平均分的人数更多；
(3)若成绩达到80分及以上为优秀，估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数．
25．某公园内人工湖上有一座拱桥(横截面如图所示)，跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．
下面是小红的探究过程，请补充完整：
(1)经过测量，得出了d和h的几组对应值，如表．
在d和h这两个变量中， 是自变量， 是这个变量的函数；
(2)在下面的平面直角坐标系xOy中，画出(1)中所确定的函数的图象；
(3)结合表格数据和函数图象，解决问题：
①桥墩露出水面的高度AE为 米；
②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且CE=DF，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为 米．(精确到0.1米)
下面是小红的探究过程，请补充完整：
(1)经过测量，得出了d和h的几组对应值，如表．
| d/米 | 0 | 0.6 | 1 | 1.8 | 2.4 | 3 | 3.6 | 4 |
| h/米 | 0.88 | 1.90 | 2.38 | 2.86 | 2.80 | 2.38 | 1.60 | 0.88 |
在d和h这两个变量中， 是自变量， 是这个变量的函数；
(2)在下面的平面直角坐标系xOy中，画出(1)中所确定的函数的图象；
(3)结合表格数据和函数图象，解决问题：
①桥墩露出水面的高度AE为 米；
②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且CE=DF，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为 米．(精确到0.1米)
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-2mx+m2+1与y轴交于点A．点B(x1，y1)是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，直线y=kx+n(k≠0)经过A，B两点．
(1)求抛物线的顶点坐标(用含m的式子表示)；
(2)若点C(m-2，a)，D(m+2，b)在抛物线上，则a b(用“＜”，“=”或“＞”填空)；
(3)若对于x1＜-3时，总有k＜0，求m的取值范围．
(1)求抛物线的顶点坐标(用含m的式子表示)；
(2)若点C(m-2，a)，D(m+2，b)在抛物线上，则a b(用“＜”，“=”或“＞”填空)；
(3)若对于x1＜-3时，总有k＜0，求m的取值范围．
27．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点(AE＞CE)，连接BE，DE．
(1)求证：BE=DE；
(2)过点E作EF⊥AC交BC于点F，延长BC至点G，使得CG=BF，连接DG．
①依题意补全图形；
②用等式表示BE与DG的数量关系，并证明．
(1)求证：BE=DE；
(2)过点E作EF⊥AC交BC于点F，延长BC至点G，使得CG=BF，连接DG．
①依题意补全图形；
②用等式表示BE与DG的数量关系，并证明．
28．对于平面直角坐标系xOy中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A，B两点，使得△ABC为等腰直角三角形，且∠ABC=90°，则称点C为图形G的“友好点”．
(1)已知点O(0，0)，M(4，0)，在点C1(0，4)，C2(1，4)，C3(2，-1)中，线段OM的“友好点”是 ；
(2)直线y=-x+b分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点C(2，1)为线段PQ的“友好点”，求b的取值范围；
(3)已知直线y=x+d(d＞0)分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的⊙O“友好点”，直接写出d的取值范围．
(1)已知点O(0，0)，M(4，0)，在点C1(0，4)，C2(1，4)，C3(2，-1)中，线段OM的“友好点”是 ；
(2)直线y=-x+b分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点C(2，1)为线段PQ的“友好点”，求b的取值范围；
(3)已知直线y=x+d(d＞0)分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的⊙O“友好点”，直接写出d的取值范围．
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