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【2021年北京市东城区中考数学二模试卷】-第1页
试卷格式：2021年北京市东城区中考数学二模试卷.PDF
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试卷题目
1．下列各数中，小于
√2
的正整数是( )- A. -1
- B. 0
- C. 1
- D. 2
2．在下列不等式中，解集为x>-1的是( )
- A. 2x>2
- B. -2x>-2
- C. 2x<-2
- D. -2x<2
3．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点A(1，
√3
)与⊙O的位置关系是( )- A. 在⊙O上
- B. 在⊙O内
- C. 在⊙O外
- D. 不能确定
4．下列式子中，运算正确的是( )
- A. (1+x)2=1+x2
- B. a2·a4=a8
- C. -(x-y)=-x-y
- D. a2+2a2=3a2
5．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆．若⊙O的半径为5，则半径OA，OB与围成的扇形的面积是( )
- A. 2π
- B. 5π
- C. π
25 6 - D. 10π
6．在平面直角坐标系xOy中，点A，B是直线y=x与双曲线y=
的交点，点B在第一象限，点C的坐标为(6，-2)，若直线BC交x轴于点D，则点D的横坐标为( )
| 4 |
| x |
- A. 2
- B. 3
- C. 4
- D. 5
7．多年来，北京市以强有力的措施和力度治理大气污染，空气质量持续改善，主要污染物的年平均浓度值全面下降．如图是1998年至2019年二氧化硫(SO2)和二氧化氮(NO2)的年平均浓度值变化趋势图，下列说法错误的是( )
- A. 1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的平均数小于NO2的年平均浓度值的平均数
- B. 1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的中位数小于NO2的年平均浓度值的中位数
- C. 1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的方差小于NO2的年平均浓度值的方差
- D. 1998年至2019年，SO2的年平均浓度值比NO2的年平均浓度值下降得更快
8．四位同学在研究函数y=-x2+bx+c(b，c是常数)时，甲同学发现当x=1时，函数有最大值；乙同学发现函数y=-x2+bx+c的图象与y轴的交点为(0，-3)；丙同学发现函数的最大值为4；丁同学发现当x=3时，函数的值为0．若这四位同学中只有一位同学的结论是错误的，则该同学是( )
- A. 甲
- B. 乙
- C. 丙
- D. 丁
9．若分式
有意义，则x的取值范围是 ．
| 2 |
| x-1 |
10．分解因式：mx2-9m= ．
11．用一个k的值推断命题“一次函数y=kx+1(k≠0)中，y随着x的增大而增大”．是错误的，这个值可以是k= ．
12．某校九年级(1)班计划开展“讲中国好故事”主题活动．第一小组的同学推荐了“北大红楼、脱贫攻坚、全面小康、南湖红船、抗疫精神、致敬英雄”六个主题，并将这六个主题分别写在六张完全相同的卡片上，然后将卡片放入不透明的口袋中．组长小东从口袋中随机抽取一张卡片，抽到含“红”字的主题卡片的概率是 ．
13．如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD=BE，AC=EF，要使△ABC≌△EDF，只需添加一个条件，这个条件可以是 ．
14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，0)，B(5，4)．若四边形OABC是平行四边形，则OABC的周长等于 ．
15．若点P在函数y=
的图象上，且到x轴的距离等于1，则点P的坐标是 ．
| { |
|
16．数学课上，李老师提出如下问题：
已知：如图，AB是⊙O的直径，射线AC交⊙O于C．
求作：弧BC的中点D．
同学们分享了四种方案：
①如图1，连接BC，作BC的垂直平分线，交⊙O于点D．
②如图2，过点O作AC的平行线，交⊙O于点D．
③如图3，作∠BAC的平分线，交⊙O于点D．
④如图4，在射线AC上截取AE，使AE=AB，连接BE，交⊙O于点D．
上述四种方案中，正确的方案的序号是 ．
已知：如图，AB是⊙O的直径，射线AC交⊙O于C．
求作：弧BC的中点D．
同学们分享了四种方案：
①如图1，连接BC，作BC的垂直平分线，交⊙O于点D．
②如图2，过点O作AC的平行线，交⊙O于点D．
③如图3，作∠BAC的平分线，交⊙O于点D．
④如图4，在射线AC上截取AE，使AE=AB，连接BE，交⊙O于点D．
上述四种方案中，正确的方案的序号是 ．
17．计算：(-5)0+
√27
+2-1-tan60°．18．先化简代数式
+1-a，再求当a满足a-2=0时，此代数式的值．
| a2+1 |
| a-1 |
19．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，直线l过点A．点B与点D关于直线l对称，连接AD，CD．求证：∠ACD=∠ADC．
20．已知：如图，点C在∠MON的边OM上．
求作：射线CD，使CD//ON，且点D在∠MON的角平分线上．
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OM，ON于点A，B；②分别以点A，B为圆心，大于
AB的长为半径画弧，交于点Q；③画射线OQ；④以点C为圆心，CO长为半径画弧，交射线OQ于点D；⑤画射线CD．射线CD就是所求作的射线．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明：
∵OD平分∠MON，
∴∠MOD= ．
∵OC=CD，
∴∠MOD= ，
∴∠NOD=∠CDO，
∴CD//ON( )(填推理的依据)．
求作：射线CD，使CD//ON，且点D在∠MON的角平分线上．
作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OM，ON于点A，B；②分别以点A，B为圆心，大于
| 1 |
| 2 |
