19．解方程：
(1)(x-3)²=25；
(2)x²-4x+3=0．

20．下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程．已知：Rt△ABC，∠ABC=90°，
求作：矩形ABCD，
作法：如图，
①作线段AC的垂直平分线交AC于点O；
②连接BO并延长，在延长线上截取OD=OB；
③连接AD，CD．
所以四边形ABCD即为所求作的矩形．
根据小东设计的尺规作图过程．
(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明：
证明：∵OA=OC，OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形(      )．(填推理的依据)
∵∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形(      )．(填推理的依据)

21．已知在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)点C在x轴上，若△ABC的面积等于1，则点C的坐标为       ．

22．关于x的一元二次方程x²-(m+3)x+m+2=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．

23．列方程解应用题：
口罩是一种卫生用品，正确佩戴口罩能阻挡有害气体、飞沫、病毒等物质，对进入肺部的空气有一定的过滤作用．据调查，2021年某厂家口罩产量由1月份的125万只增加到3月份的180万只．该厂家口罩产量的月平均增长率是多少？

24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF=BE，连接DF．
(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)若AC=4，∠ABC=60°，求矩形AEFD的面积．

25．直线l₁：y=kx+b(k≠0)与直线l₂：y=ax+1(a≠0)相交于点A(1，3)．
(1)求直线l₂的表达式；
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点记直线l₁，直线l₂，和x轴围成的区域(不含边界)为W．
①当k=-3时，直接写出区域W内的整点个数；
②若区域W内的整点个数恰好为3个，求k的取值范围．

26．阅读下列材料：
小明同学遇到了这样一个问题：如图1，M是边长为a的正方形ABCD内一定点，请在图中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M)，将正方形ABCD的面积分割成面积相等的四个部分．
小明是这样思考的：数学课上曾经做过一道类似的题目，如图2，O是边长为a的正方形ABCD的对角线的交点，将以点O为顶点的直角绕点O旋转，且两直角边分别与BA，CB相交，与正方形重叠部分(即阴影部分)的面积为一个确定的值．可以类比解决此问题．
参考小明同学的想法，解答问题：
(1)请你回答图2中重叠部分(即阴影部分)的面积为      ；
(2)请你在图3中，解决原问题：
(3)如图4，在四边形AOCD中，A(0，1)，C(4，0)，D(4，3)，点P是AD的中点，在边OC上存在一点Q，使PQ所在直线将四边形AOCD的面积分成相等的两部分，请你画出该直线，并直接写出该直线的表达式．

27．如图，矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点P是对角线AC所在直线上的一个对点(点P不与点A，C重合)，过A，C两点向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F．
(1)如图1、当点P与点O重合时，OE与OF的数量关系为      ；
(2)当点P运动到如图2所示的位置时，请你在图2中补全图形并证明(1)中的结论仍然成立；
(3)若点P在射线OA上运动，当∠OEF=30°时，猜想此时线段CF，AE，OE之间有怎样的数量关系，并直接写出结论(不必证明)．

28．在平面直角坐标系xOy中，已知图形W和直线l．如果图形W上存在一点Q，使得点Q到直线l的距离小于或等于k，则称图形W与直线l“k关联”．
(1)已知线段AB，其中点A(1，0)，点B(3，0)；
①已知直线y=-x-1，则该直线与y轴的交点坐标为      ，点A到直线y=-x-1的距离为      ；
②已知直线y=-x+b，若线段AB与该直线“关联”，求b的取值范围；
(2)已知菱形边长为2，一个内角为60°，对角线的交点P恰好在x轴上，且短对角线垂直于x轴，若该菱形与直线y=x+1“2关联”，求点P横坐标x的取值范围．