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明：
∵OD平分∠MON，
∴∠MOD= ．
∵OC=CD，
∴∠MOD= ，
∴∠NOD=∠CDO，
∴CD//ON( )(填推理的依据)．
21．已知关于x的一元二次方程mx2-(m+1)x+1=0(m≠0)．
(1)求证：此方程总有实数根；
(2)写出一个m的值，使得此该方程的一个实数根大于1，并求此时方程的根．
(1)求证：此方程总有实数根；
(2)写出一个m的值，使得此该方程的一个实数根大于1，并求此时方程的根．
22．如图，在菱形ABCD中，点E是CD的中点，连接AE，交BD于点F．
(1)求BF:DF的值；
(2)若AB=2，AE=
(1)求BF:DF的值；
(2)若AB=2，AE=
√3
，求BD的长．23．在平面直角坐标系xOy中，直线l与双曲线y=
(k≠0)的两个交点分别为A(-3，-1)，B(1，m)．
(1)求k和m的值；
(2)点P为直线l上的动点，过点P作平行于x轴的直线，交双曲线y=
(k≠0)于点Q．当点Q位于点P的右侧时，求点P的纵坐标n的取值范围．
| k |
| x |
(1)求k和m的值；
(2)点P为直线l上的动点，过点P作平行于x轴的直线，交双曲线y=
| k |
| x |
24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AC上．过点B作直线交AC的延长线于点D，使得∠CBD=∠CAB．过点A作AE⊥BD于点E，交⊙O于点F．
(1)求证：BD是⊙O的切线；
(2)若AF=4，sinD=
，求BE的长．
(1)求证：BD是⊙O的切线；
(2)若AF=4，sinD=
| 2 |
| 3 |
25．中国新闻出版研究院组织实施的全国国民阅读调查已持续开展了18次，对我国国民阅读总体情况进行了综合分析.2021年4月23日，第十八次全国国民阅读调查结果发布．
下面是关于样本及国民图书阅读量的部分统计信息：
a．本次调查有效样本容量为46083，成年人和未成年人样本容量的占比情况如图1．
b.2020年，成年人的人均纸质图书阅读量约为4.70本，人均电子书阅读量约为3.29本；2019年，成年人的人均纸质图书阅读量约为4.65本，人均电子书阅读量约为2.84本．
c.2012年至2020年，未成年人的年人均图书阅读量如图2．
根据以上信息，回答问题：
(1)第十八次全国国民阅读调查中，未成年人样本容量占有效样本容量的 ；
(2)2020年，成年人的人均图书阅读量约为 本，比2019年多 本；
(3)在2012年至2020年中后一年与前一年相比， 至 的增长率最大；
(4)2020年，未成年人的人均图书阅读量比成年人的人均图书阅读量高 %(结果保留整数)．
下面是关于样本及国民图书阅读量的部分统计信息：
a．本次调查有效样本容量为46083，成年人和未成年人样本容量的占比情况如图1．
b.2020年，成年人的人均纸质图书阅读量约为4.70本，人均电子书阅读量约为3.29本；2019年，成年人的人均纸质图书阅读量约为4.65本，人均电子书阅读量约为2.84本．
c.2012年至2020年，未成年人的年人均图书阅读量如图2．
根据以上信息，回答问题：
(1)第十八次全国国民阅读调查中，未成年人样本容量占有效样本容量的 ；
(2)2020年，成年人的人均图书阅读量约为 本，比2019年多 本；
(3)在2012年至2020年中后一年与前一年相比， 至 的增长率最大；
(4)2020年，未成年人的人均图书阅读量比成年人的人均图书阅读量高 %(结果保留整数)．
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-3ax+1与y轴交于点A．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)点B是点A关于对称轴的对称点，求点B的坐标；
(3)已知点P(0，2)，Q(a+1，1)，若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)点B是点A关于对称轴的对称点，求点B的坐标；
(3)已知点P(0，2)，Q(a+1，1)，若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
27．已知△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE=∠BAC=90°，P为AE的中点，连接DP．
(1)如图1，点A，B，D在同一条直线上，直接写出DP与AE的位置关系；
(2)将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转，当AD落在图2所示的位置时，点C，D，P恰好在同一条直线上．
①在图2中，按要求补全图形，并证明∠BAE=∠ACP；
②连接BD，交AE于点F．判断线段BF与DF的数量关系，并证明．
(1)如图1，点A，B，D在同一条直线上，直接写出DP与AE的位置关系；
(2)将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转，当AD落在图2所示的位置时，点C，D，P恰好在同一条直线上．
①在图2中，按要求补全图形，并证明∠BAE=∠ACP；
②连接BD，交AE于点F．判断线段BF与DF的数量关系，并证明．
28．对于平面直角坐标系xOy中的图形W，给出如下定义：点P是图形W上任意一点，若存在点Q，使得∠OQP是直角，则称点Q是图形W的“直角点”．
(1)已知点A(6，8)，在点Q1(0，8)，Q2(-4，2)，Q3(8，4)中， 和 是点A的“直角点”；
(2)已知点B(-3，4)，C(4，4)，若点Q是线段BC的“直角点”，求点Q的横坐标n的取值范围；
(3)在(2)的条件下，已知点D(t，0)，E(t+1，0)，以线段DE为边在x轴上方作正方形DEFG．若正方形DEFG上的所有点均为线段BC的“直角点”，直接写出t的取值范围．
(1)已知点A(6，8)，在点Q1(0，8)，Q2(-4，2)，Q3(8，4)中， 和 是点A的“直角点”；
(2)已知点B(-3，4)，C(4，4)，若点Q是线段BC的“直角点”，求点Q的横坐标n的取值范围；
(3)在(2)的条件下，已知点D(t，0)，E(t+1，0)，以线段DE为边在x轴上方作正方形DEFG．若正方形DEFG上的所有点均为线段BC的“直角点”，直接写出t的取值范围．
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